Kategoria: Analiza

Równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 2 zadania. W pierwszym zadaniu rozwiązujemy kolejno równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych od przykładów łatwych do coraz trudniejszych. Dobrze jest przestudiować wszystkie przykłady (łatwe również), gdyż pojawiają się w nich pewne przekształcenia, które później pojawiają się dosyć często. Znajdujemy tutaj tzw. rozwiązanie ogólne. W zadaniu drugim dochodzi nam warunek początkowy nazywany również zagadnieniem Cauchy’ego. Read more about Równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych – zadania[…]

Równania o rozdzielonych zmiennych – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Jest to podstawowe równanie różniczkowe, które pojawia się później w innych typach równań. Jak sama nazwa wskazuje, w równaniu tym daje się rozdzielić zmienne i . Staramy się, aby po lewej stronie znalazła się zmienna , zaś po prawej zmienna . Równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych ma postać: Uwzględniając, że mamy: Rozdzielamy zmienne: Całkujemy obustronnie: Read more about Równania o rozdzielonych zmiennych – teoria[…]

Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Kolejność podpunktów  w zadaniu jest istotna. Pierwsze przykłady są bardzo łatwe tak , aby utrwalić schemat rozwiązania podany w zakładce Wzory tutaj. Kolejne są trudniejsze. Jest więcej niż jeden punkt stacjonarny i układ równań, który rozwiązujemy w punkcie 3. schematu jest również trudniejszy. Dlatego najpierw należy zaznajomić się ze schematem podanym w zakładce Wzory, a Read more about Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych – zadania[…]

Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych – wzory

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Schemat badania ekstremum lokalnego funkcji dwóch zmiennych: 1. Wyznaczamy dziedzinę funkcji. 2. Wyznaczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu , . 3. Rozwiązujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (warunek konieczny istnienia ekstremum): Rozwiązaniem układu są tzw. punkty stacjonarne . 4. Wyznaczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu . Powinniśmy otrzymać . 5. Sprawdzamy znak wyznacznika w punktach stacjonarnych: Read more about Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych – wzory[…]

Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Dana jest funkcja określona na zbiorze . Funkcja ma w punkcie maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy istnieje taki promień , że dla każdego wartości funkcji spełniają warunek: Twierdzenie 1. Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie i ma  w nim ekstremum lokalne, to Punkt , w którym spełniony jest warunek konieczny istnienia Read more about Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych – teoria[…]

Pochodne cząstkowe – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 2 zadania. W pierwszym liczymy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego.  Jak zwykle początkowe przykłady łatwe, później coraz trudniejsze. W drugim ćwiczymy liczenie pochodnych zarówno rzędu pierwszego jak i drugiego. Są one uwikłane w pewne równania. Inna treść zadania, ale w rzeczywistości sprawdza umiejętność liczenia pochodnych cząstkowych. Podpunkt 3) w zadaniu 2 wymaga biegłości w rachunkach. Read more about Pochodne cząstkowe – zadania[…]

Pochodne cząstkowe – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Dany jest zbiór , gdzie oraz zbiór liczbowy . Jeśli każdemu elementowi jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba , to mówimy, że została określona funkcja rzeczywista zmiennych, przekształcająca zbiór w zbiór . POCHODNE CZĄSTKOWE PIERWSZEGO RZĘDU Dla danej funkcji , pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji w punkcie względem zmiennej nazywamy granicę (jeśli istnieje) ilorazu różnicowego: Dla Read more about Pochodne cząstkowe – teoria[…]

Pola i objętości figur obrotowych – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy tu tylko 5 przykładów, ale są to przykłady dosyć długie. Właściwie nie ma w tym temacie zadań krótkich. Wykorzystuje się tutaj całą dotychczasową wiedzę na temat całek. Używamy w rozwiązaniach gotowych wzorów, aby rozwiązania nie były tak długie. Raczej nie na kolokwia i egzaminy. Ewentualnie może się trafić liczenie objętości brył, jako najkrótsze z Read more about Pola i objętości figur obrotowych – zadania[…]

Pola i objętości figur obrotowych – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci , przy czym funkcja ma w przedziale pochodną ciągłą, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem:   Niech dany będzie łuk o równaniu , gdzie jest funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale . Wówczas objętość bryły obrotowej ograniczonej powierzchnią, która powstaje, gdy łuk obraca się dookoła osi Read more about Pola i objętości figur obrotowych – teoria[…]

Całki niewłaściwe – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 2 zadania. Prosimy o wcześniejsze zapoznanie się z zakładką Teoria tutaj. W pierwszym zadaniu liczymy całki w granicach których występuje , zaś w zadaniu drugim niewłaściwość jest innego rodzaju. Jest ono bardzo podchwytliwe, gdyż całki w nim występujące wyglądają jak zwykłe całki oznaczone.   Zadanie 1. Obliczyć całki niewłaściwe I rodzaju: 7)   Zadanie Read more about Całki niewłaściwe – zadania[…]