Metod liczenia rządu macierzy jest kilka. Pokażemy dwie najwygodniejsze i najkrótsze. Pierwsza niewątpliwie najkrótsza, ale wymagająca spostrzegawczości, druga nieco dłuższa z zastosowaniem rozwinięcia Laplace’a. Pojawią się one w zadaniu 1. Zadanie 2 wymaga więcej myślenia. Badamy rząd macierzy w zależności od parametru. Pocieszenie. Bardzo rzadko na kolokwiach i egzaminach. W większości rząd macierzy nie pojawia Read more about Rząd macierzy – zadania[…]
Niech będzie dowolną macierzą wymiaru – dowolną liczbą naturalną mniejszą lub równą od mniejszej z liczb Minorem stopnia macierzy nazywamy wyznacznik macierzy utworzonej z elementów macierz stojących na przecięciu dowolnie wybranych wierszy i kolumn. Przykład Dla danej macierzy utwórzmy minor stopnia Wybierzmy przykładowo wiersze numer i kolumny numer Wówczas szukany minor to: Rzędem Read more about Rząd macierzy – teoria[…]
Przed przystąpieniem do tego tematu należy umieć liczyć rzędy macierzy tutaj oraz znać metodę wyznacznikową rozwiązywania układów równań tutaj. Zadanie 1. Korzystając z twierdzenia Kroneckera – Capellego, wyznaczyć liczbę rozwiązań układów równań (można wyznaczyć również rozwiązania, korzystając z innych metod, będzie to pokazane w przykładach a), b), c)): a) b) c) d) e) f) Pamiętajmy, Read more about Twierdzenie Kroneckera – Capellego – zadania[…]
Niech będzie dany układ równań Macierzą rozszerzoną tego układu równań nazywamy macierz: Przypomnijmy,macierz współczynników oznaczyliśmy jako: Podstawowym kryterium istnienia rozwiązania takiego układu równań jest TWIERDZENIE KRONECKERA – CAPELLEGO Układ równań liniowych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy przy czym jeżeli: to układ jest oznaczony (ma jedno rozwiązanie), to układ jest nieoznaczony (ma Read more about Twierdzenie Kroneckera-Capellego – teoria[…]
W temacie tym nie mamy zakładki Teoria, gdyż metodę eliminacji Gaussa (metoda przekształceń elementarnych) najlepiej tłumaczyć na przykładach. Metoda ta pozwala na rozwiązanie zarówno układów cramerowskich, jak również ogólnych układów, w których poprzednio stosowaliśmy twierdzenie Kroneckera-Capellego tutaj. U podstaw tej metody leżą przekształcenia elementarne, które wykonane na równaniach układu, prowadzą do układu równoważnego z wyjściowym Read more about Metoda eliminacji Gaussa – zadania[…]
Układ równań postaci gdzie dla nazywamy układem równań liniowych. Liczby nazywamy współczynnikami układu równań, zaś wyrazami wolnymi. Macierz utworzona ze współczynników przy niewiadomych nazywamy macierzą współczynników (macierzą układu). Układ równań, w którym nazywamy układem jednorodnym. Rozwiązaniem układu równań nazywamy ciąg liczb rzeczywistych spełniających ten układ. Układ równań liniowych może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań Read more about Ogólne wiadomości o układach równań – teoria[…]
Układ równań liniowych, w którym (liczba równań jest równa liczbie niewiadomych) oraz nazywa się układem Cramera lub układem cramerowskim. Zatem układ cramerowski to układ postaci: i taki, że TWIERDZENIE CRAMERA (wzory Cramera) Układ Cramera równań liniowych ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami: (wzory Cramera) gdzie oznacza wyznacznik macierzy współczynników, zaś jest wyznacznikiem macierzy Read more about Metoda wyznacznikowa – teoria[…]
Warto zajrzeć do zakładki Teoria tutaj i poznać twierdzenie Cramera. Zadanie 1. Rozwiązać za pomocą wzorów Cramera układy równań: a) b) c) d) e) f) Zadanie 2 łączy wiadomości z liczb zespolonych z układami równań. Zadanie 2. Rozwiązać układ równań a) b)
Przed przystąpieniem do zadań warto zapoznać się z zakładką Teoria tutaj. Zadanie 1. Zapisać układy równań w postaci macierzowej, a następnie rozwiązać je metodą macierzową: a) b) c) d) zwrócić uwagę na ten przykład e) f)
Układ równań liniowych Cramera zapisany w postaci algebraicznej możemy przedstawić w postaci macierzowej Wprowadźmy oznaczenia Wówczas otrzymamy równanie macierzowe Przekształcając je dostajemy: Jest to tzw. metoda macierzowa rozwiązywania układów równań Cramera. Zapraszamy do zadań! tutaj