Kategoria: Całki nieoznaczone

Całki funkcji trygonometrycznych – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 3 zadania. Zadanie 1 i zadanie 2 dotyczą dwu ogólnych metod rozwiązywania całek trygonometrycznych. Rozwiążą one dowolną całkę trygonometryczną. Jednak są one dosyć długie. Wykorzystują wszystkie wcześniejsze metody dotyczące całek wymiernych tutaj. A więc i stosunkowo trudne. Pocieszające, że rzadko trafiają się na kolokwiach. Ostatnie zadanie wykorzystuje wcześniejsze metody liczenia całek. Rozwiązania są krótsze Read more about Całki funkcji trygonometrycznych – zadania[…]

Całki funkcji trygonometrycznych – wzory

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Całki funkcji trygonometrycznych liczyliśmy już wcześniej. Stosuje się zarówno metodę całkowania przez podstawienie, jak również całkowanie przez części. Dlatego zajmiemy się tutaj ogólnymi metodami sprowadzania całek trygonometrycznych do całek funkcji wymiernych. Rozróżnimy dwa typy takich całek.   1. Całki typu: , gdzie jest funkcją wymierną. Wykorzystujemy wzory trygonometryczne: Wykonujemy podstawienie: Wstawiając powyższe wzory do całki Read more about Całki funkcji trygonometrycznych – wzory[…]

Całki funkcji niewymiernych – wzory

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Całki funkcji zawierających pierwiastki z wyrażenia liniowego Twierdzenie1.  Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną potęg zmiennej o wykładnikach postaci , gdzie są liczbami naturalnymi względem siebie pierwszymi, to wykonujemy podstawienie: gdzie oznacza wspólny mianownik ułamków postaci .   Wzory do zapamiętania: 1. 2. 3. 4. 5. Zapraszamy do zadań! tutaj

Całki funkcji niewymiernych – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 5 zadań. Pierwsze zadanie wykorzystuje twierdzenie z zakładki Wzory tutaj. Kolejne zadania pokazują typowe całki niewymierne z mianownikiem zawierającym wyrażenie kwadratowe. Schemat rozwiązania zależy od znaku współczynnika  tego wyrażenia. Całki z zadań 2 – 5 można liczyć z gotowych wzorów, które pojawiły się w zakładce Wzory, ale większość wykładowców sobie tego nie życzy. Przedstawiliśmy Read more about Całki funkcji niewymiernych – zadania[…]

Całkowanie funkcji wymiernych – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

W temacie tym nie ma zakładek Teoria i Wzory, gdyż wszystko wytłumaczymy na przykładach. Są to całki, które koniecznie należy opanować. Kolejność zadań jest tutaj bardzo istotna. Każde zadanie to jeden schemat. W każdym kolejnym dodajemy coś nowego i w ten sposób dochodzimy do całek wymiernych w najogólniejszej postaci. Dla mniej wytrwałych zadania konieczne to Read more about Całkowanie funkcji wymiernych – zadania[…]

Całkowanie przez części – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 5 zadań. Pierwsze trzy odpowiadają grupom, które wprowadziliśmy w zakładce Wzory tutaj, dlatego przed przystąpieniem do zadań należy zapoznać się ze schematami tam przedstawionymi. Zadanie 4 jest ”mieszanką” wszystkich grup. W zadaniu 5 najtrudniejszym znajdują się całki, w których należy zastosować dwie metody: zarówno przez części jak i przez podstawienie.   Zadanie 1. Oblicz Read more about Całkowanie przez części – zadania[…]

Całkowanie przez części – wzory

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Twierdzenie (całkowanie przez części) Jeżeli funkcje i mają na pewnym przedziale ciągłe pochodne i , to Wzory, które są konieczne przy całkowaniu przez części: 1) 2) 3) Całkowanie przez części podzielimy na podstawowe trzy grupy. Grupa I Są to całki typu:  1) 2) 3) W tej grupie jako i przyjmujemy:    oraz  Okaże się, że Read more about Całkowanie przez części – wzory[…]

Całkowanie przez podstawienie – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Przy całkowaniu przez podstawienie najważniejszym i najtrudniejszym krokiem jest poprawne dobranie podstawienia, które sprowadzi całkę do całki łatwiejszej. Mając odpowiednie podstawienie zadanie staje się bardzo schematyczne. Pamiętajmy, że podstawienie powinno być jak najprostsze. Nigdy nie podstawiamy za funkcję złożoną. Schemat podamy rozwiązując kolejne przykłady. Zadanie 1. Obliczyć całki (przez podstawienie): 3) 6) 7) 8) 9) Read more about Całkowanie przez podstawienie – zadania[…]