Całkowanie przez podstawienie (zadania)

Przy całkowaniu przez podstawienie najważniejszym i najtrudniejszym krokiem jest poprawne dobranie podstawienia, które sprowadzi całkę do całki łatwiejszej. Mając odpowiednie podstawienie zadanie staje się bardzo schematyczne. Pamiętajmy, że podstawienie powinno być jak najprostsze. Nigdy nie podstawiamy za funkcję złożoną. Schemat podamy rozwiązując kolejne przykłady.

Zadanie 1. Obliczyć całki (przez podstawienie):

1) $\dpi{120} \int \frac{xdx}{x^{2}+5},$

Rozwiązanie

Należy najpierw podać podstawienie. W tym przykładzie będzie to: $\dpi{120} x^{2}+5=t$ . Niestety na wymyślenie podstawienia nie ma schematu, ale od tego momentu już schemat jest.

1. Robimy podstawienie:

$\dpi{120} x^{2}+5=t$ (różniczkujemy podstawienie stronami, pamiętając o różniczkach $\dpi{100} dx$ i $\dpi{100} dt$ )

$\dpi{120} 2xdx=dt$ (wyliczamy z tej zależności $\dpi{100} dx$ )

$\dpi{120} dx=\frac{dt}{2x}$

2. Wracamy do całki. Podstawiamy za $\dpi{120} x^{2}+5=t$ oraz za $\dpi{120} dx=\frac{dt}{2x}$ . Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{x{\color{Red} dx}}{{\color{Blue} x^{2}+5}}=\int \frac{x\cdot {\color{Red} \frac{dt}{2x}}}{{\color{Blue} t}}$ (skracamy ”starą” zmienną, jeżeli nie da się skrócić to znaczy, że mamy złe podstawienie)

$\dpi{120} \int \frac{x\cdot \frac{dt}{2x}}{t}=\int \frac{\frac{dt}{2}}{t}$ (wyłączamy stałą przed znak całki)

$\dpi{120} \int \frac{\frac{dt}{2}}{t}=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t}$ (całka funkcji elementarnej $\dpi{100} \int \frac{dx}{x}=\ln \left | x \right |+C$ )

$\dpi{120} \frac{1}{2}\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln \left | t \right |+C_{1}$ (wracamy do zmiennej $\dpi{100} x$ , $\dpi{100} x^{2}+5=t$ )

$\dpi{120} \frac{1}{2}\ln \left | t \right |+C_{1}=\frac{1}{2}\ln \left | x^{2}+5 \right |+C$

Pamiętajmy o zmianie stałej przy przejściu od jednej zmiennej do drugiej. Wartość bezwzględna w tym przypadku nie jest potrzebna, gdyż $\dpi{120} x^{2}+5>0$ .

Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{xdx}{x^{2}+5}=\frac{1}{2}\ln \left ( x^{2}+5 \right )+C,\; \; \; C\in \mathbb{R}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{5x-2}},$

Rozwiązanie

1. Robimy podstawienie:

$\dpi{120} 5x-2=t$ (różniczkujemy podstawienie stronami, pamiętając o różniczkach $\dpi{100} dx$ i $\dpi{100} dt$ )

$\dpi{120} 5dx=dt$ (wyliczamy z tej zależności $\dpi{100} dx$ )

$\dpi{120} dx=\frac{dt}{5}$

2. Wracamy do całki. Podstawiamy za $\dpi{120} 5x-2=t$ oraz za $\dpi{120} dx=\frac{dt}{5}$ . Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{{\color{Red} dx}}{\sqrt{{\color{Blue} 5x-2}}}=\int \frac{{\color{Red} \frac{dt}{5}}}{\sqrt{{\color{Blue} t}}}$ (wyłączamy stałą przed znak całki)

$\dpi{120} \int \frac{\frac{dt}{5}}{\sqrt{t}}=\frac{1}{5}\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=\frac{1}{5}\int t^{-\frac{1}{2}}dt=\frac{1}{5}\cdot \frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C_{1}=\frac{1}{5}\cdot \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C_{1}=\frac{2}{5}\sqrt{t}+C_{1}$

Wracamy do zmiennej $\dpi{120} x$ poprzez podstawienie $\dpi{120} 5x-2=t$ .

$\dpi{120} \frac{2}{5}\sqrt{t}+C_{1}=\frac{2}{5}\sqrt{5x-2}+C$

Ostatecznie:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{5x-2}}=\frac{2}{5}\sqrt{2x-5}+C,\; \; \; C\in \mathbb{R}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \int x^{2}\sqrt{2x^{3}+5}\, dx,$

Rozwiązanie

1. Robimy podstawienie:

$\dpi{120} 2x^{3}+5=t$ (różniczkujemy podstawienie stronami, pamiętając o różniczkach $\dpi{100} dx$ i $\dpi{100} dt$ )

$\dpi{120} 6x^{2}dx=dt$ (wyliczamy z tej zależności $\dpi{100} dx$ )

$\dpi{120} dx=\frac{dt}{6x^{2}}$

2. Wracamy do całki. Podstawiamy za $\dpi{120} 2x^{3}+5=t$ oraz za $\dpi{120} dx=\frac{dt}{6x^{2}}$ . Mamy:

$\dpi{120} \int x^{2}\sqrt{{\color{Red} 2x^{3}+5}}\, {\color{Blue} dx}=\int x^{2}\cdot \sqrt{{\color{Red} t}}\cdot {\color{Blue} \frac{dt}{6x^{2}}}=\frac{1}{6}\int \sqrt{t}dt=\frac{1}{6}\int t^{\frac{1}{2}}dt=$

$\dpi{120} =\frac{1}{6}\cdot \frac{t^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C_{1}=\frac{1}{6}\cdot \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C_{1}=\frac{1}{9}t^{\frac{3}{2}}+C_{1}\overset{t=2x^{3}+5}{=}\frac{1}{9}\left ( 2x^{3}+5 \right )^{\frac{3}{2}}+C$

Ostatecznie

$\dpi{120} \int x^{2}\sqrt{2x^{3}+5}\, dx=\frac{1}{9}\left ( 2x^{3}+5 \right )^{\frac{3}{2}}+C\; \; \; C\in \mathbb{R}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} \int xe^{x^{2}}dx,$

Rozwiązanie

1. Robimy podstawienie:

$\dpi{120} x^{2}=t$ (różniczkujemy podstawienie stronami, pamiętając o różniczkach $\dpi{100} dx$ i $\dpi{100} dt$ )

$\dpi{120} 2xdx=dt$ (wyliczamy z tej zależności $\dpi{100} dx$ )

$\dpi{120} dx=\frac{dt}{2x}$

2. Wracamy do całki. Podstawiamy za $\dpi{120} x^{2}=t$ oraz $\dpi{120} dx=\frac{dt}{2x}$ . Mamy:

$\dpi{120} \int xe^{x^{2}}dx=\int xe^{t}\cdot \frac{dt}{2x}=\int \frac{e^{t}}{2}dt=\frac{1}{2}\int e^{t}dt=\frac{1}{2}e^{t}+C_{1}\overset{t=x^{2}}{=}\frac{1}{2}e^{x^{2}}+C$

Ostatecznie

$\dpi{120} \int xe^{x^{2}}dx=\frac{1}{2}e^{x^{2}}+C,\; \; \; C\in \mathbb{R}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

5) $\dpi{120} \int \sin ^{2}x\cos xdx,$

Rozwiązanie

1. Robimy podstawienie:

$\dpi{120} \sin x=t$ (różniczkujemy podstawienie stronami, pamiętając o różniczkach $\dpi{100} dx$ i $\dpi{100} dt$ )

$\dpi{120} \cos xdx=dt$ (wyliczamy z tej zależności $\dpi{100} dx$ )

$\dpi{120} dx=\frac{dt}{\cos x}$

2. Wracamy do całki. Podstawiamy za $\dpi{120} \sin x=t$ oraz $\dpi{120} dx=\frac{dt}{\cos x}$ . Mamy:

$\dpi{120} \int \sin ^{2}x\cos xdx=\int t^{2}\cos x\cdot \frac{dt}{ \cos x}=\int t^{2}dt=\frac{t^{3}}{3}+C_{1}\overset{t= \sin x}{=}\frac{ \sin ^{3}x}{3}+C$

Ostatecznie

$\dpi{120} \int \sin ^{2}x\cos xdx=\frac{1}{3}\sin ^{3}x+C,\; \; \; C\in \mathbb{R}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

6) $\dpi{120} \int \frac{\ln x}{x}dx,$

Rozwiązanie

1. Robimy podstawienie:

$\dpi{120} \ln x=t$ (różniczkujemy podstawienie stronami, pamiętając o różniczkach $\dpi{100} dx$ i $\dpi{100} dt$ )

$\dpi{120} \frac{1}{x}dx=dt$ (wyliczamy z tej zależności $\dpi{100} dx$ )

$\dpi{120} dx=xdt$

2. Wracamy do całki. Podstawiamy za $\dpi{120} \ln x=t$ oraz $\dpi{120} dx=xdt$ . Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{\ln x}{x}dx=\int \frac{t}{x}\cdot xdt=\int tdt=\frac{t^{2}}{2}+C_{1}\overset{t=\ln x}{=}\frac{1}{2} \ln ^{2}x+C$

Ostatecznie

$\dpi{120} \int \frac{\ln x}{x}dx=\frac{1}{2} \ln ^{2}x+C,\; \; \; C\in \mathbb{R}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

7) $\dpi{120} \int \cos x\cdot e^{\sin x}dx,$

Rozwiązanie

1. Robimy podstawienie:

$\dpi{120} \sin x=t$ (różniczkujemy podstawienie stronami, pamiętając o różniczkach $\dpi{100} dx$ i $\dpi{100} dt$ )

$\dpi{120} \cos dx=dt$ (wyliczamy z tej zależności $\dpi{100} dx$ )

$\dpi{120} dx=\frac{dt}{\cos x}$

2. Wracamy do całki. Podstawiamy za $\dpi{120} \sin x=t$ oraz $\dpi{120} dx=\frac{dt}{\cos x}$ . Mamy:

$\dpi{120} \int \cos x\cdot e^{\sin x}dx=\int \cos xe^{t}\cdot \frac{dt}{ \cos x}=\int e^{t}dt=e^{t}+C_{1}\overset{t=\sin x}{=}e^{ \sin x}+C$

Ostatecznie

$\dpi{120} \int \cos xe^{\sin x}dx=e ^{\sin x}+C,\; \; \; C\in \mathbb{R}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

8) $\dpi{120} \int \frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}dx,$

Rozwiązanie

1. Robimy podstawienie:

$\dpi{120} 1+\sin x=t$ (różniczkujemy podstawienie stronami, pamiętając o różniczkach $\dpi{100} dx$ i $\dpi{100} dt$ )

$\dpi{120} \cos dx=dt$ (wyliczamy z tej zależności $\dpi{100} dx$ )

$\dpi{120} dx=\frac{dt}{\cos x}$

2. Wracamy do całki. Podstawiamy za $\dpi{120} 1+\sin x=t$ oraz $\dpi{120} dx=\frac{dt}{\cos x}$ . Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}dx=\int \frac{\cos x}{\sqrt{t}}\cdot \frac{dt}{ \cos x}=\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=\int t^{-\frac{1}{2}}dt=\frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C_{1}=$

$\dpi{120} =\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C_{1}=2\sqrt{t}+C_{1}\overset{t=1+\sin x}{=}2\sqrt{1+ \sin x}+C$

Ostatecznie

$\dpi{120} \int \frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}dx=2\sqrt{1+ \sin x}+C,\; \; \; C\in \mathbb{R}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

9) $\dpi{120} \int \frac{x^{2}}{\cos ^{2}\left ( x^{3}+1 \right )}dx,$

Rozwiązanie

1. Robimy podstawienie:

$\dpi{120} x^{3}+1=t$ (różniczkujemy podstawienie stronami, pamiętając o różniczkach $\dpi{100} dx$ i $\dpi{100} dt$ )

$\dpi{120} 3x^{2} dx=dt$ (wyliczamy z tej zależności $\dpi{100} dx$ )

$\dpi{120} dx=\frac{dt}{3x^{2}}$

2. Wracamy do całki. Podstawiamy za $\dpi{120} x^{3}+1=t$ oraz $\dpi{120} dx=\frac{dt}{3x^{2}}$ . Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{x^{2}}{\cos ^{2}\left ( x^{3}+1 \right )}dx=\int \frac{x^{2}}{\cos ^{2}t}\cdot \frac{dt}{3x^{2}}=\int \frac{dt}{3 \cos ^{2}t}=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{ \cos ^{2}t}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{3}tgt+C_{1}\overset{t=x^{3}+1}{=}\frac{1}{3}tg\left ( x^{3}+1 \right )+C$

Ostatecznie

$\dpi{120} \int \frac{x^{2}}{\cos ^{2}\left ( x^{3}+1 \right )}dx=\frac{1}{3}tg\left ( x^{3}+1 \right )+C,\; \; \; C\in \mathbb{R}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

10) $\dpi{120} \int \frac{tgx}{\cos ^{2}x}dx,$

Rozwiązanie

1. Robimy podstawienie:

$\dpi{120} tgx=t$ (różniczkujemy podstawienie stronami, pamiętając o różniczkach $\dpi{100} dx$ i $\dpi{100} dt$ )

$\dpi{120} \frac{1}{\cos ^{2}x} dx=dt$ (wyliczamy z tej zależności $\dpi{100} dx$ )

$\dpi{120} dx=\cos ^{2}xdt$

2. Wracamy do całki. Podstawiamy za $\dpi{120} tgx=t$ oraz $\dpi{120} dx=\cos ^{2}xdt$ . Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{tgx}{\cos ^{2}x}dx=\int \frac{t}{\cos ^{2}x}\cdot \cos ^{2}xdt=\int tdt=\frac{t^{2}}{2}+C_{1}\overset{t= tgx}{=}\frac{1}{2} tg ^{2}x+C$

Ostatecznie

$\dpi{120} \int \frac{tgx}{\cos ^{2}x}dx=\frac{1}{2}tg^{2}x+C,\; \; \; C\in \mathbb{R}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

11) $\dpi{120} \int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^{4}}},$

Rozwiązanie

1. Robimy podstawienie:

$\dpi{120} x^{2}=t$ (różniczkujemy podstawienie stronami, pamiętając o różniczkach $\dpi{100} dx$ i $\dpi{100} dt$ )

$\dpi{120} 2x dx=dt$ (wyliczamy z tej zależności $\dpi{100} dx$ )

$\dpi{120} dx=\frac{dt}{2x}$

2. Wracamy do całki. Podstawiamy za $\dpi{120} x^{2}=t$ oraz $\dpi{120} dx=\frac{dt}{2x}$ . Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^{4}}}=\int \frac{x}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot \frac{dt}{2x}=\int \frac{dt}{2\sqrt{1-t^{2}}}=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{2}\arcsin t+C_{1}\overset{t=x^{2}}{=}\frac{1}{2} \arcsin x^{2}+C$

Ostatecznie

$\dpi{120} \int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^{4}}}=\frac{1}{2}\arcsin x^{2}+C,\; \; \; C\in \mathbb{R}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

12) $\dpi{120} \int \frac{\left ( \ln x \right )^{2}}{x}dx,$

Rozwiązanie

1. Robimy podstawienie:

$\dpi{120} \ln x=t$ (różniczkujemy podstawienie stronami, pamiętając o różniczkach $\dpi{100} dx$ i $\dpi{100} dt$ )

$\dpi{120} \frac{1}{x}dx=dt$ (wyliczamy z tej zależności $\dpi{100} dx$ )

$\dpi{120} dx=xdt$

2. Wracamy do całki. Podstawiamy za $\dpi{120} \ln x=t$ oraz $\dpi{120} dx=xdt$ . Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{\left (\ln x \right )^{2}}{x}dx=\int \frac{t^{2}}{x}\cdot xdt=\int t^{2}dt=\frac{t^{3}}{3}+C_{1}\overset{t=\ln x}{=}\frac{1}{3} \ln ^{3}x+C$

Ostatecznie

$\dpi{120} \int \frac{\left (\ln x \right )^{2}}{x}dx=\frac{1}{3} \ln ^{3}x+C,\; \; \; C\in \mathbb{R}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

13) $\dpi{120} \int \frac{tg\, x}{\ln \left ( \cos x \right )}dx.$

Rozwiązanie

Ze szkoły wiemy, że $\dpi{120} tg\, x=\frac{\sin x}{\cos x}$ . Zatem nasza całka zapisze się jako:

$\dpi{120} \int \frac{tg\, x}{\ln \left ( \cos x \right )}dx=\int \frac{\sin x}{\cos x\cdot \ln \left ( \cos x \right )}dx$

1. Robimy podstawienie:

$\dpi{120} \cos x=t$ (różniczkujemy podstawienie stronami, pamiętając o różniczkach $\dpi{100} dx$ i $\dpi{100} dt$ )

$\dpi{120} -\sin x\, dx=dt$ (wyliczamy z tej zależności $\dpi{100} dx$ )

$\dpi{120} dx=\frac{dt}{-\sin x}$

2. Wracamy do całki. Podstawiamy za $\dpi{120} \cos x=t$ oraz $\dpi{120} dx=\frac{dt}{-\sin x}$ . Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{\sin x}{\cos x\cdot \ln \left ( \cos x \right )}dx=\int \frac{{\color{Blue} \sin x}}{t\cdot \ln t}\cdot \frac{dt}{-{\color{Blue} \sin x}}=$

$\dpi{120} =-\int \frac{dt}{t\ln t}=$

3. Wykonujemy jeszcze jedno podstawienie. Tym razem:

$\dpi{120} \ln t=s$ (różniczkujemy podstawienie stronami, pamiętając o różniczkach $\dpi{100} dt$ i $\dpi{100} ds$ )

$\dpi{120} \frac{1}{t}dt=ds$ (wyliczamy z tej zależności $\dpi{100} dt$ )

$\dpi{120} dt=tds$

4. Wracamy do całki. Podstawiamy za $\dpi{120} \ln t=s$ oraz $\dpi{120} dt=tds$ . Mamy:

$\dpi{120} -\int \frac{dt}{t\ln t}=-\int \frac{{\color{Blue} t}ds}{{\color{Blue} t}\cdot s }=-\int \frac{ds}{s}=- \ln \left | s \right |+C_{1}$

5. Wracamy do poprzednich zmiennych. Najpierw $\dpi{120} s=\ln t$ , potem $\dpi{120} t=\cos x$ . Zatem:

$\dpi{120} - \ln \left | s \right |+C_{1}=-\ln \left | \ln t \right |+C_{2}=-\ln \left | \ln \left ( \cos x \right ) \right |+C$

Ostatecznie:

$\dpi{120} \int \frac{tg\, x}{\ln \left ( \cos x \right )}dx=-\ln \left | \ln \left ( \cos x \right ) \right |+C,\; \; \; C\in \mathbb{R}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń