Ekstrema warunkowe funkcji (teoria)

Niech $\dpi{120} X$ oznacza niepusty i otwarty podzbiór przestrzeni $\dpi{120} R^{2}$ , funkcje $\dpi{120} f$ i $\dpi{120} g$ zmiennych $\dpi{120} x$ i $\dpi{120} y$ będą określone i ciągłe na $\dpi{120} X$ .

DEFINICJA Mówimy, że funkcja $\dpi{120} z=f\left ( x,y \right )$ osiąga w punkcie $\dpi{120} \left ( x_{0},y_{0} \right )\in X$ maksimum (minimum) warunkowe, przy warunku

(*) $\dpi{120} g\left ( x,y \right )=0$

jeżeli punkt $\dpi{120} \left ( x_{0},y_{0} \right )$ spełnia równanie (*) oraz istnieje takie otoczenie $\dpi{120} U$ punktu $\dpi{120} \left ( x_{0},y_{0} \right )$ , że dla każdego punktu $\dpi{120} \left ( x,y \right )\in U$ spełniającego warunek (*) zachodzi nierówność

$\dpi{120} f\left ( x,y \right )\leqslant f\left ( x_{0},y_{0} \right )\; \; \; \; \; \; \; \; \; \left (f\left ( x,y \right )\geqslant f\left ( x_{0},y_{0} \right ) \right ).$

MNOŻNIKI LAGRANGE’A

Wprowadźmy funkcję pomocniczą zwaną funkcją Lagrange’a:

$\dpi{120} L\left ( \lambda ,x,y \right )=f\left (x,y \right )+\lambda \cdot g\left ( x,y \right ).$

Znajdujemy ekstremum tak rozumianej funkcji.

Warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego:

Funkcja $\dpi{120} z=f\left ( x,y \right )$ osiąga w punkcie $\dpi{120} \left ( x_{0},y_{0} \right )$ ekstremum warunkowe przy warunku $\dpi{120} g\left ( x,y \right )=0$ wtedy, gdy

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} L'_{x}=f'_{x}\left ( x_{0},y_{0} \right )-\lambda g'_{x}\left ( x_{0},y_{0} \right )=0\\ L'_{y}=f'_{y}\left ( x_{0},y_{0} \right )-\lambda g'_{y}\left ( x_{0},y_{0} \right )=0\\ L'_{\lambda }=g\left ( x_{0},y_{0} \right )=0 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

Punkty $\dpi{120} \left ( x_{0},y_{0},\lambda _{0} \right )$ nazywamy punktami stacjonarnymi lub punktami podejrzanymi o ekstremum.

Wprowadźmy tzw. Hesjan obrzeżony:

$\dpi{120} \left |\bar{H } \right |=\begin{vmatrix} 0 & g'_{x} & g'_{y}\\ g'_{x}& L''_{xx}& L''_{xy}\\ g'_{y}&L''_{yx} & L''_{yy} \end{vmatrix}.$

Warunki dostateczne istnienia ekstremum warunkowego funkcji $\dpi{120} z=f\left ( x,y \right )$ w punkcie stacjonarnym $\dpi{120} \left ( x_{0},y_{0} \right )$ są następujące:

– dla minimum mamy $\dpi{120} \left | {\bar{H}\left ( x_{0},y_{0},\lambda _{0} \right )} \right |<0$ ,

– dla maksimum mamy $\dpi{120} \left | {\bar{H}\left ( x_{0},y_{0},\lambda _{0} \right )} \right |>0$ .

Zapraszamy do zadań! tutaj