Niech oznacza niepusty i otwarty podzbiór przestrzeni
, funkcje
i
zmiennych
i
będą określone i ciągłe na
.
DEFINICJA Mówimy, że funkcja osiąga w punkcie
maksimum (minimum) warunkowe, przy warunku
(*)
jeżeli punkt spełnia równanie (*) oraz istnieje takie otoczenie
punktu
, że dla każdego punktu
spełniającego warunek (*) zachodzi nierówność
MNOŻNIKI LAGRANGE’A
Wprowadźmy funkcję pomocniczą zwaną funkcją Lagrange’a:
Znajdujemy ekstremum tak rozumianej funkcji.
Warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego:
Funkcja osiąga w punkcie
ekstremum warunkowe przy warunku
wtedy, gdy
Punkty nazywamy punktami stacjonarnymi lub punktami podejrzanymi o ekstremum.
Wprowadźmy tzw. Hesjan obrzeżony:
Warunki dostateczne istnienia ekstremum warunkowego funkcji w punkcie stacjonarnym
są następujące:
– dla minimum mamy ,
– dla maksimum mamy .
Zapraszamy do zadań! tutaj