Równanie Riccatiego to równanie różniczkowe postaci: gdzie funkcje są ciągłe w pewnym przedziale. Gdy: – , to otrzymujemy równanie liniowe, – , to otrzymujemy równanie Bernoulliego. Jeśli znamy rozwiązanie szczególne tego równania, to poprzez podstawienie sprowadzimy je do równania liniowego. Zróżniczkujmy powyższe podstawienie: Wstawiamy do równania: Wyrazy zaznaczone na czerwono skracają się , gdyż jest Read more about Równanie Riccatiego – teoria[…]
W równaniach Bernoulliego będziemy wykorzystywać wcześniejszą wiedzę z równań różniczkowych i liczenia całek. Każde równanie Bernoulliego sprowadza się do równania liniowego tutaj, dlatego należy znać metody ich rozwiązywania. Ponadto wykorzystujemy różne metody liczenia całek: całkowanie przez części tutaj, całki wymierne tutaj i inne. Zadanie 1. Rozwiązać równanie Bernoulliego: 1) 2) 3) 4) 5) Zadanie 2. Rozwiązać równanie Read more about Równanie Bernoulliego – zadania[…]
Równanie Bernoulliego jest to równanie różniczkowe postaci gdzie funkcje i są ciągłe w pewnym przedziale , . Dla jest to równanie liniowe, zaś dla otrzymujemy równanie o rozdzielonych zmiennych. Rozwiązujemy je, dzieląc go przez i wprowadzając funkcję . Mamy wówczas: Wykonujemy podstawienie: Wstawiamy do równania i otrzymujemy: Jest to równanie liniowe, które omawialiśmy wcześniej tutaj. Read more about Równanie Bernoulliego – teoria[…]
Funkcja nazywa się funkcją jednorodną stopnia zerowego, jeżeli przy pomnożeniu argumentów i przez dowolny (ten sam dla obu argumentów) parametr wartość funkcji nie ulega zmianie. Funkcję taką można zapisać w postaci: Równanie nazywamy równaniem jednorodnym względem i , jeżeli funkcja jest funkcją jednorodną stopnia zerowego. Równanie jednorodne można więc zapisać w postaci: Rozwiązujemy je wykonując Read more about Równania różniczkowe jednorodne – teoria[…]
Mamy 3 zadania. W zadaniu 1 uczymy się rozwiązywać równania jednorodne rzędu II. Chociaż w podpunkcie 8 i 9 tego zadania pojawiają się równania wyższego rzędu. Warto zobaczyć, gdyż nie jest to nic skomplikowanego. W zadaniu 2 dołożony jest warunek początkowy, ale dalej ćwiczymy rozwiązywanie równań jednorodnych. Zadanie 3 to już pełne równanie rzędu II Read more about Równania rzędu drugiego o stałych współczynnikach – zadania[…]
Równanie liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach to równanie postaci: I krok Aby rozwiązać powyższe równanie w pierwszym kroku należy rozwiązać równanie jednorodne, czyli takie, którego prawa strona jest równa zero: Schemat w dalszej części. Otrzymujemy rozwiązanie . II krok Następnie znajdujemy rozwiązanie szczególne metodą przewidywań. III krok Rozwiązanie końcowe równania ma postać: Schemat rozwiązania Read more about Równania rzędu drugiego o stałych współczynnikach- teoria[…]
Mamy 3 zadania. Pierwsze zadanie jest zastosowaniem metody przewidywań. Wszystkie podpunkty są ważne, gdyż w każdym z nich pojawia się nowa ważna rzecz. Prosimy nie opuszczać żadnego. Zadanie 2 to wykorzystywane kolejne dwie metody: uzmiennienia stałej i czynnika całkującego. Podpunkt pierwszy rozwiązujemy oboma metodami (dla porównania). Następne na przemian tymi metodami. Proponujemy nauczenie się jednej Read more about Równania liniowe – zadania[…]
Schemat metody przewidywań dla równania Schemat metody uzmiennienia stałej dla równania Schemat metody czynnika całkującego dla równania Zapraszamy do zadań! tutaj
Równanie różniczkowe liniowe rzędu I jest to równanie postaci: Poznamy trzy metody rozwiązywania tego typu równań: 1) metoda przewidywań, 2) metoda uzmiennienia stałej, 3) metoda czynnika całkującego. Metoda przewidywań nie jest metodą ogólną. Rozwiązuje tylko pewne równania liniowe. Są one postaci: gdzie jest pewną stałą (nie funkcją) rzeczywistą, a funkcja ma jedną z postaci: a) Read more about Równania liniowe – teoria[…]
Mamy 2 zadania. W pierwszym zadaniu rozwiązujemy kolejno równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych od przykładów łatwych do coraz trudniejszych. Dobrze jest przestudiować wszystkie przykłady (łatwe również), gdyż pojawiają się w nich pewne przekształcenia, które później pojawiają się dosyć często. Znajdujemy tutaj tzw. rozwiązanie ogólne. W zadaniu drugim dochodzi nam warunek początkowy nazywany również zagadnieniem Cauchy’ego. Read more about Równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych – zadania[…]