Równanie różniczkowe liniowe (wzory)

Schemat metody przewidywań dla równania $\dpi{120} \large y'+py=f\left ( x \right )$

1) Rozwiązujemy równanie jednorodne $\dpi{120} y'+py=0$ . Jest to zawsze równanie o rozdzielonych zmiennych. Otrzymujemy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego $\dpi{120} y_{j}$ .

2) Znajdujemy rozwiązanie szczególne $\dpi{120} y_{sz}$ metodą przewidywań. W tym celu wykorzystujemy poniższą tabelę:

Prawa strona $\dpi{120} f\left ( x \right )$	Przewidywana postać $\dpi{120} y_{sz}$
$\dpi{120} ae^{\alpha x}$	$\dpi{120} Ae^{\alpha x}$
$\dpi{120} a\sin \alpha x+b\cos \alpha x$	$\dpi{120} A\sin \alpha x+B\cos \alpha x$
$\dpi{120} a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}$	$\dpi{120} A_{0}+A_{1}x+A_{2}x^{2}+...+A_{n}x^{n}$

3) Równanie końcowe równania ma postać:

$\dpi{120} y=y_{j}+y_{sz}$

Pokaż schemat

Zwiń

Schemat metody uzmiennienia stałej dla równania $\dpi{120} \large y'+p\left ( x \right )y=f\left ( x \right )$

1) Rozwiązujemy równanie jednorodne $\dpi{120} y'+p\left ( x \right )y=0$ . Jest to zawsze równanie o rozdzielonych zmiennych. Otrzymujemy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego $\dpi{120} y_{j}$ . Będzie ono postaci

$\dpi{120} y_{j}=Ce^{-P\left ( x \right )}$

gdzie $\dpi{120} P\left ( x \right )=\int p\left ( x \right )dx$

2) Uzmienniamy stałą $\dpi{120} C$ . Otrzymujemy:

$\dpi{120} y=C\left ( x \right )e^{-P\left ( x \right )}$

3) Liczymy pochodną $\dpi{120} y'$ . Zawsze stosujemy wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji.

4) Wstawiamy $\dpi{120} y$ z punktu 2) i $\dpi{120} y'$ z punktu 3) do wyjściowego równania różniczkowego. Zawsze powinny skrócić się wyrazy zawierające $\dpi{120} C\left ( x \right )$ . Jeżeli nie skrócą się to znaczy, że popełniliśmy błąd. Zostanie tylko wyraz będący postaci $\dpi{120} C'\left ( x \right )\cdot g\left ( x \right )$ . Otrzymujemy tutaj równanie:

$\dpi{120} C'\left ( x \right )\cdot g\left ( x \right )=f\left ( x \right )$

z którego wyliczamy $\dpi{120} C'\left ( x \right )=\frac{f\left ( x \right )}{g\left ( x \right )}$ .

5) Całkujemy równanie z punktu 4). Otrzymujemy pewną funkcję postaci

$\dpi{120} C\left ( x \right )=F\left ( x \right )+\widetilde{C}$

6) Wstawiamy otrzymaną w punkcie 5) funkcję $\dpi{120} C\left ( x \right )$ do rozwiązania $\dpi{120} y$ z punktu 2). Jest to nasze rozwiązanie ogólne.

Pokaż schemat

Zwiń

Schemat metody czynnika całkującego dla równania $\dpi{120} \large y'+p\left ( x \right )y=f\left ( x \right )$

1) Liczymy czynnik całkujący $\dpi{120} \mu \left ( x \right )$ według wzoru:

$\dpi{120} \mu \left ( x \right )=e^{\int p\left ( x \right )dx}$

2) Mnożymy stronami równanie $\dpi{120} y'+p\left ( x \right )y=f\left ( x \right )$ przez czynnik $\dpi{120} \mu \left ( x \right )$ znaleziony w punkcie 1). Mamy:

$\dpi{120} \mu \left ( x \right )y'+\mu \left ( x \right )p\left ( x \right )y=f\left ( x \right )\mu \left ( x \right )$

3) Lewa strona tego równania czyli $\dpi{120} \mu \left ( x \right )y'+\mu \left ( x \right )p\left ( x \right )y$ powinna się zapisać w postaci $\dpi{120} \left ( \mu \left ( x \right ) y\right )'$ . Jeżeli nie będzie to prawda to znaczy, że popełniliśmy gdzieś błąd. Otrzymujemy wówczas równanie: