Równania liniowe – zadania

1) 

Rozwiązanie

1. Rozwiązujemy równanie jednorodne, czyli

Jest to równanie o rozdzielonych zmiennych. Do jego rozwiązania stosujemy zawsze ten sam schemat:

                 – rozwiązanie równania

              wprowadzamy

           całkujemy stronami

                     opuszczamy wartość bezwzględną i dołączamy rozwiązanie

    – rozwiązanie ogólne równania jednorodnego RORJ

Tak naprawdę jest ono widoczne od razu z postaci równania jednorodnego:

       –  zmiana znaku w wykładniku

Jednak nie polecamy takich skrótów. Raczej nie są mile widziane przez wykładowców.

2. Przewidujemy rozwiązanie szczególne. Prawa strona równania ma postać . Rozwiązanie szczególne powinno być dokładnie takiej samej postaci. (pierwsza zasada metody przewidywań, później pojawi się jeszcze jedna) Nie możemy zmienić wykładnika potęgi, a więc pozostaje . Przed   w funkcji mamy stałą równą 4. Wobec tego również w rozwiązaniu szczególnym przed pojawi się stała, ale nie wiemy jaka. Wobec tego równanie szczególne będzie postaci:

Teraz już schemat. Różniczkujemy powyższą równość:

Wstawiamy wartości i do wyjściowego równania . Mamy:

Redukcja po lewej stronie równania:

Porównujemy współczynniki przy funkcji :

Wstawiamy do przewidywanego :

3. Rozwiązanie końcowe naszego równania jest postaci:

Czyli:

2) 

Rozwiązanie

1. Rozwiązujemy równanie jednorodne, czyli

Jest to równanie o rozdzielonych zmiennych. Do jego rozwiązania stosujemy zawsze ten sam schemat:

                 – rozwiązanie równania

               wprowadzamy

             całkujemy stronami

          opuszczamy wartość bezwzględną i dołączamy rozwiązanie

    – rozwiązanie ogólne równania jednorodnego RORJ

Widzimy go od razu z postaci równania jednorodnego:

        –  zmiana znaku w wykładniku

Jednak nie polecamy takich skrótów. Raczej nie są mile widziane przez wykładowców.

2. Przewidujemy rozwiązanie szczególne. Prawa strona równania ma postać . Zapamiętajmy, że pomimo tego, iż nie ma po prawej stronie funkcji cosinus, to rozwiązanie szczególne przewidujemy w takich przypadkach zawsze jako sumę sinusa i cosinusa. Argument sinusa czyli  pozostaje taki sam. W funkcji przed była stała 10, więc również w rozwiązaniu szczególnym pojawią się stałe. Zatem:

Teraz już schemat. Różniczkujemy powyższą równość:

Wstawiamy wartości i do wyjściowego równania . Mamy:

Mnożenie po lewej stronie równania:

Grupujemy wyrazy po lewej stronie odpowiednio przy oraz :

Porównujemy współczynniki przy funkcjach  oraz . Otrzymujemy układ równań:

Rozwiązujemy go dowolną metodą i otrzymujemy:

Wstawiamy te wartości do przewidywanego :

3. Rozwiązanie końcowe naszego równania jest postaci:

Czyli:

3) 

Rozwiązanie

1. Rozwiązujemy równanie jednorodne, czyli

Jest to równanie o rozdzielonych zmiennych. Do jego rozwiązania stosujemy zawsze ten sam schemat:

                 – rozwiązanie równania

             wprowadzamy

        całkujemy stronami

                    opuszczamy wartość bezwzględną i dołączamy rozwiązanie

    – rozwiązanie ogólne równania jednorodnego RORJ

Widzimy go od razu z postaci równania jednorodnego:

        –  zmiana znaku w wykładniku

Jednak nie polecamy takich skrótów. Raczej nie są mile widziane przez wykładowców.

2. Przewidujemy rozwiązanie szczególne. Prawa strona równania ma postać . Jest to wielomian stopnia drugiego, więc rozwiązanie szczególne też będzie wielomianem stopnia drugiego, ale o nieznanych współczynnikach. Zatem:

Różniczkujemy powyższą równość:

Wstawiamy wartości i do wyjściowego równania . Mamy:

Grupujemy wyrazy po lewej stronie odpowiednio przy oraz wyrazy wolne:

Porównujemy współczynniki. Otrzymujemy układ równań:

Rozwiązujemy go dowolną metodą i otrzymujemy:

Wstawiamy te wartości do przewidywanego :

3. Rozwiązanie końcowe naszego równania jest postaci:

Czyli:

Rozwiązanie

1. Rozwiązujemy równanie jednorodne, czyli

Jest to równanie o rozdzielonych zmiennych.

                 – rozwiązanie równania

              wprowadzamy

            całkujemy stronami

                                   opuszczamy wartość bezwzględną i dołączamy rozwiązanie

    – rozwiązanie ogólne równania jednorodnego RORJ

Widzimy go od razu z postaci równania jednorodnego:

        –  zmiana znaku w wykładniku

Jednak nie polecamy takich skrótów. Raczej nie są mile widziane przez wykładowców.

2. Przewidujemy rozwiązanie szczególne. Prawa strona równania ma postać . Pamiętajmy, że pomimo tego, iż nie ma po prawej stronie funkcji sinus, to rozwiązanie szczególne przewidujemy w takich przypadkach zawsze jako sumę sinusa i cosinusa. Argument cosinusa czyli  pozostaje taki sam. W funkcji przed  jest czyli funkcja liniowa, więc również w rozwiązaniu szczególnym pojawią się jako współczynniki funkcje liniowe. Zatem:

Różniczkujemy powyższą równość (uwaga na iloczyn):

Wstawiamy wartości i do wyjściowego równania  mamy:

Przekształcamy lewą stronę równania:

Grupujemy wyrazy po lewej stronie:

Porównujemy współczynniki. Otrzymujemy układ równań:

Rozwiązujemy go dowolną metodą i otrzymujemy:

Wstawiamy te wartości do przewidywanego :

3. Rozwiązanie końcowe naszego równania jest postaci:

Czyli:

5)        ważny

Rozwiązanie

1. Rozwiązujemy równanie jednorodne, czyli

                 – rozwiązanie równania

           wprowadzamy

            całkujemy stronami

             opuszczamy wartość bezwzględną i dołączamy rozwiązanie

    – rozwiązanie ogólne równania jednorodnego RORJ

Widzimy go od razu z postaci równania jednorodnego:

        –  zmiana znaku w wykładniku

Jednak nie polecamy takich skrótów. Raczej nie są mile widziane przez wykładowców.

2. Przewidujemy rozwiązanie szczególne. Prawa strona równania ma postać . Według pierwszej zasady, którą stosowaliśmy dotychczas rozwiązanie szczególne powinno być postaci

Tak nie jest. Jest jeszcze druga zasada (ostatnia). Patrzymy czy nasze rozwiązanie szczególne przewidziane według pierwszej reguły nie pokrywa się z rozwiązaniem ogólnym. Tak jest w naszym przypadku: oraz . Oznaczenie stałych nie ma znaczenia. Wówczas mnożymy rozwiązanie przez . Otrzymujemy już poprawne rozwiązanie szczególne:

Różniczkujemy powyższą równość (uwaga na iloczyn):

Wstawiamy wartości i do wyjściowego równania . Mamy:

Redukcja po lewej stronie równania:

Porównujemy współczynniki przy funkcji :

Wstawiamy  do przewidywanego :

3. Rozwiązanie końcowe naszego równania jest postaci:

Czyli:

6) 

Rozwiązanie

1. Rozwiązujemy równanie jednorodne, czyli

                 – rozwiązanie równania

           wprowadzamy

         całkujemy stronami

                                   opuszczamy wartość bezwzględną i dołączamy rozwiązanie

    – rozwiązanie ogólne równania jednorodnego RORJ

Widzimy go od razu z postaci równania jednorodnego:

        –  zmiana znaku w wykładniku

Jednak nie polecamy takich skrótów. Raczej nie są mile widziane przez wykładowców.

2. Przewidujemy rozwiązanie szczególne.

Mamy tutaj kolejny przypadek, gdy prawa strona jest sumą dwu funkcji . Znajdujemy dwa oddzielne rozwiązanie szczególne dla oraz dla .

  Zajmijmy się najpierw funkcją . Rozwiązanie szczególne powinno być postaci

Jest to poprawna postać, gdyż nie powtarza się ona w rozwiązaniu ogólnym. Zatem różniczkujemy tę równość:

Wstawiamy wartości  i  do wyjściowego równania (pomijamy wyraz ). Mamy:

Redukcja po lewej stronie równania:

Porównujemy współczynniki przy funkcji :

Wstawiamy  do przewidywanego :

Zajmijmy się teraz funkcją . Rozwiązanie szczególne powinno być postaci

Nie jest to poprawna postać, gdyż powtarza się w rozwiązaniu ogólnym. Zatem mnożymy go przez . Mamy:

Różniczkujemy:

Wstawiamy wartości  i  do wyjściowego równania  (pomijamy wyraz ). Mamy:

Redukcja po lewej stronie równania:

Porównujemy współczynniki przy funkcji :

Wstawiamy  do przewidywanego :

3. Rozwiązanie końcowe naszego równania jest postaci:

Czyli:

1) 

Rozwiązanie

I metoda – uzmiennienie stałej

1. Rozwiązujemy równanie jednorodne:

Postępujemy podobnie jak w zadaniu 1.

                  – rozwiązanie równania

                          wprowadzamy

                   całkujemy stronami

                   opuszczamy wartość bezwzględną i dołączamy

            –   rozwiązanie ogólne równania jednorodnego RORJ

2. Uzmienniamy stałą, czyli:

3. Liczymy pochodną (uwaga na iloczyn):

4. Wstawiamy oraz do wyjściowego równania :

Redukcja po lewej stronie. Zawsze powinny się skrócić wyrazy zawierające . Jeżeli się nie skrócą, to znaczy, że mamy błąd.

5. Całkujemy stronami:

6. Wstawiamy otrzymane do rozwiązania z punktu 2 :

Jest to nasze rozwiązanie.

II metoda – czynnik całkujący

1. Liczymy czynnik całkujący według wzoru , gdzie odczytujemy z postaci równania:

2. Mnożymy równanie stronami przez czynnik całkujący:

3. Sprawdzamy, czy lewa strona równania da się zapisać w postaci :

4. Zapisujemy równanie jako:

Całkujemy powyższe równanie:

Podsumowanie

W obydwu metodach liczymy takie same całki, więc nie można wskazać łatwiejszej z metod. Każdy wybiera tę, która mu lepiej odpowiada. W następnych przykładach będziemy używać obydwu metod na zmianę. Wyniki po zastosowaniu którejkolwiek z nich powinniśmy otrzymać takie same, co widać na powyższym przykładzie.

2) 

Rozwiązanie

I metoda – uzmiennienie stałej

1. Rozwiązujemy równanie jednorodne:

Postępujemy podobnie jak w zadaniu 1.

                  – rozwiązanie równania

                      wprowadzamy

                  całkujemy stronami

           opuszczamy wartość bezwzględną i dołączamy

            –   rozwiązanie ogólne równania jednorodnego RORJ

2. Uzmienniamy stałą, czyli:

3. Liczymy pochodną (uwaga na iloczyn):

4. Wstawiamy oraz do wyjściowego równania :

Redukcja po lewej stronie. Zawsze powinny się skrócić wyrazy zawierające . Jeżeli się nie skrócą, to znaczy, że mamy błąd.

5. Całkujemy stronami:

Liczymy całkę:

Otrzymaliśmy zatem, że:

6. Wstawiamy otrzymane do rozwiązania z punktu 2 :

Jest to nasze rozwiązanie.

3) 

Rozwiązanie

II metoda – czynnik całkujący

Najpierw musimy doprowadzić równanie do postaci liniowej czyli

1. Liczymy czynnik całkujący według wzoru , gdzie  odczytujemy z postaci równania:

Liczymy całkę:

Zatem:

2. Mnożymy równanie stronami przez czynnik całkujący:

Wróciliśmy do wyjściowego równania. Można było od razu zauważyć zależność, która powinna być po lewej stronie: , ale najczęściej tego nie widzimy. Oczywiście nie jest to błąd, ale dłuższe rozwiązanie.

3. Sprawdzamy, czy lewa strona równania da się zapisać w postaci :

4. Zapisujemy równanie jako:

Całkujemy powyższe równanie:

Jest to szukane rozwiązanie.

4) 

Rozwiązanie

I metoda – uzmiennienie stałej

Najpierw przekształćmy równanie do postaci liniowej czyli .

1. Rozwiązujemy równanie jednorodne:

Postępujemy podobnie jak w zadaniu 1.

                  – rozwiązanie równania

                   wprowadzamy

               całkujemy stronami

            opuszczamy wartość bezwzględną i dołączamy

            –   rozwiązanie ogólne równania jednorodnego RORJ

2. Uzmienniamy stałą, czyli:

3. Liczymy pochodną (uwaga na iloczyn):

4. Wstawiamy oraz do równania :

Redukcja po lewej stronie. Zawsze powinny się skrócić wyrazy zawierające . Jeżeli się nie skrócą, to znaczy, że mamy błąd.

5. Całkujemy stronami:

6. Wstawiamy otrzymane do rozwiązania z punktu 2 :

Jest to nasze rozwiązanie.

5) 

Rozwiązanie

II metoda – czynnik całkujący

1. Liczymy czynnik całkujący według wzoru , gdzie  odczytujemy z postaci równania:

Liczymy całkę:

Zatem:

2. Mnożymy równanie stronami przez czynnik całkujący:

3. Sprawdzamy, czy lewa strona równania da się zapisać w postaci :

4. Zapisujemy równanie jako:

Całkujemy powyższe równanie:

Przypomnijmy liczenie całki (przez części):

Stąd :

Jest to szukane rozwiązanie.

6) 

Rozwiązanie

I metoda – uzmiennianie stałej

1. Rozwiązujemy równanie jednorodne:

Postępujemy podobnie jak w zadaniu 1.

                  – rozwiązanie równania

                    wprowadzamy

                 całkujemy stronami

                  opuszczamy wartość bezwzględną i dołączamy

            –   rozwiązanie ogólne równania jednorodnego RORJ

2. Uzmienniamy stałą, czyli:

3. Liczymy pochodną (uwaga na iloczyn):

4. Wstawiamy oraz do równania  :

Redukcja po lewej stronie. Zawsze powinny się skrócić wyrazy zawierające . Jeżeli się nie skrócą, to znaczy, że mamy błąd.

5. Całkujemy stronami:

6. Wstawiamy otrzymane do rozwiązania z punktu 2 :

Jest to nasze rozwiązanie.

Rozwiązanie

II metoda – czynnik całkujący

1. Liczymy czynnik całkujący według wzoru , gdzie  odczytujemy z postaci równania:

2. Mnożymy równanie stronami przez czynnik całkujący:

3. Sprawdzamy, czy lewa strona równania da się zapisać w postaci :

4. Zapisujemy równanie jako:

Całkujemy powyższe równanie:

Całkę powyższą liczymy przez podstawienie:

Stąd :

Jest to szukane rozwiązanie.

Rozwiązanie

I metoda – uzmiennianie stałej

1. Rozwiązujemy równanie jednorodne:

                  – rozwiązanie równania

                    wprowadzamy

                 całkujemy stronami

                  opuszczamy wartość bezwzględną i dołączamy

            –   rozwiązanie ogólne równania jednorodnego RORJ

2. Uzmienniamy stałą, czyli:

3. Liczymy pochodną (uwaga na iloczyn):

4. Wstawiamy oraz do równania  :

Redukcja po lewej stronie. Zawsze powinny się skrócić wyrazy zawierające . Jeżeli się nie skrócą, to znaczy, że mamy błąd.

5. Całkujemy stronami:

6. Wstawiamy otrzymane do rozwiązania z punktu 2 :

Jest to nasze rozwiązanie.

1) 

Rozwiązanie

Ponieważ przy jest stała równa -3, a po prawej stronie funkcja , więc możemy stosować metodę przewidywań. Oczywiście jeżeli ktoś chce, może rozwiązywać to równanie czynnikiem całkującym lub uzmiennianiem stałej.

1. Rozwiązujemy równanie jednorodne, czyli

                 – rozwiązanie równania

               wprowadzamy

             całkujemy stronami

                opuszczamy wartość bezwzględną i dołączamy rozwiązanie

    – rozwiązanie ogólne równania jednorodnego RORJ

2. Przewidujemy rozwiązanie szczególne. Prawa strona równania ma postać . Rozwiązanie szczególne powinno być dokładnie takiej samej postaci. Nie możemy zmienić wykładnika potęgi, a więc pozostaje . Przed   w funkcji mamy stałą równą 5. Wobec tego również w rozwiązaniu szczególnym przed  pojawi się stała. Wobec tego równanie szczególne będzie postaci:

Rozwiązanie takie nie powtórzyło się w rozwiązaniu ogólnym, więc jest przewidziane poprawnie.

Różniczkujemy powyższą równość:

Wstawiamy wartości i do wyjściowego równania . Mamy:

Redukcja po lewej stronie równania:

Porównujemy współczynniki przy funkcji :

Wstawiamy  do przewidywanego :

3. Rozwiązanie końcowe naszego równania jest postaci:

Czyli:

4. Wracamy do warunku początkowego . Wstawiamy go do rozwiązania ogólnego i wyliczamy stałą .

Otrzymujemy rozwiązanie warunku początkowego:

2) 

Rozwiązanie

Doprowadźmy najpierw równanie do postaci liniowej:

Ponieważ współczynnik przy nie jest stałą , więc nie możemy zastosować metody przewidywań. Wybieramy jedną z dwóch: uzmiennienie stałej lub czynnik całkujący. My rozwiążemy to równanie poprzez uzmiennienie stałej.

I metoda – uzmiennienie stałej

1. Rozwiązujemy równanie jednorodne:

                  – rozwiązanie równania

                       wprowadzamy

                 całkujemy stronami

                    opuszczamy wartość bezwzględną i dołączamy

            –   rozwiązanie ogólne równania jednorodnego RORJ

2. Uzmienniamy stałą, czyli:

3. Liczymy pochodną (uwaga na iloczyn):

4. Wstawiamy oraz do równania  :

Redukcja po lewej stronie. Zawsze powinny się skrócić wyrazy zawierające . Jeżeli się nie skrócą, to znaczy, że mamy błąd.

5. Całkujemy stronami:

Liczymy całkę (przez części):

Otrzymujemy:

6. Wstawiamy otrzymane do rozwiązania z punktu 2 :

7. Wracamy do warunku początkowego . Otrzymujemy:

Rozwiązanie warunku początkowego to:

3) 

Rozwiązanie

Doprowadźmy równanie do postaci liniowej:

Ponieważ współczynnik przy nie jest stałą , więc nie możemy zastosować metody przewidywań. Wybieramy jedną z dwóch: uzmiennienie stałej lub czynnik całkujący. Tym razem  będzie to czynnik całkujący.

II metoda – czynnik całkujący

1. Liczymy czynnik całkujący według wzoru , gdzie  odczytujemy z postaci równania:

2. Mnożymy równanie stronami przez czynnik całkujący:

3. Sprawdzamy, czy lewa strona równania da się zapisać w postaci :

4. Zapisujemy równanie jako:

Całkujemy powyższe równanie:

5. Wracamy do warunku początkowego .

Wstawiamy do rozwiązania równania

4)

Rozwiązanie

Ponieważ przy jest stała równa -1, a po prawej stronie funkcja , więc możemy stosować metodę przewidywań. Oczywiście jeżeli ktoś chce, może rozwiązywać to równanie czynnikiem całkującym lub uzmiennianiem stałej.

1. Rozwiązujemy równanie jednorodne, czyli

                 – rozwiązanie równania

               wprowadzamy

            całkujemy stronami

               opuszczamy wartość bezwzględną i dołączamy rozwiązanie

    – rozwiązanie ogólne równania jednorodnego RORJ

2. Przewidujemy rozwiązanie szczególne. Prawa strona równania ma postać . Rozwiązanie szczególne powinno być dokładnie takiej samej postaci. Nie możemy zmienić argumentu sinusa oraz przed   w funkcji mamy funkcję liniową. Wobec tego równanie szczególne będzie postaci:

Rozwiązanie takie nie powtórzyło się w rozwiązaniu ogólnym, więc jest przewidziane poprawnie.

Różniczkujemy powyższą równość:

Wstawiamy wartości i do wyjściowego równania . Mamy:

Redukcja po lewej stronie równania:

Porównujemy współczynniki:

Rozwiązujemy powyższy układ dowolną metodą i dostajemy:

Wstawiamy do przewidywanego :

3. Rozwiązanie końcowe naszego równania jest postaci:

Czyli:

4. Wracamy do warunku początkowego . Wstawiamy go do rozwiązania ogólnego i wyliczamy stałą .

Otrzymujemy rozwiązanie warunku początkowego:

Rozwiązanie

Przekształćmy to równanie do postaci:

Nie możemy stosować tutaj metody przewidywań ze względu na prawą stronę. Można zatem rozwiązać je czynnikiem całkującym lub uzmiennianiem stałej.

My rozwiążemy to równanie poprzez uzmiennianie stałej.

I metoda – uzmiennianie stałej

1. Rozwiązujemy równanie jednorodne:

                  – rozwiązanie równania

                       wprowadzamy

                 całkujemy stronami

           opuszczamy wartość bezwzględną i dołączamy

            –   rozwiązanie ogólne równania jednorodnego RORJ

2. Uzmienniamy stałą, czyli:

3. Liczymy pochodną (uwaga na iloczyn):

4. Wstawiamy oraz do równania  :

Redukcja po lewej stronie. Zawsze powinny się skrócić wyrazy zawierające . Jeżeli się nie skrócą, to znaczy, że mamy błąd.

5. Całkujemy stronami:

Otrzymujemy:

6. Wstawiamy otrzymane do rozwiązania z punktu 2 :

7. Wracamy do warunku początkowego . Otrzymujemy:

Rozwiązanie warunku początkowego to: