Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany – zadania

W temacie tym mamy 15 zadań. 6 pierwszych zadań dotyczy iloczynu skalarnego.  Dwa pierwsze są bardzo łatwe i uczymy się w nich zastosowania podstawowych wzorów. Zadania 3 i 4 wykorzystują ważną własność iloczynu skalarnego, a mianowicie: wektory są prostopadłe, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero. Pozostałe dwa zadania są zastosowaniem pewnych innych własności iloczynu Read more about Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany – zadania[…]

Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany – wzory

ILOCZYN SKALARNY Dla dwóch wektorów  i  z przestrzeni  iloczyn skalarny określamy jako np. . Kąt między wektorami  i :                          Wektory  są prostopadłe                       . Długość wektora  :                                        ILOCZYN WEKTOROWY Dla i mamy: gdzie . Iloczyn wektorowy Read more about Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany – wzory[…]

Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany – teoria

Dla prostoty pomijamy znak wektora nad , czyli: . ILOCZYN SKALARNY DEFINICJA 1. Niech  będzie przestrzenią wektorową nad ciałem . Odwzorowanie spełniające dla dowolnych  i dowolnego  następujące warunki: 1) 2)    i   3) 4)    i   nazywamy iloczynem skalarnym. Iloczyn skalarny wektorów  przyjęło się również oznaczać . A więc iloczyn skalarny jest to funkcja określona Read more about Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany – teoria[…]

Baza i wymiar przestrzeni wektorowej – zadania

Mamy 4 zadania. Zadania 1 i 2 dotyczą pojęcia bazy i wykorzystują niezależność liniową wektorów wchodzących w skład bazy.  Są bardzo proste. W zadaniu 3 i 4 zapisujemy wektory w różnych bazach. Podstawą jest tutaj znajomość pojęcia kombinacji liniowej wektorów. Zadania nie są również skomplikowane.   Zadanie 1. Zbadać, czy dane wektory tworzą bazę przestrzeni Read more about Baza i wymiar przestrzeni wektorowej – zadania[…]

Baza i wymiar przestrzeni wektorowej – teoria

DEFINICJA 1.  Wektory  przestrzeni wektorowej  nad ciałem  nazywamy bazą tej przestrzeni, gdy każdy wektor  można przedstawić jednoznacznie w postaci: tzn. każdy element przestrzeni  jest kombinacją liniową wektorów bazowych. Uwaga. Przestrzeń wektorowa  może mieć wiele baz. Jeśli przestrzeń wektorowa  ma bazę skończoną, to mówimy, że  jest przestrzenią skończenie wymiarową. Wówczas wszystkie bazy tej przestrzeni mają tyle Read more about Baza i wymiar przestrzeni wektorowej – teoria[…]

Liniowa niezależność wektorów – zadania

Mamy 5 zadań. Dwa pierwsze są przypomnieniem działań na wektorach. Zadanie 3 bada niezależność wektorów w przypadku, gdy ilość wektorów jest zgodna z wymiarem przestrzeni. Jest to bardzo proste sprawdzenie. W zadaniu 4 również badamy niezależność wektorów, ale  ilość wektorów jest różna od wymiaru przestrzeni, co uniemożliwia zastosowanie poprzedniej metody. Zadanie nieco trudniejsze. Zadanie ostatnie Read more about Liniowa niezależność wektorów – zadania[…]

Liniowa niezależność wektorów – teoria

Układ  złożony z niepustego zbioru , ciała  oraz dwu działań:   – dodawanie wektorów        – mnożenie wektora przez skalar spełniający następujące warunki: 1) struktura   jest grupą abelową, 2)    – łączność 3)        – rozdzielność 4) nazywamy przestrzenią wektorową  nad ciałem . Elementy grupy  nazywamy wektorami, elementy ciała  nazywamy skalarami. Działanie Read more about Liniowa niezależność wektorów – teoria[…]