Kategoria: Macierze

Podstawowe działania na macierzach – wzory

Data wpisu przez Joanna Piasecka

transponowanie macierzy  Transponowanie macierzy polega na zamianie wierszy z kolumnami w danej macierzy, np. Dodawanie i odejmowanie macierzy Dodawać i odejmować możemy macierze tych samych wymiarów. Dodajemy (odejmujemy) wyrazy stojące na tych samych pozycjach, np. Mnożenie macierzy przez liczbę rzeczywistą Przez liczbę mnożymy każdy wyraz w macierzy np. Mnożenie macierzy Iloczynem macierzy     i      Read more about Podstawowe działania na macierzach – wzory[…]

Podstawowe działania na macierzach – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Niech . Prostokątną tablicę utworzoną z liczb rzeczywistych (zespolonych)    dla  nazywamy rzeczywistą (zespoloną) macierzą prostokątną o wymiarze  Elementy  nazywamy wyrazami macierzy. Rzędy pionowe nazywamy kolumnami, zaś poziomie – wierszami tej macierzy. Symbol  jest to element stojący na przecięciu -tego wiersza oraz -tej kolumny. Macierze oznaczamy wielkimi literami alfabetu:  . Zbiór wszystkich macierzy rzeczywistych (zespolonych)  (-wierszy, -kolumn) będziemy Read more about Podstawowe działania na macierzach – teoria[…]

Wyznacznik macierzy – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Oznaczamy przez  zbiór macierzy kwadratowych stopnia o wyrazach rzeczywistych. Macierz  zapiszmy w postaci ciągu jej kolumn: ,    gdzie    Wyznacznik macierzy jest to funkcja przyporządkowująca tej macierzy pewną liczbę rzeczywistą. Będziemy go oznaczać   lub DEFINICJA Wyznacznikiem stopnia macierzy nazywamy funkcję spełniającą następujące warunki: 1. det det det 2. det  det 3.  det 4. det W definicji Read more about Wyznacznik macierzy – teoria[…]

Wyznacznik macierzy – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 7 zadań. Zadanie 1 i 2 dotyczą wyznaczników macierzy 2 i 3 stopnia. Liczymy je bez użycia rozwinięcia Laplace’a (metodą Sarrusa). W zadaniu 2 wyznaczniki są ”włożone” w równanie bądź nierówność. W zadaniu 3 wkracza rozwinięcie Laplace’a. Kolejność podpunktów w zadaniu jest bardzo istotna. Zaczynamy od przykładów łatwych, kończymy na przykładzie dosyć długim. Prosimy Read more about Wyznacznik macierzy – zadania[…]

Macierz odwrotna – wzory

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Dla danej macierzy kwadratowej macierz jest macierzą odwrotną do , jeśli Wyraża się ona wzorem: gdzie oznacza dopełnienie algebraiczne elementu macierzy Macierz odwrotna istnieje tylko do macierzy o wyznaczniku różnym od zera. Dopełnienie algebraiczne (występowało już w rozwinięciu Laplace’a): Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy  jest iloczynem dwóch czynników: 1.   wskaźniki mówiące na przecięciu którego wiersza i kolumny Read more about Macierz odwrotna – wzory[…]

Macierz odwrotna – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

We wcześniejszych tematach pojawiły się już równania macierzowe, ale macierze w nich występujące były najczęściej wymiaru . Zwiększenie wymiaru macierzy oraz zastosowanie poprzedniej metody rozwiązywania równań byłoby bardzo nieefektywne. Wprowadzenie macierzy odwrotnej znacznie uprości rachunki. Niech  Jeśli istnieje macierz  taka, że: gdzie – macierz jednostkowa stopnia , to macierz jest elementem odwrotnym do macierzy względem Read more about Macierz odwrotna – teoria[…]

Macierz odwrotna – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 5 zadań. Zadanie 1 jest typowym liczeniem macierzy odwrotnej według schematu. W zadaniu 2 rozwiązujemy równania macierzowe, a więc stosujemy macierz odwrotną w praktyce. Jest to częste zadanie na kolokwiach czy egzaminach. Zadanie 4 i 5 są mniej standardowe. Wykorzystujemy w nich pewne własności wyznacznika i macierzy odwrotnych, bez wykorzystania rachunków jak we wcześniejszych Read more about Macierz odwrotna – zadania[…]