Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych – teoria

Niech \dpi{120} X oznacza niepusty i otwarty podzbiór przestrzeni \dpi{120} R^{2}, funkcje \dpi{120} f\dpi{120} g zmiennych \dpi{120} x\dpi{120} y będą określone i ciągłe na \dpi{120} X.

DEFINICJA Mówimy, że funkcja \dpi{120} z=f\left ( x,y \right ) osiąga w punkcie \dpi{120} \left ( x_{0},y_{0} \right )\in X maksimum (minimum) warunkowe, przy warunku

(*)                                                        \dpi{120} g\left ( x,y \right )=0

jeżeli punkt \dpi{120} \left ( x_{0},y_{0} \right ) spełnia równanie (*) oraz istnieje takie otoczenie \dpi{120} U punktu \dpi{120} \left ( x_{0},y_{0} \right ), że dla każdego punktu \dpi{120} \left ( x,y \right )\in U spełniającego warunek (*) zachodzi nierówność

\dpi{120} f\left ( x,y \right )\leqslant f\left ( x_{0},y_{0} \right )\; \; \; \; \; \; \; \; \; \left (f\left ( x,y \right )\geqslant f\left ( x_{0},y_{0} \right ) \right ).

MNOŻNIKI LAGRANGE’A

Wprowadźmy funkcję pomocniczą zwaną funkcją Lagrange’a:

\dpi{120} L\left ( \lambda ,x,y \right )=f\left (x,y \right )+\lambda \cdot g\left ( x,y \right ).

Znajdujemy ekstremum tak rozumianej funkcji.

Warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego:

Funkcja \dpi{120} z=f\left ( x,y \right ) osiąga w punkcie \dpi{120} \left ( x_{0},y_{0} \right ) ekstremum warunkowe przy warunku \dpi{120} g\left ( x,y \right )=0 wtedy, gdy

\dpi{120} \left\{\begin{matrix} L'_{x}=f'_{x}\left ( x_{0},y_{0} \right )-\lambda g'_{x}\left ( x_{0},y_{0} \right )=0\\ L'_{y}=f'_{y}\left ( x_{0},y_{0} \right )-\lambda g'_{y}\left ( x_{0},y_{0} \right )=0\\ L'_{\lambda }=g\left ( x_{0},y_{0} \right )=0 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.

Punkty \dpi{120} \left ( x_{0},y_{0},\lambda _{0} \right ) nazywamy punktami stacjonarnymi lub punktami podejrzanymi o ekstremum.

Wprowadźmy tzw. Hesjan obrzeżony:

\dpi{120} \left |\bar{H } \right |=\begin{vmatrix} 0 & g'_{x} & g'_{y}\\ g'_{x}& L''_{xx}& L''_{xy}\\ g'_{y}&L''_{yx} & L''_{yy} \end{vmatrix}.

Warunki dostateczne istnienia ekstremum warunkowego funkcji \dpi{120} z=f\left ( x,y \right ) w punkcie stacjonarnym \dpi{120} \left ( x_{0},y_{0} \right ) są następujące:

– dla minimum mamy \dpi{120} \left | {\bar{H}\left ( x_{0},y_{0},\lambda _{0} \right )} \right |<0,

– dla maksimum mamy \dpi{120} \left | {\bar{H}\left ( x_{0},y_{0},\lambda _{0} \right )} \right |>0.

Zapraszamy do zadań! tutaj