Ciało - teoria - Wyznacznik

DEFINICJA

Pierścień $\dpi{120} K$ nazywamy ciałem, jeśli spełnia następujące warunki:

1) $\dpi{120} K$ zawiera więcej niż jeden element,

2) $\dpi{120} K-\left \{ 0 \right \}$ jest grupą względem mnożenia w $\dpi{120} K$ .

Jedność grupy $\dpi{120} K-\left \{ 0 \right \}$ względem mnożenia nazywamy jednością ciała $\dpi{120} K$ . Oznaczmy ją przez $\dpi{120} e$ . Pierścień $\dpi{120} K$ z jednością $\dpi{120} e$ , zawierający więcej niż jeden element jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego różny od zera element $\dpi{120} a$ ma element odwrotny $\dpi{120} a^{-1}$ , tzn. taki, że $\dpi{120} a\cdot a^{-1}=e$ .

Pierścienie $\dpi{120} \mathbb{Q}$ i $\dpi{120} \mathbb{R}$ z dodawaniem i mnożeniem są ciałami. Ciałem nie jest pierścień $\dpi{120} \mathbb{Z}$ z powyższymi działaniami, gdyż $\dpi{120} \mathbb{Z}-\left \{ 0 \right \}$ z działaniem mnożenia nie jest grupą.