Szereg Taylora – zadania

W temacie tym nie ma zakładki wzory, gdyż teoria jest krótka tutaj. Na szczególną uwagę zasługują podpunkty 1), 2), 3) z zadania 1. Są to rozwinięcia, które należy znać na pamięć (końcowe rozwinięcie). Przydadzą się nie tylko na matematyce, ale również na innych przedmiotach. Kolejność zadań i podpunktów w zadaniach jest istotna. Niektóre podpunkty wykorzystują Read more about Szereg Taylora – zadania[…]

Szereg Taylora – teoria

Twierdzenie 1. (wzór Taylora) Jeżeli funkcja ma ciągłe pochodne do rzędu  włącznie na pewnym przedziale domkniętym zawierającym punkt , wówczas dla każdego z tego przedziału istnieje taki punkt , leżący pomiędzy i że W ostatnim wyrazie występuje liczba , której wartość jest na ogół inna dla każdego oraz . Wyraz ten oznaczamy : i nazywamy Read more about Szereg Taylora – teoria[…]

Reguła de l’Hospitala – zadania

Zadania będą podzielone zgodnie z grupami wprowadzonymi w zakładce Wzory tutaj. W ostatnim zadaniu będzie ”mieszanka” wszystkich grup, aby móc samodzielnie klasyfikować poszczególne granice. Zaleca się przestudiowanie zakładki Wzory, gdyż znajdują się tam schematy rozwiązań dla każdej grupy granic funkcji.   Zadanie 1. Stosując regułę de l’Hospitala obliczyć granice (grupa I tutaj): 2) Zadanie 2. Read more about Reguła de l’Hospitala – zadania[…]

Reguła de l’Hospitala – wzory

Pamiętajmy, że sama reguła de l’Hospitala odnosi się jedynie do symboli nieoznaczonych oraz . Wiemy już, że tych wyrażeń nieoznaczonych jest więcej (patrz Granice ciągów – teoria). Liczenie granic zawierających symbole nieoznaczone podzielimy na cztery grupy, do których podane zostaną schematy rozwiązań. Grupa I ( , ) Schemat rozwiązania na przykładzie: .     Grupa II ( Read more about Reguła de l’Hospitala – wzory[…]

Reguła de l’Hospitala – teoria

Przy liczeniu granic funkcji mogą pojawić się symbole nieoznaczone. Niektóre liczyliśmy już w temacie Granice funkcji tutaj. Jednak czasami nie potrafimy pozbyć się symbolu nieoznaczonego bez zastosowania tzw. reguły de l’Hospitala. Możemy również stosować ją zamiennie do innych metod. Jak komu wygodniej. Twierdzenie 1. (reguła de l’Hospitala) Jeżeli w punkcie jest wyrażeniem nieoznaczonym typu lub Read more about Reguła de l’Hospitala – teoria[…]

Ekstrema lokalne funkcji – zadania

Mamy 4 zadania. W pierwszym liczymy ekstrema różnych funkcji według schematu podanego w zakładce Wzory tutaj. Jest to najbardziej powszechne zadanie na kolokwiach. Zadania pozostałe są zadaniami z treścią. Zadanie 3 jest najtrudniejsze i najdłuższe, ale zachęcam do przestudiowania go.    Zadanie 1. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: 4) Zadanie 2. Znaleźć współczynniki trójmianu takie, aby Read more about Ekstrema lokalne funkcji – zadania[…]

Ekstrema lokalne funkcji – wzory

Ekstrema lokalne funkcji różniczkowalnych znajdujemy w następujący sposób: Krok 1. Wyznaczamy pochodną funkcji i jej miejsca zerowe (punkty stacjonarne), są to tzw. punkty podejrzane o ekstremum. (twierdzenie 1, zakładka Teoria) Krok 2. Badamy znak pochodnej funkcji w otoczeniu wyznaczonych punktów stacjonarnych. Krok 3. Korzystając z twierdzenia 2, zakładka Teoria ustalamy, czy w danym punkcie stacjonarnym Read more about Ekstrema lokalne funkcji – wzory[…]

Ekstrema lokalne funkcji – teoria

Mówimy, że funkcja ma minimum (maksimum) lokalne w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba taka, że dla każdego zachodzi nierówność (odpowiednio ). Minima i maksima lokalne funkcji nazywamy ekstremami lokalnymi funkcji. Twierdzenie 1. (warunek konieczny ekstremum) Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to Punkt , dla Read more about Ekstrema lokalne funkcji – teoria[…]

Monotoniczność i asymptoty funkcji – wzory

MONOTONICZNOŚĆ Aby określić monotoniczność funkcji badamy zachowanie jej pochodnej. Jeżeli: a) to funkcja jest rosnąca, b)  to funkcja jest malejąca, c)  to funkcja jest stała. WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ Aby określić wklęsłość (wypukłość) funkcji badamy zachowanie jej drugiej pochodnej. Jeżeli: a) , to krzywa jest wklęsła ””, b) , to krzywa jest wypukła ””. PUNKTY PRZEGIĘCIA Read more about Monotoniczność i asymptoty funkcji – wzory[…]