Szereg Taylora (teoria) - WYZNACZNIK - Matematyka na studiach

Twierdzenie 1. (wzór Taylora)

Jeżeli funkcja $\dpi{120} f\left ( x \right )$ ma ciągłe pochodne do rzędu $\dpi{120} n$ włącznie na pewnym przedziale domkniętym zawierającym punkt $\dpi{120} a$ , wówczas dla każdego $\dpi{120} x$ z tego przedziału istnieje taki punkt $\dpi{120} c$ , leżący pomiędzy $\dpi{120} a$ i $\dpi{120} x,$ że

$szereg Taylora$

W ostatnim wyrazie występuje liczba $\dpi{120} c$ , której wartość jest na ogół inna dla każdego $\dpi{120} x$ oraz $\dpi{120} n$ . Wyraz ten oznaczamy $\dpi{120} R_{n}$ :

$reszta w postaci Lagrange'a$

i nazywamy resztą wzoru Taylora. Reszta przez nas podana nosi nazwę reszty w postaci Lagrange’a.

Rozwinięcie funkcji na szereg Taylora:

$\dpi{120} f\left ( x \right )=f\left ( a \right )+\frac{f'\left ( a \right )}{1!}\left ( x-a \right )+\frac{f''\left ( a \right )}{2!}\left ( x-a \right )^{2}+...+\frac{f^{\left ( n \right )}\left ( a \right )}{n!}\left ( x-a \right )^{n}+...$