Szereg Taylora (zadania) - WYZNACZNIK - Matematyka na studiach

W temacie tym nie ma zakładki wzory, gdyż teoria jest krótka tutaj. Na szczególną uwagę zasługują podpunkty 1), 2), 3) z zadania 1. Są to rozwinięcia, które należy znać na pamięć (końcowe rozwinięcie). Przydadzą się nie tylko na matematyce, ale również na innych przedmiotach. Kolejność zadań i podpunktów w zadaniach jest istotna. Niektóre podpunkty wykorzystują podpunkty wcześniejsze.

Zadanie 1. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcje:

1) $\dpi{120} f\left ( x \right )=e^{x},$

Rozwiązanie

Zauważmy, że pochodna funkcji $\dpi{120} e^{x}$ jest równa $\dpi{120} e^{x}$ , więc:

$\dpi{120} f^{\left ( n \right )}\left ( x \right )=e^{x}$ skąd $\dpi{120} f^{\left ( n \right )}\left ( 0 \right )=e^{0}=1.$

Podstawiając do wzoru na szereg Maclaurina

$\dpi{120} f\left ( x \right )=f\left ( 0 \right )+\frac{f'\left ( 0 \right )}{1!}x+\frac{f''\left ( 0 \right )}{2!}x^{2}+...+\frac{f^{\left ( n \right )}\left ( 0 \right )}{n!}x^{n}+...$

otrzymujemy

$\dpi{120} e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+...$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} f\left ( x \right )=\sin x,$

Rozwiązanie

Liczymy kolejne pochodne i ich wartości w punkcie $\dpi{120} x=0$ :

$\dpi{120} f\left ( x \right )=\sin x$ skąd $\dpi{120} f\left ( 0 \right )=\sin 0=0,$

$\dpi{120} f'\left ( x \right )=\cos x$ skąd $\dpi{120} f'\left ( 0 \right )=\cos 0=1,$

$\dpi{120} f''\left ( x \right )=-\sin x$ skąd $\dpi{120} f''\left ( 0 \right )=-\sin 0=0,$

$\dpi{120} f'''\left ( x \right )=-\cos x$ skąd $\dpi{120} f'''\left ( 0 \right )=-\cos 0=-1,$

$\dpi{120} f^{IV}\left ( x \right )=\sin x$ skąd $\dpi{120} f^{IV}\left ( 0 \right )=\sin 0=0,$

$\dpi{120} \vdots$

Zauważmy, że od czwartej pochodnej cały cykl się powtarza. Ponadto widzimy, że parzyste pochodne zawsze zerują się, zaś nieparzyste na przemian przyjmują wartości 1 lub -1. Zapiszmy to ogólnym wzorem:

$\dpi{120} f^{\left ( 2n \right )}\left ( 0 \right )=0,$

$\dpi{120} f^{^{\left ( 2n-1 \right )}}\left ( 0 \right )=\left ( -1 \right )^{n+1}.$

Zatem podstawiając do wzoru na szereg Maclaurina:

$\dpi{120} f\left ( x \right )=f\left ( 0 \right )+\frac{f'\left ( 0 \right )}{1!}x+\frac{f''\left ( 0 \right )}{2!}x^{2}+...+\frac{f^{\left ( n \right )}\left ( 0 \right )}{n!}x^{n}+...$

otrzymujemy:

$\dpi{120} \sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+...+\left ( -1 \right )^{n+1}\cdot \frac{x^{2n-1}}{\left (2n-1 \right )!}+...$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} f\left ( x \right )=\cos x,$

Rozwiązanie

Liczymy kolejne pochodne i ich wartości w punkcie $\dpi{120} x=0$ :

$\dpi{120} f\left ( x \right )=\cos x$ skąd $\dpi{120} f\left ( 0 \right )=\cos 0=1,$

$\dpi{120} f'\left ( x \right )=-\sin x$ skąd $\dpi{120} f'\left ( 0 \right )=-\sin 0=0,$

$\dpi{120} f''\left ( x \right )=-\cos x$ skąd $\dpi{120} f''\left ( 0 \right )=-\cos 0=-1,$

$\dpi{120} f'''\left ( x \right )=\sin x$ skąd $\dpi{120} f'''\left ( 0 \right )=\sin 0=0,$

$\dpi{120} f^{IV}\left ( x \right )=\cos x$ skąd $\dpi{120} f^{IV}\left ( 0 \right )=\cos 0=1,$

$\dpi{120} \vdots$

Zauważmy, że od czwartej pochodnej cały cykl się powtarza. Ponadto widzimy, że nieparzyste pochodne zawsze zerują się, zaś parzyste na przemian przyjmują wartości 1 lub -1. Zapiszmy to ogólnym wzorem:

$\dpi{120} f^{\left ( 2n-1 \right )}\left ( 0 \right )=0,$

$\dpi{120} f^{^{\left ( 2n \right )}}\left ( 0 \right )=\left ( -1 \right )^{n+1}.$

Zatem podstawiając do wzoru na szereg Maclaurina:

$\dpi{120} f\left ( x \right )=f\left ( 0 \right )+\frac{f'\left ( 0 \right )}{1!}x+\frac{f''\left ( 0 \right )}{2!}x^{2}+...+\frac{f^{\left ( n \right )}\left ( 0 \right )}{n!}x^{n}+...$

otrzymujemy:

$\dpi{120} \cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-...+\left ( -1 \right )^{n+1}\frac{x^{2n}}{\left ( 2n \right )!}+...$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} f\left ( x \right )=\sin x\cdot \cos x,$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór $\dpi{120} \sin 2x=2 \sin x\cos x$ , z którego dostajemy, że $\dpi{120} \sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ . Wobec tego:

$\dpi{120} f\left ( x \right )=\sin x\cdot \cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$

Wykorzystamy rozwinięcie funkcji $\dpi{120} \sin u$ z podpunktu 2).

$\dpi{120} \sin u=u-\frac{u^{3}}{3!}+\frac{u^{5}}{5!}+...+\left ( -1 \right )^{n+1}\cdot \frac{u^{2n-1}}{\left (2n-1 \right )!}+...$

Podstawiając $\dpi{120} u=2x$ mamy:

$\dpi{120} \sin 2x=2x-\frac{\left (2x \right )^{3}}{3!}+\frac{\left (2x \right )^{5}}{5!}+...+\left ( -1 \right )^{n+1}\cdot \frac{\left (2x \right )^{2n-1}}{\left (2n-1 \right )!}+...$

Aby otrzymać naszą funkcję musimy jeszcze pomnożyć stronami tę równość przez $\dpi{120} \frac{1}{2}$ .

$\dpi{120} \frac{1}{2}\sin 2x=\frac{1}{2}\cdot 2x-\frac{1}{2}\cdot \frac{\left (2x \right )^{3}}{3!}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\left (2x \right )^{5}}{5!}+...+\left ( -1 \right )^{n+1}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\left (2x \right )^{2n-1}}{\left (2n-1 \right )!}+...$

Po redukcji:

$\dpi{120} \frac{1}{2}\sin 2x=x-\frac{2^{2}}{3!}x^{3}+\frac{2^{4}}{5!}x^{5}+...+\left ( -1 \right )^{n+1}\cdot \frac{2^{2n-1}}{\left (2n-1 \right )!}x^{2n-1}+...$

Zatem:

$\dpi{120} \sin x\cos x=x-\frac{2^{2}}{3!}x^{3}+\frac{2^{4}}{5!}x^{5}+...+\left ( -1 \right )^{n+1}\cdot \frac{2^{2n-1}}{\left (2n-1 \right )!}x^{2n-1}+...$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

5) $\dpi{120} f\left ( x \right )=\left ( 1+x \right )^{s},\; s\in \mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}.$

Rozwiązanie

Obliczamy kolejne pochodne:

$\dpi{120} f\left ( x \right )=\left ( 1+x \right )^{s}$ skąd $\dpi{120} f\left ( 0 \right )=1,$

$\dpi{120} f'\left ( x \right )=s\left ( 1+x \right )^{s-1}$ skąd $\dpi{120} f'\left ( 0 \right )=s,$

$\dpi{120} f''\left ( x \right )=s\left ( s-1 \right )\left ( 1+x \right )^{s-2}$ skąd $\dpi{120} f''\left ( 0 \right )=s\left ( s-1 \right ),$

$\dpi{120} f'''\left ( x \right )=s\left ( s-1 \right )\left ( s-2 \right )x^{s-3}$ skąd $\dpi{120} f'''\left ( 0 \right )=s\left ( s-1 \right )\left ( s-2 \right ),$

$\dpi{120} \vdots$

$\dpi{120} f^{\left (n \right )}\left ( x \right )=s\left ( s-1 \right )\left ( s-2 \right )...\left ( s-n+1 \right )\left ( 1+x \right )^{s-n}$

skąd

$\dpi{120} f^{\left ( n \right )}\left ( 0 \right )=s\left ( s-1 \right )\left ( s-2 \right )...\left ( s-n+1 \right ).$

Zatem podstawiając do wzoru na szereg Maclaurina:

$\dpi{120} f\left ( x \right )=f\left ( 0 \right )+\frac{f'\left ( 0 \right )}{1!}x+\frac{f''\left ( 0 \right )}{2!}x^{2}+...+\frac{f^{\left ( n \right )}\left ( 0 \right )}{n!}x^{n}+...$

otrzymujemy:

$\dpi{120} \left ( 1+x \right )^{s}=1+\frac{s}{1!}x+\frac{s\left ( s-1 \right )}{2!}x^{2}+\frac{s\left ( s-1 \right )\left ( s-2 \right )}{3!}x^{3}+...+\frac{s\left ( s-1 \right )...\left ( s-n+1 \right )}{n!}x^{n}+$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

6) $\dpi{120} f\left ( x \right )=\frac{1}{\sqrt{1+x}},$

Rozwiązanie

Zapiszmy inaczej naszą funkcję:

$\dpi{120} f\left ( x \right )=\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\left ( 1+x \right )^{-\frac{1}{2}}.$

Wykorzystujemy wzór z podpunktu 5)

dla $\dpi{120} s=-\frac{1}{2}$ .

$\dpi{120} \left ( 1+x \right )^{-\frac{1}{2}}=1+\frac{-\frac{1}{2}}{1!}x+\frac{-\frac{1}{2}\left ( -\frac{1}{2}-1 \right )}{2!}x^{2}+\frac{-\frac{1}{2}\left ( -\frac{1}{2}-1 \right )\left ( -\frac{1}{2}-2 \right )}{3!}x^{3}+...$

$\dpi{120} +\frac{-\frac{1}{2}\left ( -\frac{1}{2}-1 \right )...\left ( -\frac{1}{2}-n+1 \right )}{n!}x^{n}+...$

Po redukcji otrzymujemy:

$\dpi{120} \frac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{1\cdot 3}{2!\cdot 2^{2}}x^{2}-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{3!\cdot 2^{3}}x^{3}+\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{4!\cdot 2^{4}}x^{4}-...$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

7) $\dpi{120} f\left ( x \right )=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},$

Rozwiązanie

Wykorzystamy wzór z poprzedniego podpunktu:

$\dpi{120} \frac{1}{\sqrt{1+u}}=1-\frac{1}{2}u+\frac{1\cdot 3}{2!\cdot 2^{2}}u^{2}-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{3!\cdot 2^{3}}u^{3}+\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{4!\cdot 2^{4}}u^{4}-...$

Podstawmy za $\dpi{120} u=-x^{2}$ :

$\small \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=1-\frac{1}{2}\cdot \left ( -x^{2} \right )+\frac{1\cdot 3}{2!\cdot 2^{2}}\left ( -x^{2} \right )^{2}-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{3!\cdot 2^{3}}\left ( -x^{2} \right )^{3}+\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{4!\cdot 2^{4}}\left ( -x^{2} \right )^{4}-..$

Po redukcji:

$\dpi{120} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=1+\frac{1}{2}\cdot x^{2} +\frac{1\cdot 3}{2!\cdot 2^{2}}x^{4}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{3!\cdot 2^{3}}x^{6} +\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{4!\cdot 2^{4}}x^{8}-...$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

8) $\dpi{120} f\left ( x \right )=\frac{x^{3}+2x}{x^{2}-2}.$

Rozwiązanie

Przewidujmy, że nasza funkcja rozwinie się w szereg:

$\dpi{120} \frac{x^{3}+2x}{x^{2}-2}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...$

Mnożymy przez mianownik, czyli $\dpi{120} x^{2}-2$ :

$\dpi{120} x^{3}+2x=\left ( x^{2}-2\right )\left ( a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+... \right )$

Wymnażamy prawą stronę i grupujemy przy tych samych potęgach $\dpi{120} u$ . Zatem:

$\dpi{120} x^{3}+2x= a_{0}x^{2}+ a_{1}x^{3}+a_{2}x^{4}+a_{3}x^{5}+...-2a_{0} -2a_{1}x -2a_{2}x^{2} -2a_{3}x^{3}-...$

Grupujemy:

$\dpi{120} x^{3}+2x=-2a_{0}-2a_{1}+\left ( a_{0}-2a_{2} \right )x^{2}+\left ( a_{1}-2a_{3} \right )x^{3}+...$

Porównujemy współczynniki przy jednakowych potęgach zmiennej $\dpi{120} u$ po obu stronach równości:

$\dpi{120} 0=-2a_{0}$ skąd $\dpi{120} a_{0}=0,$

$\dpi{120} 2=-2a_{1}$ skąd $\dpi{120} a_{1}=-1,$

$\dpi{120} 0=a_{0}-2a_{2}$ skąd $\dpi{120} a_{2}=0,$

$\dpi{120} 1=a_{1}-2a_{3}$ skąd $\dpi{120} a_{3}=-1,$

$\dpi{120} 0=a_{2}-2a_{4}$ skąd $\dpi{120} a_{4}=0,$

$\dpi{120} 0=a_{3}-2a_{5}$ skąd $\dpi{120} a_{5}=-\frac{1}{2},$

$\dpi{120} \vdots$

$\dpi{120} 0=a_{n-2}-2a_{n},$

skąd wyraz ogólny

$\dpi{120} a_{n}=\frac{1}{2}a_{n-2} .$

Podstawiając powyższe wartości do:

$\dpi{120} \frac{x^{3}+2x}{x^{2}-2}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...$

otrzymujemy:

$\dpi{120} \frac{x^{3}+2x}{x^{2}-2}=-x-x^{3}-\frac{1}{2}x^{5}-\frac{1}{4}x^{7}-...$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Rozwinąć w szereg Taylora funkcje:

1) $\dpi{120} f\left ( x \right )=10x^{5}+7x^{4}-12x^{3}+x^{2}-3x+5$ w otoczeniu punktu $\dpi{120} x=1$ ,

Rozwiązanie

Obliczamy wartości pochodnych w punkcie $\dpi{120} x=1$ :

$\dpi{120} f\left ( x \right )=10x^{5}+7x^{4}-12x^{3}+x^{2}-3x+5$ skąd $\dpi{120} f\left ( 1 \right )=10+7-12+1-3+5=8,$

$\dpi{120} f'\left ( x \right )=50x^{4}+28x^{3}-36x^{2}+2x-3$ skąd $\dpi{120} f'\left ( 1 \right )=50+28-36+2-3=41,$

$\dpi{120} f''\left ( x \right )=200x^{3}+84x^{2}-72x+2$ skąd $\dpi{120} f''\left ( 1 \right )=200+84-72+2=214,$

$\dpi{120} f'''\left ( x \right )=600x^{2}+168x-72$ skąd $\dpi{120} f'''\left ( 1 \right )=600+168-72=696,$

$\dpi{120} f^{IV}\left ( x \right )=1200x+168$ skąd $\dpi{120} f^{IV}\left ( 1 \right )=1200+168=1368,$

$\dpi{120} f^{V}\left ( x \right )=1200$ skąd $\dpi{120} f^{V}\left ( 1 \right )=1200.$

Wszystkie kolejne pochodne są już równe $\dpi{120} 0$ . Wstawiając do wzoru na szereg Taylora otrzymujemy:

$\dpi{120} f\left ( x \right )=f\left ( a \right )+\frac{f'\left ( a \right )}{1!}\left ( x-a \right )+\frac{f''\left ( a \right )}{2!}\left ( x-a \right )^{2}+...+\frac{f^{\left ( n \right )}\left ( a \right )}{n!}\left ( x-a \right )^{n}+...$ – szereg Taylora

$\dpi{120} \small f\left ( x \right )=8+\frac{41}{1!}\left ( x-1 \right )+\frac{214}{2!}\left ( x-1 \right )^{2}+\frac{696}{3!}\left ( x-1 \right )^{3}+\frac{1368}{4!}\left ( x-1 \right )^{4}+\frac{1200}{5!}\left ( x-1 \right )^{5}.$

Po uproszczeniu:

$\dpi{120} f\left ( x \right )=8+41\left ( x-1 \right )+107\left ( x-1 \right )^{2}+116\left ( x-1 \right )^{3}+57\left ( x-1 \right )^{4}+10\left ( x-1 \right )^{5}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} f\left ( x \right )=\frac{x+2}{x^{2}-3x}$ w otoczeniu punktu $\dpi{120} x=2$ ,

Rozwiązanie

Zakładamy, że $\dpi{120} x\neq 0$ i $\dpi{120} x\neq 3$ .

Przewidujmy, że nasza funkcja rozwinie się w szereg:

$\dpi{120} \frac{x+2}{x^{2}-3x}=a_{0}+a_{1}\left ( x-2 \right )+a_{2}\left ( x-2 \right )^{2}+a_{3}\left ( x-2 \right )^{3}+...$

Wprowadźmy zmienną pomocniczą $\dpi{120} u=x-2$ , skąd $\dpi{120} x=u+2$ . Wstawiamy do powyższej równości:

$\dpi{120} \frac{\left ( u+2 \right )+2}{\left ( u+2 \right )^{2}-3\left ( u+2 \right )}=a_{0}+a_{1}u+a_{2}u^{2}+a_{3}u^{3}+...$

Po redukcji otrzymujemy:

$\dpi{120} \frac{u+4}{u^{2}+u-2}=a_{0}+a_{1}u+a_{2}u^{2}+a_{3}u^{3}+...$

Mnożymy przez mianownik, czyli $\dpi{120} u^{2}+u-2$ :

$\dpi{120} u+4=\left ( u^{2}+u-2 \right )\left ( a_{0}+a_{1}u+a_{2}u^{2}+a_{3}u^{3}+... \right )$

Wymnażamy prawą stronę i grupujemy przy tych samych potęgach $\dpi{120} u$ . Zatem:

$\dpi{120} u+4={\color{Red} a_{0}u^{2}}+{\color{Blue} a_{1}u^{3}}+a_{2}u^{4}+a_{3}u^{5}+...+$

$\dpi{120} +{\color{green} a_{0}u}+{\color{Red} a_{1}u^{2}}+{\color{Blue} a_{2}u^{3}}+a_{3}u^{4}+...+$

$\dpi{120} {\color{Magenta} -2a_{0}}{\color{Green} -2a_{1}u}{\color{Red} -2a_{2}u^{2}}{\color{Blue} -2a_{3}u^{3}}-...$

Grupujemy:

$\dpi{120} u+4=-2a_{0}+\left ( a_{0}-2a_{1} \right )u+\left ( a_{0}+a_{1}-2a_{2} \right )u^{2}+\left ( a_{1}+a_{2}-2a_{3} \right )u^{3}+...$

Porównujemy współczynniki przy jednakowych potęgach zmiennej $\dpi{120} u$ po obu stronach równości:

$\dpi{120} 4=-2a_{0}$ skąd $\dpi{120} a_{0}=-2,$

$\dpi{120} 1=a_{0}-2a_{1}$ skąd $\dpi{120} a_{1}=-\frac{3}{2},$

$\dpi{120} 0=a_{0}+a_{1}-2a_{2}$ skąd $\dpi{120} a_{2}=-\frac{7}{4},$

$\dpi{120} 0=a_{1}+a_{2}-2a_{3}$ skąd $\dpi{120} a_{3}=-\frac{13}{8},$

$\dpi{120} \vdots$

$\dpi{120} 0=a_{n-2}+a_{n-1}-2a_{n},$

skąd wyraz ogólny

$\dpi{120} a_{n}=\frac{1}{2}\left ( a_{n-1}+a_{n-2} \right ).$

Podstawiając powyższe wartości do:

$\dpi{120} \frac{x+2}{x^{2}-3x}=a_{0}+a_{1}\left ( x-2 \right )+a_{2}\left ( x-2 \right )^{2}+a_{3}\left ( x-2 \right )^{3}+...$

otrzymujemy:

$\dpi{120} \frac{x+2}{x^{2}-3x}=-2-\frac{3}{2}\left ( x-2 \right )-\frac{7}{4}\left ( x-2 \right )^{2}-\frac{13}{8}\left ( x-2 \right )^{3}+...$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} f\left ( x \right )=x\sqrt{x}$ w otoczeniu punktu $\dpi{120} x=1$ .

Rozwiązanie

Zakładamy, że $\dpi{120} x\geqslant 0$ .

Liczymy kolejne pochodne i ich wartości w punkcie $\dpi{120} x=1$ .

$\dpi{120} f\left ( x \right )=x\sqrt{x}$ stąd $\dpi{120} f\left ( 1 \right )=1,$

$\dpi{120} f'\left ( x \right )=\left ( x^{\frac{3}{2}} \right )'=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$ stąd $\dpi{120} f'\left ( 1 \right )=\frac{3}{2}=3\cdot \frac{1}{2},$

$\dpi{120} f''\left ( x \right )=\left ( \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}\right )'=\frac{3}{4}x^{-\frac{1}{2}}$ stąd $\dpi{120} f''\left ( 1 \right )=\frac{3}{4}=3\cdot \frac{1}{2^{2}},$

$\dpi{120} f'''\left ( x \right )=\left ( \frac{3}{4} x^{-\frac{1}{2}}\right )'=-\frac{3}{8}x^{-\frac{3}{2}}$ stąd $\dpi{120} f'''\left ( 1 \right )=-\frac{3}{8}=3\cdot \left ( -\frac{1}{2^{3}} \right ),$

$\dpi{120} f^{IV}\left ( x \right )=\left ( -\frac{3}{8} x^{-\frac{3}{2}}\right )'=\frac{9}{2^{4}}x^{-\frac{5}{2}}$ stąd $\dpi{120} f^{IV}\left ( 1 \right )=\frac{9}{2^{4}}=3\cdot \frac{3}{2^{4}},$

$\dpi{120} f^{V}\left ( x \right )=\left ( \frac{9}{2^{4}}x^{-\frac{5}{2}} \right )'=-3\cdot \frac{3\cdot 5}{2^{5}}x^{-\frac{7}{2}}$ stąd $\dpi{120} f^{V}\left ( 1 \right )=3\cdot \left ( -\frac{3\cdot 5}{2^{5}} \right ),$

$\dpi{120} \vdots$

Uogólniając, $\dpi{120} n$ -ta pochodna w punkcie $\dpi{120} x=1$ będzie miała postać:

$\dpi{120} f^{\left ( n \right )}\left ( 1 \right )=3\cdot \left ( -1 \right )^{n}\cdot \frac{3\cdot 5\cdot ...\cdot \left ( 2n-5 \right )}{2^{n}}.$

Zatem szereg Taylora zapiszemy jako:

$\dpi{120} x\sqrt{x}=1+\frac{3}{2}\left ( x-1 \right )+\frac{3}{2^{2}}\frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{2!}-3\cdot \frac{1}{2^{3}}\frac{\left ( x-1 \right )^{3}}{3!}+3\cdot \frac{3}{2^{4}}\cdot \frac{\left ( x-1 \right )^{4}}{4!}-...$

$\dpi{120} ...+\left ( -1 \right )^{n}\cdot 3\cdot \frac{3\cdot 5\cdot ...\cdot \left ( 2n-5 \right )}{2^{n}}\cdot \frac{\left ( x-1 \right )^{n}}{n!}+...$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń