Całki potrójne we współrzędnych sferycznych – zadania

W zadaniu 1 wprowadzamy współrzędne sferyczne do opisu różnych najpopularniejszych obszarów w . Koniecznie należy się z nimi zapoznać, ponieważ później korzysta się z nich w dalszych zadaniach. Zadanie 1. Figurę określoną we współrzędnych prostokątnych określić za pomocą współrzędnych sferycznych: Współrzędne sferyczne: 1) sfera 2) kula   3) półkula  dla   4) czasza  dla   5) różnica kul   Read more about Całki potrójne we współrzędnych sferycznych – zadania[…]

Całki potrójne we współrzędnych sferycznych – teoria

Współrzędne sferyczne i współrzędne prostokątne są związane wzorami przejścia                                    ,                       ,                                     gdzie jest odległością punktu od początku układu współrzędnych, jest kątem, jaki tworzy wektor z dodatnią częścią osi Read more about Całki potrójne we współrzędnych sferycznych – teoria[…]

Równanie Riccatiego – teoria

Równanie Riccatiego to równanie różniczkowe postaci: gdzie funkcje są ciągłe w pewnym przedziale. Gdy: – , to otrzymujemy równanie liniowe, – , to otrzymujemy równanie Bernoulliego. Jeśli znamy rozwiązanie szczególne tego równania, to poprzez podstawienie sprowadzimy je do równania liniowego. Zróżniczkujmy powyższe podstawienie: Wstawiamy do równania: Wyrazy zaznaczone na czerwono skracają się , gdyż jest Read more about Równanie Riccatiego – teoria[…]

Równanie Bernoulliego – zadania

W równaniach Bernoulliego będziemy wykorzystywać wcześniejszą wiedzę z równań różniczkowych i liczenia całek. Każde równanie Bernoulliego sprowadza się do równania liniowego tutaj, dlatego należy znać metody ich rozwiązywania. Ponadto wykorzystujemy różne metody liczenia całek: całkowanie przez części tutaj, całki wymierne tutaj i inne. Zadanie 1. Rozwiązać równanie Bernoulliego: 1)  2) 3)  4)  5)  Zadanie 2. Rozwiązać równanie Read more about Równanie Bernoulliego – zadania[…]

Równanie Bernoulliego – teoria

Równanie Bernoulliego jest to równanie różniczkowe postaci gdzie funkcje i są ciągłe w pewnym przedziale , . Dla jest to równanie liniowe, zaś dla otrzymujemy równanie o rozdzielonych zmiennych. Rozwiązujemy je, dzieląc go przez i wprowadzając funkcję . Mamy wówczas: Wykonujemy podstawienie: Wstawiamy do równania i otrzymujemy: Jest to równanie liniowe, które omawialiśmy wcześniej tutaj. Read more about Równanie Bernoulliego – teoria[…]

Równania różniczkowe jednorodne – teoria

Funkcja nazywa się funkcją jednorodną stopnia zerowego, jeżeli przy pomnożeniu argumentów i przez dowolny (ten sam dla obu argumentów) parametr wartość funkcji nie ulega zmianie. Funkcję taką można zapisać w postaci: Równanie nazywamy równaniem jednorodnym względem i , jeżeli funkcja jest funkcją jednorodną stopnia zerowego. Równanie jednorodne można więc zapisać w postaci: Rozwiązujemy je wykonując Read more about Równania różniczkowe jednorodne – teoria[…]

Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych – wzory

Mnożniki Lagrange’a – schemat Ekstremum warunkowe funkcji przy warunku 1. Tworzymy funkcję 2. Liczymy pochodne cząstkowe . 3. Rozwiązujemy układ równań (warunek konieczny): 4. Po rozwiązaniu otrzymujemy tzw. punkty stacjonarne . 5. Liczymy pochodne cząstkowe . 6. Liczymy wartości powyższych pochodnych w punktach stacjonarnych.  7. Badamy znak tzw. Hesjanu obrzeżonego w każdym punkcie stacjonarnym: 8. Jeżeli: Read more about Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych – wzory[…]

Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych – zadania

W zadaniu 1 znajdujemy ekstrema warunkowe bez użycia mnożników Lagrange’a. Sprowadza się to do badania ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej. W zadaniu drugim wprowadzamy mnożniki Lagrange’a. Pojawia się tzw. Hesjan obrzeżony. Jest to inna metoda znajdowania ekstremów warunkowych. Schemat badania ekstremum warunkowego znajdziemy w zakładce Wzory tutaj. Warto również zajrzeć do zakładki Teoria tutaj. Zadania Read more about Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych – zadania[…]

Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych – teoria

Niech  oznacza niepusty i otwarty podzbiór przestrzeni , funkcje  i  zmiennych  i  będą określone i ciągłe na . DEFINICJA Mówimy, że funkcja osiąga w punkcie maksimum (minimum) warunkowe, przy warunku (*)                                                         jeżeli punkt spełnia równanie (*) oraz istnieje takie otoczenie punktu , że dla każdego punktu spełniającego warunek (*) zachodzi nierówność MNOŻNIKI LAGRANGE’A Wprowadźmy funkcję Read more about Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych – teoria[…]