Całki potrójne we współrzędnych sferycznych – zadania

W zadaniu 1 wprowadzamy współrzędne sferyczne do opisu różnych najpopularniejszych obszarów w \dpi{120} R^{3}. Koniecznie należy się z nimi zapoznać, ponieważ później korzysta się z nich w dalszych zadaniach.

Zadanie 1. Figurę określoną we współrzędnych prostokątnych określić za pomocą współrzędnych sferycznych:

Współrzędne sferyczne:

\dpi{120} x=R\sin \theta \cos \varphi ,

\dpi{120} y=R\sin \theta \sin \varphi ,

\dpi{120} z=R\cos \theta

1) sfera \dpi{120} x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}

2) kula  \dpi{120} x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant a^{2}

3) półkula \dpi{120} 0\leqslant z\leqslant \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}} dla  \dpi{120} x^{2}+y^{2}\leqslant a^{2}

4) czasza \dpi{120} z= \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}} dla  \dpi{120} x^{2}+y^{2}\leqslant \frac{a^{2}}{2}

5) różnica kul  \dpi{120} \frac{1}{4}\leqslant x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant 1

6) wycinek kuli  \dpi{120} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\leqslant z\leqslant \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}  dla  \dpi{120} x^{2}+y^{2}\leqslant \frac{1}{2}

Zadanie 2. Obliczyć za pomocą współrzędnych sferycznych całki:

1) \dpi{120} \underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}z^{2}d\sigma, gdzie \dpi{120} D górna połowa kuli o promieniu \dpi{120} 2 i środku \dpi{120} \left ( 0,0 ,0\right )

2) \dpi{120} \underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}\left (x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )d\sigma, gdzie \dpi{120} D=\left \{ x^{2} +y^{2}+z^{2}\leqslant 1\right \}

3) \dpi{120} \underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}\frac{dx\, dy\, dz}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d\sigma, gdzie \dpi{120} D=\left \{ 1\leqslant x^{2} +y^{2}+z^{2}\leqslant 4\right \}

4) \dpi{120} \underset{\left ( D \right )\: \; \; \; }{\iiint_{\, }^{\, }}\sqrt{x^{2}+y^{2}} \, d\sigma, gdzie \dpi{120} D=\left \{ x^{2} +y^{2}+z^{2}\leqslant 1,\; z\leqslant 0\right \}

Zadanie 3. Obliczyć za pomocą współrzędnych sferycznych całki:

1) \dpi{120} \int_{-1}^{1}dx\int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}dy\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}dz