Zadanie 1. Zbadać, czy zbiór z działaniem
jest grupą. Czy jest to grupa abelowa?
1)
Rozwiązanie
Zbadamy, czy spełnione są aksjomaty grupy (patrz Teoria tutaj) oraz czy zdefiniowane działanie jest wewnętrzne.
- wewnętrzne
Dla każdego mamy
.
- łączność:
Stąd , więc łączność spełniona.
- istnienie elementu neutralnego
:
Wyrażenie powyższe ma się równać . Zatem:
- istnienie elementu odwrotnego
:
Wyrażenie powyższe ma się równać . Zatem:
Na przykład dla elementu elementem odwrotnym jest
.
W tym momencie pokazaliśmy, że jest to grupa. Aby stwierdzić, czy jest to grupa abelowa sprawdzamy przemienność.
- przemienność:
Zatem jest to grupa abelowa.
2)
Rozwiązanie Zbadamy, czy spełnione są aksjomaty grupy (patrz Teoria tutaj) oraz czy zdefiniowane działanie jest wewnętrzne. Dla każdego Stąd Wyrażenie powyższe ma się równać Wyrażenie powyższe ma się równać Na przykład dla elementu W tym momencie pokazaliśmy, że jest to grupa. Aby stwierdzić, czy jest to grupa abelowa sprawdzamy przemienność. Zatem jest to grupa abelowa.
mamy
.
, więc łączność spełniona.
:
. Zatem:
możemy dzielić przez
, gdyż
:
. Zatem:
elementem odwrotnym jest
.