Grupy (teoria) - WYZNACZNIK - Matematyka na studiach

DEFINICJA

Działaniem w zbiorze niepustym $\dpi{120} A$ nazywamy każde odwzorowanie $\dpi{120} f$ iloczyn kartezjańskiego $\dpi{120} A\times A$ w zbiór $\dpi{120} A$ :

Najprostszymi przykładami działań są:

1) dodawanie i mnożenie w zbiorze liczb naturalnych,

2) dodawanie, odejmowanie i mnożenie w zbiorze liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych,

3) dzielenie w zbiorach $\dpi{120} Q/\left \{ 0 \right \}$ oraz $\dpi{120} R/\left \{ 0 \right \}$ .

Zauważmy, że odejmowanie nie jest działaniem w $\dpi{120} N$ , gdyż np. $\dpi{120} 2-3=-1\notin N.$ Mówimy, że odejmowanie nie jest działaniem wewnętrznym. Podobnie dzielenie w $\dpi{120} Z (2:3=\frac{2}{3}\notin Z)$ , czy dzielenie w $\dpi{120} Q$ i $\dpi{120} R$ (nie istnieje dzielenie przez 0).

Działanie $\circ$ określone w zbiorze $\dpi{120} A$ nazywamy:

1) przemiennym, jeśli

$\dpi{120} \forall a,b\in A;\; \left ( a\circ b=b\circ a \right )$

2) łącznym, jeśli

$\dpi{120} \forall a,b\in A;\; \left [ \left (a\circ b \right )\circ c=\left (a\circ b \right )\circ c \right ]$

DEFINICJA

Zbiór $\dpi{120} G$ , w którym określone jest działanie $\dpi{120} \circ$ , nazywamy grupą, jeśli spełnione są warunki:

1) działanie $\dpi{120} \circ$ jest łączne,

2) istnieje element neutralny $\dpi{120} e\in G$ , tzn. taki, że

$\dpi{120} \exists \, e\in G\; \forall a\in G,\; \left ( e\circ a=a\circ e=a \right )$

3) jeśli $\dpi{120} e\in G$ jest elementem neutralnym, to

$\dpi{120} \forall a\in G\; \exists \, a^{-1}\in G,\; \left ( a\circ a^{-1} =a^{-1}\circ a=e\right )$

Element $\dpi{120} a^{-1}$ nazywamy elementem odwrotnym do elementu $\dpi{120} a$ .

Jeśli dodatkowo spełniony jest warunek przemienności, to grupę nazywamy przemienną lub abelową.

Mówimy, że zbiór $\dpi{120} G$ z pewnym działaniem $\dpi{120} \circ$ tworzy pewną strukturę algebraiczną, w tym przypadku grupę.