Równania różniczkowe jednorodne – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Funkcja \dpi{120} f\left ( x,y \right ) nazywa się funkcją jednorodną stopnia zerowego, jeżeli przy pomnożeniu argumentów \dpi{120} x i \dpi{120} y przez dowolny (ten sam dla obu argumentów) parametr wartość funkcji nie ulega zmianie. Funkcję taką można zapisać w postaci:

\dpi{120} f\left ( x,y \right )=\varphi \left ( \frac{y}{x} \right ).

Równanie \dpi{120} y=f\left ( x,y \right ) nazywamy równaniem jednorodnym względem \dpi{120} x i \dpi{120} y, jeżeli funkcja \dpi{120} f\left ( x,y \right ) jest funkcją jednorodną stopnia zerowego. Równanie jednorodne można więc zapisać w postaci:

\dpi{120} y'=f\left ( \frac{y}{x} \right ).

Rozwiązujemy je wykonując podstawienie:

\dpi{120} t=\frac{y}{x}

Przekształcając otrzymujemy:

\dpi{120} y=tx

Różniczkujemy stronami. Po prawej stronie stosujemy wzór na pochodną iloczynu. Mamy:

\dpi{120} y'=t'x+t

Wstawiamy do równania \dpi{120} y'=f\left ( \frac{y}{x} \right ):

\dpi{120} t'x+t=f\left ( t \right )

Otrzymujemy równanie o rozdzielonych zmiennych opisane tutaj.

Zapraszamy do zadań! tutaj