Ekstrema warunkowe funkcji (wzory)

Mnożniki Lagrange’a – schemat

Ekstremum warunkowe funkcji $\dpi{120} z=f\left ( x,y \right )$ przy warunku $\dpi{120} g\left ( x,y \right )=0$

1. Tworzymy funkcję $\dpi{120} L\left ( \lambda ,x,y \right )=f\left (x,y \right )+\lambda \cdot g\left ( x,y \right ).$

2. Liczymy pochodne cząstkowe $\dpi{120} L'_{x},\, L'_{y},\, L'_{\lambda }$ .

3. Rozwiązujemy układ równań (warunek konieczny):

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} L'_{x}=0\\ L'_{y}=0\\ L'_{\lambda }=0 \end{matrix}\right.$

4. Po rozwiązaniu otrzymujemy tzw. punkty stacjonarne $\dpi{120} \left ( x_{0},y_{0},\lambda_{0} \right )$ .

5. Liczymy pochodne cząstkowe $\dpi{120} g'_{x},\, g'_{y},\, L''_{xx},\, L''_{xy},\, L''_{yx},\,L''_{yy}$ .

6. Liczymy wartości powyższych pochodnych w punktach stacjonarnych.

7. Badamy znak tzw. Hesjanu obrzeżonego w każdym punkcie stacjonarnym:

$\dpi{120} \left |\bar{H } \right |=\begin{vmatrix} 0 & g'_{x} & g'_{y}\\ g'_{x}& L''_{xx}& L''_{xy}\\ g'_{y}&L''_{yx} & L''_{yy} \end{vmatrix}.$

8. Jeżeli:

– $\dpi{120} \left | {\bar{H}\left ( x_{0},y_{0},\lambda _{0} \right )} \right |<0$ , to w punkcie $\dpi{120} \left ( x_{0} ,y_{0}\right )$ jest minimum warunkowe,

– $\dpi{120} \left | {\bar{H}\left ( x_{0},y_{0},\lambda _{0} \right )} \right |>0$ , to w punkcie $\dpi{120} \left ( x_{0} ,y_{0}\right )$ jest maksimum warunkowe.