Logika matematyczna, teoria - WYZNACZNIK

Zdaniem w logice matematycznej nazywamy wypowiedź oznajmującą i taką, której możemy przypisać ocenę: prawda $\dpi{120} \left ( 1 \right )$ lub fałsz $\dpi{120} \left ( 0 \right )$ . (stosując znaną wiedzę w ramach danej dziedziny)

$\dpi{120} \left ( 1 \right )$ oznacza zdanie prawdziwe, zaś $\dpi{120} \left ( 0 \right )$ zdanie fałszywe.

Funktor jednoargumentowy

1) ~ – negacja (zaprzeczenie)

Funktory dwuargumentowe

1) $\vee$ – alternatywa

2) $\wedge$ – koniunkcja

3) $\dpi{120} \Rightarrow$ – implikacja (wynikanie)

4) $\dpi{120} \Leftrightarrow$ – równoważność

Tabele zerojedynkowe

negacja

p	~p
0	1
1	0

alternatywa

p	q	p $\vee$ q
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

koniunkcja

p	q	p $\wedge$ q
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

implikacja

p	q	p $\dpi{120} \Rightarrow$ q
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

równoważność

p	q	p $\dpi{120} \Leftrightarrow$ q
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Tautologia jest to formuła rachunku zdań, która przyjmuje wartość logiczną 1 przy dowolnym podstawieniu wartości logicznych za zmienne występujące w tej formule.

Podstawowe prawa rachunku zdań:

– prawa de Morgana

1) $\dpi{120} \sim \left ( p\vee q \right )\Leftrightarrow \left ( \sim p\, \wedge \sim q \right )$

2) $\dpi{120} \sim \left ( p\wedge q \right )\Leftrightarrow \left ( \sim p\, \vee \sim q \right )$

– prawa przemienności alternatywy i koniunkcji

3) $\dpi{120} \left (p\vee q \right ) \Leftrightarrow \left (q\vee p \right )$

4) $\dpi{120} \left (p\wedge q \right ) \Leftrightarrow \left (q\wedge p \right )$

– prawa łączności alternatywy i koniunkcji

5) $\dpi{120} \left (p\vee q \right )\vee r \Leftrightarrow p\vee \left (q\vee r\right )$

6) $\dpi{120} \left (p\wedge q \right )\wedge r \Leftrightarrow p\wedge \left (q\wedge r\right )$

– prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy

7) $\dpi{120} p\wedge \left (q\vee r\right )\Leftrightarrow \left ( p\wedge q \right )\vee \left ( p\wedge r \right )$

– prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji

8) $\dpi{120} p\vee \left (q\wedge r\right )\Leftrightarrow \left ( p\vee q \right )\wedge \left ( p\vee r \right )$

Rzadziej wprowadzane:

kreska Sheffera

p	q	p\|q
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

strzałka Łukasiewicza

p	q	$p ↓ q$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

alternatywa wykluczająca

p	q	p $\dpi{120} \veebar$ q
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Zapraszamy do zadań! tutaj