Przed rozpoczęciem rozwiązywania zadań warto zapoznać się z tabelami poszczególnych funktorów. Bardziej szczegółowe informacje w zakładce Teoria tutaj, tabele zerojedynkowe w zakładce Wzory tutaj.
Zadanie 1. Wyznacz wartość logiczną formuły przy podstawieniu p=0, q=1:
1)
Rozwiązanie
Korzystamy z tabel zerojedynkowch, patrz tutaj. Wstawiamy wartości p=0 i q=1 do formuły:
Zatem wartość powyższej formuły dla p=0 i q=1 wynosi 1.
Można to wywnioskować również od razu z pierwszej linijki, czyli . Jeżeli spojrzymy do tabeli implikacji, to widzimy, że implikacja jest fałszywa tylko w jednym przypadku, gdy
. Ponieważ u nas poprzednikiem implikacji jest
, więc formuła jest prawdziwa dla tych wartości.
2)
Rozwiązanie Korzystamy z tabel zerojedynkowch, patrz tutaj. Wstawiamy wartości p=0 i q=1 do formuły: Zatem wartość powyższej formuły dla p=0 i q=1 wynosi 0.
3)
Rozwiązanie Korzystamy z tabel zerojedynkowch, patrz tutaj. Wstawiamy wartości p=0 i q=1 do formuły: Zatem wartość powyższej formuły dla p=0 i q=1 wynosi 1.
4)
Rozwiązanie Korzystamy z tabel zerojedynkowch, patrz tutaj. Wstawiamy wartości p=0 i q=1 do formuły: Zatem wartość powyższej formuły dla p=0 i q=1 wynosi 1.
Zadanie 2. Wyznaczyć wartość logiczną formuły przy podstawieniu p=1, q=1, r=0:
1)
Rozwiązanie Korzystamy z tabel zerojedynkowch, patrz tutaj. Wstawiamy wartości p=1, q=1 i r=0 do formuły: Zatem wartość powyższej formuły dla p=1, q=1 i r=0 wynosi 1.
2)
Rozwiązanie Korzystamy z tabel zerojedynkowch, patrz tutaj. Wstawiamy wartości p=1, q=1 i r=0 do formuły: Zatem wartość powyższej formuły dla p=1, q=1 i r=0 wynosi 1.
3)
Rozwiązanie Korzystamy z tabel zerojedynkowch, patrz tutaj. Wstawiamy wartości p=1, q=1 i r=0 do formuły: Zatem wartość powyższej formuły dla p=1, q=1 i r=0 wynosi 0.
Zadanie 3. Ocenić wartość logiczną zdania:
1)
Rozwiązanie Na podstawie elementarnej matematycznej wiedzy jesteśmy w stanie ocenić wartość każdego zdania w nawiasach okrągłych. Zatem: Zatem zdanie jest fałszywe.
2)
Rozwiązanie Na podstawie elementarnej matematycznej wiedzy jesteśmy w stanie ocenić wartość każdego zdania w nawiasach okrągłych. Zatem: Zatem zdanie jest fałszywe.
3)
Rozwiązanie Na podstawie elementarnej matematycznej wiedzy jesteśmy w stanie ocenić wartość każdego zdania w nawiasach okrągłych. Zatem: Zatem zdanie jest prawdziwe.
Zadanie 3. Sprawdzić (za pomocą tabelki), czy podana formuła jest tautologią:
1) (prawo de Morgana) – omówione szczegółówo
Rozwiązanie
1. Tworzymy dwie pierwsze kolumny tabeli dla zdań p i q. Wypełniamy kolumny wszystkimi możliwymi kombinacjami wartości tych zdań, czyli liczbami 0 i 1.
| p | q | |
| 0 | 0 | |
| 0 | 1 | |
| 1 | 0 | |
| 1 | 1 |
2. Tworzymy kolejną kolumnę tabeli dla wartości logicznych zdania , którą wypełniamy na podstawie dwóch pierwszych kolumn.
| p | q | ||
| 0 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 |
3. Tworzymy kolejną kolumnę tabeli dla wartości logicznych zdania , którą wypełniamy na podstawie trzeciej kolumny. Otrzymujemy w ten sposób wartość logiczną lewej strony równoważności.
| p | q | |||
| 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 0 | 1 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
4. Tworzymy kolejne dwie kolumny tabeli dla wartości logicznych zdań ∼p i ∼q, które wypełniamy na podstawie pierwszych dwóch kolumn.
| p | q | |||||
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
5. Tworzymy kolejną kolumnę tabeli dla wartości logicznych zdania , którą wypełniamy na podstawie kolumn 5 i 6. Jest to prawa strona równoważności.
| p | q | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
6. Ostatnią kolumnę wypełniamy na podstawie kolumn 4 i 7. Oznaczmy oraz
.
| p | q | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Otrzymaliśmy same jedynki, czyli wartości logiczne „prawda”, co oznacza, że badana formuła jest tautologią.
2)
Rozwiązanie
Tworzymy tabelkę. Szczegółowe omówienie w przykładzie 1).
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Przez L rozumiemy lewą stronę równoważności, przez P prawą stronę równoważności. Ponieważ w ostatniej kolumnie otrzymaliśmy same jedynki, czyli wartości logiczne „prawda”, oznacza to, że badana formuła jest tautologią.
3)
Rozwiązanie Tworzymy tabelkę. Szczegółowe omówienie w przykładzie 1). Przez L rozumiemy lewą stronę równoważności, przez P prawą stronę równoważności (onaczone na czerwono). Ponieważ w ostatniej kolumnie otrzymaliśmy same jedynki, czyli wartości logiczne „prawda”, oznacza to, że badana formuła jest tautologią.
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
4) – rozdzielność koniunkcji względem alternatywy
Rozwiązanie Mamy tutaj trzy zdania. Zatem wszystkich możliwych przypadków 0 i 1 będzie Przez L rozumiemy lewą stronę równoważności, przez P prawą stronę równoważności (oznaczone na czerwono). Ponieważ w ostatniej kolumnie otrzymaliśmy same jedynki, czyli wartości logiczne „prawda”, oznacza to, że badana formuła jest tautologią.
. Tworzymy tabelkę. Szczegółowe omówienie w przykładzie 1).
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5)
Rozwiązanie Mamy tutaj trzy zdania. Zatem wszystkich możliwych przypadków 0 i 1 będzie Przez L rozumiemy lewą stronę implikacji, przez P prawą stronę implikacji (oznaczone na czerwono). Ponieważ w ostatniej kolumnie otrzymaliśmy same jedynki, czyli wartości logiczne „prawda”, oznacza to, że badana formuła jest tautologią. Do udowodnienia mieliśmy implikację, ale ostatecznie wykazaliśmy równoważność.
. Tworzymy tabelkę. Szczegółowe omówienie w przykładzie 1).
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6)
Rozwiązanie Mamy tutaj trzy zdania. Zatem wszystkich możliwych przypadków 0 i 1 będzie Przez L rozumiemy lewą stronę implikacji, przez P prawą stronę implikacji (oznaczone na czerwono). Ponieważ w ostatniej kolumnie otrzymaliśmy same jedynki, czyli wartości logiczne „prawda”, oznacza to, że badana formuła jest tautologią. Do udowodnienia mieliśmy implikację, ale ostatecznie wykazaliśmy równoważność.
. Tworzymy tabelkę. Szczegółowe omówienie w przykładzie 1).
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Zadanie 4. Sprawdzić (bez tabelki), czy podana formuła jest tautologią:
1)
Rozwiązanie Podstawowym funktorem zdaniotwórczym w wyrażeniu
Powyższa zależność wynika z faktu, że alternatywa jest fałszywa w przypadku, gdy oba składniki są fałszywe. Następnie:
Podsumowując otrzymaliśmy: Pamiętajmy, że na początku postawiliśmy pytanie: kiedy wyrażenie jest fałszywe. Otrzymaliśmy, że jest ono fałszywe dla zdania
jest implikacja. Zastanawiamy się, kiedy implikacja jest fałszywa. Tylko w jednym przypadku, gdy z prawdy wynika fałsz. Rozpatrujemy tylko ten przypadek. Zatem:
oraz
i
i
Ponieważ
, więc
.
oraz
i
prawdziwego i zdania
fałszywego. Zatem nie jest to tautologia.
2)
Rozwiązanie Podstawowym funktorem zdaniotwórczym w wyrażeniu
Pierwsza implikacja wynika z faktu, że koniunkcja jest prawdziwa w przypadku, gdy obydwa zdania są prawdziwe. Następnie z faktu, że
jest implikacja. Zastanawiamy się, kiedy implikacja jest fałszywa. Tylko w jednym przypadku, gdy z prawdy wynika fałsz. Rozpatrujemy tylko ten przypadek. Zatem:
oraz
i
oraz
mamy
. Ponieważ
musielibyśmy rozważać trzy przypadki, więc sprawdzamy teraz co się dzieje z tym wyrażeniem dla otrzymanych wartości
i
. Zatem dla
i
mamy
. A to jest sprzeczne z wcześniej otrzymaną wartością (na czerwono). Nie można więc znaleźć takich wartości
i
, dla których wyjściowe wyrażenie byłoby fałszywe. Udowodniliśmy w ten sposób, że jest to tautologia.
3)
Rozwiązanie Podstawowym funktorem zdaniotwórczym w wyrażeniu
Aby implikacja była fałszywa tzn.
Ponieważ
jest implikacja. Zastanawiamy się, kiedy implikacja jest fałszywa. Tylko w jednym przypadku, gdy z prawdy wynika fałsz. Rozpatrujemy tylko ten przypadek. Zatem:
oraz
i
, jej poprzednik musi być prawdziwy, czyli
zaś następnik fałszywy czyli
.
i
Koniunkcja jest prawdziwa, gdy oba zdania są prawdziwe.
, musielibyśmy rozważać trzy przypadki, więc sprawdzamy teraz co się dzieje z tym wyrażeniem dla otrzymanych wartości
,
i
. Zatem dla
,
i
, mamy
. A to jest sprzeczne z wcześniejszą wartością (na czerwono). Nie można więc znaleźć takich wartości
,
i
, dla których wyjściowe wyrażenie byłoby fałszywe. Udowodniliśmy w ten sposób, że jest to tautologia.
4) – eksportacja
Rozwiązanie
Podstawowym funktorem zdaniotwórczym w wyrażeniu jest implikacja. Zastanawiamy się, kiedy implikacja jest fałszywa. Tylko w jednym przypadku, gdy z prawdy wynika fałsz. Rozpatrujemy tylko ten przypadek. Zatem:
oraz
i
Aby implikacja była fałszywa tzn. , jej poprzednik musi być prawdziwy, czyli
zaś następnik fałszywy czyli
.
i
Implikacja jest fałszywa, gdy z prawdy wynika fałsz.
Ponieważ , musielibyśmy rozważać trzy przypadki, więc sprawdzamy teraz co się dzieje z tym wyrażeniem dla otrzymanych wartości
,
i
. Zatem dla
,
i
, mamy
. A to jest sprzeczne z wcześniejszą wartością (na czerwono). Nie można więc znaleźć takich wartości
,
i
, dla których wyjściowe wyrażenie byłoby fałszywe. Udowodniliśmy w ten sposób, że jest to tautologia.
Zadanie 5. Czy prawdziwe jest zdanie?
1) Jeśli liczba naturalna n jest liczbą pierwszą, to o ile n jest liczbą złożoną, to n jest równe 4.
Rozwiązanie Wprowadźmy oznaczenia: Wkroczyła tutaj podstawowa wiedza matematyczna o liczbach pierwszych i złożonych. Liczba pierwsza to taka liczba, która jest podzielna wyłącznie przez 1 i przez samą siebie. Zaś liczba złożona, to liczba, która nie jest liczbą pierwszą. Należy teraz stworzyć formułę zdaniową odpowiadającą naszemu zdaniu. Sprawdzamy powyższą formułę dowolną metodą, np. tabelką. Wyrażenie powyższe jest tautologią, a więc zdanie jest prawdziwe.
– liczba naturalna n jest liczbą pierwszą
– n jest równe 4
– n jest liczbą złożoną
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
2) Jeżeli figura A jest czworokątem i A ma wszystkie kąty równe, to z faktu iż A jest czworokątem wynika, że A ma równe boki.
Rozwiązanie Wprowadźmy oznaczenia: Należy teraz stworzyć formułę zdaniową odpowiadającą naszemu zdaniu. Sprawdzamy powyższą formułę dowolną metodą, np. tabelką. Wyrażenie powyższe nie jest tautologią, gdyż pojawia się 0 w ostatniej kolumnie. Zatem zdanie nie jest prawdziwe.
– figura A jest czworokątem
– figura A ma wszystkie kąty równe
– figura A ma równe boki
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
Zadanie 6. Sprowadzić do najprostszej postaci wyrażenie
1)
Rozwiązanie
Wykorzystamy różne prawa logiczne zawarte w zakładce Teoria tutaj.
Do implikacji na czerwono zastosujemy prawo: . Poprzednikiem naszej implikacji jest
, zaś następnikiem
. Zatem:
Do wyrażenia na pomarańczowo stosujemy jedno z praw de Morgana: . Mamy:
Do implikacji na czerwono ponownie stosujemy prawo: . Otrzymujemy:
W nawiasie kwadratowym (na niebiesko) stosujemy prawo przemienności alternatywy.
Do zaznaczonych na niebiesko alternatyw stosujemy prawo łączności:
Zauważmy, że wyrażenie jest zawsze prawdziwe. Mamy:
Aby alternatywa była prawdziwa, wystarczy aby jedno ze zdań składowych było prawdziwe. Stąd otrzymaliśmy w nawiasie klamrowym wartość 1. Ostatecznie:
Koniunkcja zależy wyłącznie od wartości zdania
, stąd ostatnia równoważność.
Otrzymaliśmy zatem, że wyjściowe wyrażenie jest równoważne zdaniu .
2)
Rozwiązanie
Wykorzystamy różne prawa logiczne zawarte w zakładce Teoria tutaj.
Do implikacji stosujemy prawo: . Poprzednikiem naszej implikacji jest
, zaś następnikiem
. Zatem:
Do wyrażenia na czerwono stosujemy jedno z praw de Morgana: . Mamy:
W nawiasie klamrowym stosujemy prawo łączności alternatywy (przestawiamy nawias kwadratowy):
Stosujemy ponownie prawo de Morgana:
W nawiasie klamrowym stosujemy prawo rozdzielności:
Wartość alternatywy zależy tylko od wartości
, zatem ostatecznie otrzymujemy: