Równanie Bernoulliego (zadania)

W równaniach Bernoulliego będziemy wykorzystywać wcześniejszą wiedzę z równań różniczkowych i liczenia całek. Każde równanie Bernoulliego sprowadza się do równania liniowego tutaj, dlatego należy znać metody ich rozwiązywania. Ponadto wykorzystujemy różne metody liczenia całek: całkowanie przez części tutaj, całki wymierne tutaj i inne.

Zadanie 1. Rozwiązać równanie Bernoulliego:

1) $y'+xy=xy^{3}$

Rozwiązanie

Dzielimy równanie stronami przez $y^{3}$ .

$y'+xy=xy^{3}/:y^{3},\; y\neq 0$

${\color{Red} y^{-3}y'}-x{\color{Blue} y^{-2}}=x$

Wykonujemy podstawienie:

$t={\color{Blue} y^{-2}}$

$t'=-2y^{-3}y'$

${\color{Red} y^{-3}y'}={\color{Green} -\frac{1}{2}t'}$

Wstawiamy do równania:

${\color{Green} -\frac{1}{2}t'}-x{\color{Blue} t}=x/\cdot \left ( -2 \right )$

$t'+2xt=-2x$

Otrzymaliśmy w ten sposób równanie liniowe. Rozwiązujemy je np. metodą uzmienniania stałej. Zatem rozwiązujemy najpierw równanie liniowe jednorodne:

$t'+2xt=0$

$t'=-2xt/:t,\; t\neq 0$

$\frac{t'}{t}=-2x$

$\frac{dt}{t}=-2xdx$

$\int \frac{dt}{t}=-\int 2xdx$

$\ln \left | t \right |=-x^{2}+c_{1},\; c_{1}\in R$

$\left | t \right |=e^{-x^{2}+c_{1}}$

$\left | t \right |=c_{2}e^{-x^{2}},\; c_{2}\in R_{+}$

$t=ce^{-x^{2}},\; c\in R$

Jest to rozwiązanie ogólne równania jednorodnego. Teraz uzmienniamy stałą:

$t=c\left ( x \right )e^{-x^{2}}$

$t'=c'\left ( x \right )e^{-x^{2}}-2xe^{-x^{2}}c\left ( x \right )$

Wstawiamy do wyjściowego równania $t'+2xt=-2x$ . Mamy:

$c'\left ( x \right )e^{-x^{2}}-2xe^{-x^{2}}c\left ( x \right )+2xc\left ( x \right )e^{-x^{2}}=-2x$

$c'\left ( x \right )e^{-x^{2}}=-2x/:e^{-x^{2}}$

$c'\left ( x \right )=-2xe^{x^{2}}$

$c\left ( x \right )=-\int 2xe^{x^{2}}dx$

Podstawiając:

$x^{2}=s$

$2xdx=ds$

Mamy:

$\int 2xe^{x^{2}}dx=\int e^{s}ds=e^{s}=e^{x^{2}}+c_{1}$

Zatem:

$c\left ( x \right )=-e^{x^{2}}+c_{1},\; c_{1}\in R$

Ostatecznie mamy:

$t=\left ( -e^{x^{2}}+c_{1} \right )e^{-x^{2}},\; c_{1}\in R$

$t=-1+c_{1}e^{-x^{2}}$

Wracając do podstawienia $t=y^{-2}$ otrzymujemy:

$y^{-2}=-1+c_{1}e^{-x^{2}}$

$\frac{1}{y^{2}}=-1+c_{1}e^{-x^{2}},\; c_{1}\in R$

Zauważmy, że $y=0$ , które na początku wykluczyliśmy, również jest rozwiązaniem tego równania.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $y'-xy=-e^{-x^{2}}y^{3}$

Rozwiązanie

Dzielimy równanie stronami przez $y^{3}$ .

$y'-xy=-e^{-x^{2}}y^{3}/:y^{3},\; y\neq 0$

${\color{Red} y^{-3}y'}-x{\color{Blue} y^{-2}}=-e^{-x^{2}}$

Wykonujemy podstawienie:

$t={\color{Blue} y^{-2}}$

$t'=-2y^{-3}y'$

${\color{Red} y^{-3}y'}={\color{Green} -\frac{1}{2}t'}$

Wstawiamy do równania:

${\color{Green} -\frac{1}{2}t'}-x{\color{Blue} t}=-e^{-x^{2}}/\cdot \left ( -2 \right )$

$t'+2xt=2e^{-x^{2}}$

Otrzymaliśmy w ten sposób równanie liniowe. Rozwiązujemy je np. poprzez uzmiennienie stałej. Metoda przewidywań tutaj nie jest możliwa. Zatem rozwiązujemy najpierw równanie liniowe jednorodne:

$t'+2xt=0$

$t'=-2xt/:t,\; t\neq 0$

$\frac{t'}{t}=-2x$

$\frac{dt}{t}=-2xdx$

$\int \frac{dt}{t}=-\int 2xdx$

$\ln \left | t \right |=-x^{2}+c_{1},\; c_{1}\in R$

$\left | t \right |=e^{-x^{2}+c_{1}}$

$\left | t \right |=c_{2}e^{-x^{2}},\; c_{2}\in R_{+}$

$t=ce^{-x^{2}},\; c\in R$

Jest to rozwiązanie ogólne równania jednorodnego. Teraz uzmienniamy stałą:

$t=c\left ( x \right )e^{-x^{2}}$

$t'=c'\left ( x \right )e^{-x^{2}} +c\left ( x \right )\cdot \left ( -2x \right )\cdot e^{-x^{2}}$

Wstawiamy do wyjściowego równania $t'+2xt=2e^{-x^{2}}$ . Mamy:

$c'\left ( x \right )e^{-x^{2}}{\color{Blue} +c\left ( x \right )\cdot \left ( -2x \right )\cdot e^{-x^{2}}}+{\color{Blue} 2x\cdot c\left ( x \right )e^{-x^{2}}}=2e^{-x^{2}}$

$c'\left ( x \right )e^{-x^{2}}=2e^{-x^{2}}/:e^{-x^{2}}$

$c'\left ( x \right )=2$

$c\left ( x \right )=\int 2dx$

$c\left ( x \right )=2x+c,c\in R$

Ostatecznie mamy:

$t=\left ( 2x+c \right )e^{-x^{2}},\; c\in R$

Wracając do podstawienia $t=y^{-2}$ otrzymujemy:

$y^{-2}=\left ( 2x+c \right )e^{-x^{2}},\; c\in R$

$\frac{1}{y^{2}}=\left ( 2x+c \right )e^{-x^{2}},\; c\in R$

Zauważmy, że $y=0$ , które na początku wykluczyliśmy, również jest rozwiązaniem tego równania.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\left ( x+1 \right )\left ( yy'-1 \right )=y^{2}$

Rozwiązanie

Dzielimy równanie stronami przez $x+1$ .

$\left ( x+1 \right )\left ( yy'-1 \right )=y^{2}/:\left ( x+1 \right )$

$\dpi{120} yy'-1=\frac{y^{2}}{x+1}$

$\dpi{120} {\color{Blue} yy'}-\frac{{\color{Red} y^{2}}}{x+1}=1$

Jest to równanie Bernoulliego. Wykonujemy podstawienie:

$t={\color{Red} y^{2}}$

$t'=2yy'$

$\dpi{120} {\color{Blue} yy'}= {\color{Green} \frac{t'}{2}}$

Wstawiamy do równania:

$\dpi{120} {\color{Green} \frac{t'}{2}}-\frac{1}{x+1}{\color{Red} t}=1/\cdot 2$

$\dpi{120} t'-\frac{2}{x+1}t=2$

Otrzymaliśmy w ten sposób równanie liniowe. Rozwiązujemy je np. poprzez czynnik całkujący.

$\dpi{120} \mu \left ( x \right )=e^{-\int \frac{2}{x+1}dx} =e^{-2\ln \left | x+1 \right |}=e^{\ln \left ( x+1 \right )^{-2}}=\left ( x+1 \right )^{-2}=\frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}$

Mnożymy równanie przez czynnik całkujący:

$\dpi{120} t'-\frac{2}{x+1}t=2/\cdot \frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}$

$\dpi{120} {\color{Red} \frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}t'-\frac{2}{\left ( x+1 \right )^{3}}t}=\frac{2}{\left ( x+1 \right )^{2}}$

Sprawdzamy czy lewa strona zapisze się w postaci $\dpi{120} \left [\mu \left ( x \right )t \right ]'$ :

$\dpi{120} \left [\mu \left ( x \right )t \right ]'={\color{Blue} \left (\frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}\cdot t \right )'}={\color{Red} \frac{-2}{\left ( x+1 \right )^{3}}\cdot t+\frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}\cdot t'}=L$

Zatem:

$\dpi{120} {\color{Blue} \left ( \frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}} \cdot t\right )'}=\frac{2}{\left ( x+1 \right )^{2}}$

Całkując stronami otrzymujemy:

$\dpi{120} \frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}\cdot t=\int \frac{2}{\left ( x+1 \right )^{2}}dx$

$\dpi{120} \frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}\cdot t=2\int \frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}dx$

$\dpi{120} \frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}\cdot t=2\cdot \left ( -\left ( x+1 \right )^{-1} \right )+c,\; c\in R$

$\dpi{120} \frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}\cdot t=\frac{-2}{x+1}+c/\cdot \left ( x+1 \right )^{2}$

$\dpi{120} t=-2\left ( x+1 \right )+c\left ( x+1 \right )^{2}$

Wracając do podstawienia $t=y^{2}$ otrzymujemy:

$\dpi{120} y^{2}=-2\left ( x+1 \right )+c\left ( x+1 \right )^{2},\; c\in R$

Jest to nasze końcowe rozwiązanie.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $y'+\frac{1}{x}y=\frac{\ln x}{x}\cdot y^{2}$

Rozwiązanie

Dzielimy równanie stronami przez $\dpi{120} y^{2}$ .

$y'+\frac{1}{x}y=\frac{\ln x}{x}\cdot y^{2}/:y^{2},\; y\neq 0$

${\color{Blue} \frac{y'}{y^{2}}}+\frac{1}{x}\cdot {\color{Red} \frac{1}{y}}=\frac{\ln x}{x}$

Wykonujemy podstawienie:

$t={\color{Red} \frac{1}{y}}$

$t'=-\frac{1}{y^{2}}y'$

${\color{Blue} \frac{y'}{y^{2}}}=-t'$

Wstawiamy do równania:

$-t'+\frac{1}{x}t=\frac{\ln x}{x}/\cdot \left ( -1 \right )$

$t'-\frac{1}{x}t=-\frac{\ln x}{x}$

Otrzymaliśmy w ten sposób równanie liniowe. Rozwiązujemy je np. poprzez czynnik całkujący.

$\dpi{120} \mu \left ( x \right )=e^{-\int \frac{1}{x}dx} =e^{-\ln \left | x \right |}=e^{\ln \left |x \right | ^{-1}}=\left | x \right |^{-1}$

Jako czynnik całkujący przyjmujemy $\mu \left ( x \right )=\frac{1}{x}$ .

Mnożymy równanie przez czynnik całkujący:

$t'-\frac{1}{x}t=-\frac{\ln x}{x}/\cdot \frac{1}{x}$

${\color{Red} \frac{1}{x}t'-\frac{1}{x^{2}}t}=-\frac{\ln x}{x^{2}}$

Sprawdzamy czy lewa strona zapisze się w postaci $\dpi{120} \left [\mu \left ( x \right )t \right ]'$ :

$\left [\mu \left ( x \right )t \right ]'={\color{Blue} \left ( \frac{1}{x}\cdot t \right )'}={\color{Red} -\frac{1}{x^{2}}\cdot t+\frac{1}{x}\cdot t'}=L$

Zatem:

${\color{Blue} \left ( \frac{1}{x}\cdot t \right )'}=-\frac{\ln x}{x^{2}}$

Całkując stronami otrzymujemy:

$\frac{1}{x}\cdot t=-\int \frac{\ln x}{x^{2}}dx$

Liczymy całkę $\int \frac{\ln x}{x^{2}}dx$ przez części. Niech:

$f=\ln x\; \; \; \; \; \; \; \; g'=\frac{1}{x^{2}}=x^{-2}$

$f'=\frac{1}{x}\; \; \; \; \; \; \; \; \; g=-\frac{1}{x}$

Ze wzoru na całkowanie przez części otrzymujemy:

$\int \frac{\ln x}{x^{2}}dx=\ln x\cdot \left ( -\frac{1}{x} \right )-\int \frac{1}{x}\cdot \left ( -\frac{1}{x} \right )dx=$

$=-\frac{\ln x}{x}+\int \frac{1}{x^{2}}dx=-\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x}+c_{1}$

Otrzymujemy:

$\frac{1}{x}\cdot t=-\left ( -\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x} +c_{1}\right ),\; c_{1}\in R$

$\frac{1}{x}\cdot t=\frac{\ln x}{x}+\frac{1}{x} +c/\cdot x,\; c\in R$

$t=\ln x+1+cx$

Wracając do podstawienia $t=\frac{1}{y}$ otrzymujemy:

$\frac{1}{y}=\ln x+1+cx,\; c\in R$

Zauważmy, że $y=0$ , które na początku wykluczyliśmy, również jest rozwiązaniem tego równania.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

5) $xy'-y=y^{2}$

Rozwiązanie

Dzielimy równanie stronami przez $x$ .

$y'-\frac{1}{x}y=\frac{1}{x}y^{2}$

Dzielimy równanie stronami przez $\dpi{120} y^{2}$ :

$y'-\frac{1}{x}y=\frac{1}{x}y^{2}/:y^{2},\; \; \; y\neq 0$

${\color{Blue} \frac{y'}{y^{2}}}-\frac{1}{x}\cdot {\color{Red} \frac{1}{y}}=\frac{1}{x}$

Wykonujemy podstawienie:

$t={\color{Red} \frac{1}{y}}$

$t'=-\frac{1}{y^{2}}y'$

${\color{Blue} \frac{y'}{y^{2}}}=-t'$

Wstawiamy do równania:

$-t'-\frac{1}{x}t=\frac{1}{x}/\cdot \left ( -1 \right )$

$t'+\frac{1}{x}t=-\frac{1}{x}$

Otrzymaliśmy w ten sposób równanie liniowe. Rozwiązujemy je np. poprzez czynnik całkujący.

$\dpi{120} \mu \left ( x \right )=e^{\int \frac{1}{x}dx} =e^{\ln \left | x \right |}=\left |x \right |$

Jako czynnik całkujący przyjmujemy $\dpi{120} \mu \left ( x \right )=x$ .

Mnożymy równanie przez czynnik całkujący:

$t'+\frac{1}{x}t=-\frac{1}{x}/\cdot x$

${\color{Red} xt'+t}=-1$

Sprawdzamy czy lewa strona zapisze się w postaci $\dpi{120} \left [\mu \left ( x \right )t \right ]'$ :

$\left [\mu \left ( x \right )t \right ]'={\color{Blue} \left ( x\cdot t \right )'}={\color{Red} 1\cdot t+x\cdot t'}=L$

Zatem:

${\color{Blue} \left ( x\cdot t \right )'}=-1$

Całkując stronami otrzymujemy:

$x\cdot t=-\int 1dx$

$xt=-x+C_{1},\; \; \; C_{1}\in \mathbb{R}$

Wracając do podstawienia $\dpi{120} t=\frac{1}{y}$ otrzymujemy:

$x\cdot \frac{1}{y}=-x+C/:x,\; C\in \mathbb{R}$

$\frac{1}{y}=-1+\frac{C}{x},\; \; \; C\in \mathbb{R}$

oraz $\dpi{120} y=0$ , które na początku wykluczyliśmy.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Rozwiązać równanie Bernoulliego z warunkiem początkowym:

1) $y'+\frac{1}{x}y=\frac{1}{x^{2}y^{2}},\; \; \; y\left ( 2 \right )=1$

Rozwiązanie

Mnożymy równanie stronami przez $y^{2}$ .

$y'+\frac{1}{x}y=\frac{1}{x^{2}y^{2}}/\cdot y^{2}$

${\color{Blue} y^{2}y'}+\frac{1}{x}{\color{Red} y^{3}}=\frac{1}{x^{2}}$

Wykonujemy podstawienie:

$t={\color{Red} y^{3}}$

$t'=3y^{2}y'$

${\color{Blue} y^{2}y'}=\frac{1}{3}t'$

Wstawiamy do równania:

$\frac{1}{3}t'+\frac{1}{x}t=\frac{1}{x^{2}}/\cdot 3$

$t'+\frac{3}{x}t=\frac{3}{x^{2}}$

Otrzymaliśmy w ten sposób równanie liniowe. Rozwiązujemy je np. poprzez czynnik całkujący.

$\dpi{120} \mu \left ( x \right )=e^{\int \frac{3}{x}dx} =e^{3\ln \left | x \right |}=e^{\ln \left |x \right | ^{3}}=\left | x \right |^{3}$

Jako czynnik całkujący przyjmujemy $\mu \left ( x \right )=x^{3}$ .

Mnożymy równanie przez czynnik całkujący:

$t'+\frac{3}{x}t=\frac{3}{x^{2}}/\cdot x^{3}$

${\color{Blue} t'x^{3}+3x^{2}t}=3x$

Sprawdzamy czy lewa strona zapisze się w postaci $\dpi{120} \left [\mu \left ( x \right )t \right ]'$ :

$\left [\mu \left ( x \right )t \right ]'={\color{Red} \left ( x^{3}\cdot t \right )'}={\color{Blue} 3x^{2}t+x^{3}t'}=L$

Zatem:

${\color{Red} \left ( x^{3}\cdot t \right )'}=3x$

Całkując stronami otrzymujemy:

$x^{3}\cdot t =\int 3xdx$

$x^{3}\cdot t=\frac{3}{2}x^{2}+c,\; c\in R$

Wracając do podstawienia $t=y^{3}$ otrzymujemy:

$x^{3}\cdot y^{3}=\frac{3}{2}x^{2}+c,\; c\in R$

Uwzględniamy warunek początkowy $y\left ( 2 \right )=1$ mamy:

$2^{3}\cdot 1^{3}=\frac{3}{2}\cdot 2^{2}+c$

$c=8-6=2$

Ostatecznie

$x^{3}\cdot y^{3}=\frac{3}{2}x^{2}+2.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $xy'-2x^{2}\sqrt{y}=4y,\; \; \; y\left ( 1 \right )=4$

Rozwiązanie

Przekształćmy równanie:

$xy'-2x^{2}\sqrt{y}=4y/:x$

$y'-2x\sqrt{y}=\frac{4y}{x}$

$y'-\frac{4y}{x}=2x\sqrt{y}/:\sqrt{y},\; y\neq 0$

${\color{Blue} \frac{y'}{\sqrt{y}}}-\frac{4}{x}{\color{Red} \sqrt{y}}=2x$

Wykonujemy podstawienie:

$t={\color{Red} \sqrt{y}=y^{\frac{1}{2}}}$

$t'=\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}\cdot y'$

${\color{Blue} \frac{y'}{\sqrt{y}}}=2t'$

Wstawiamy do równania:

$2t'-\frac{4}{x}t=2x/:2$

$t'-\frac{2}{x}t=2x$

Otrzymaliśmy w ten sposób równanie liniowe. Rozwiązujemy je np. poprzez czynnik całkujący.

$\dpi{120} \mu \left ( x \right )=e^{-\int \frac{2}{x}dx} =e^{-2\ln \left | x \right |}=e^{\ln \left |x \right | ^{-2}}=\left | x \right |^{-2}=\frac{1}{x^{2}}$

Mnożymy równanie przez czynnik całkujący:

$t'-\frac{2}{x}t=2x/\cdot \frac{1}{x^{2}}$

${\color{Blue} \frac{t'}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}t}=\frac{2}{x}$

Sprawdzamy czy lewa strona zapisze się w postaci $\dpi{120} \left [\mu \left ( x \right )t \right ]'$ :

$\left [\mu \left ( x \right )t \right ]'={\color{Red} \left ( \frac{1}{x^{2}}\cdot t \right )'}={\color{Blue} \frac{-2}{x^{3}}\cdot t+\frac{1}{x^{2}}\cdot t'}=L$