Badanie przebiegu zmienności funkcji(zadania)

Warto zapoznać się z zakładką Wzory tutaj i Teoria tutaj.

Zadanie 1. Zbadać monotoniczność funkcji:

1) $\dpi{120} y=x\cdot \left ( 6-x \right )^{2},$

Rozwiązanie

Pamiętajmy, że pomimo tego, że w zadaniu nie ma nic napisane o dziedzinie funkcji, wyznaczenie jej jest rzeczą konieczną.

W naszym przypadku: $\dpi{120} D=\mathbb{R}$ .

Teraz możemy przystąpić do liczenia pochodnej. Zatem:

$\dpi{120} y'=\left (x\cdot \left ( 6-x \right )^{2} \right )'$

Najpierw jednak przekształćmy funkcję:

$\dpi{120} y=x\cdot \left ( 6-x \right )^{2}=x\left ( 36-12x+x^{2} \right )=36x-12x^{2}+x^{3}$

Wracamy do pochodnej:

$\dpi{120} y'=\left (x\cdot \left ( 6-x \right )^{2} \right )'=\left ( 36x-12x^{2}+x^{3} \right )'=36-24x+3x^{2}$

Rozwiązujemy nierówność np.

$\dpi{120} 36-24x+3x^{2}>0/:3$

$\dpi{120} x^{2}-8x+12>0$

$\dpi{120} \Delta =64-4\cdot 12=16$ , $\dpi{120} x_{1}=\frac{8-4}{2}=2$ , $\dpi{120} x_{2}=\frac{8+4}{2}=6$ .

Stąd wynika, że

1) dla $\dpi{120} x\in \left ( -\infty ;2 \right )\cup \left ( 6;+\infty \right )$ funkcja $\dpi{120} y'>0$ , a stąd wynika, że $\dpi{120} y=x\cdot \left ( 6-x \right )^{2}$ jest rosnąca.

2) dla $\dpi{120} x\in \left [ 2;6 \right ]$ funkcja $\dpi{120} y'<0$ , a stąd wynika, że $\dpi{120} y=x\cdot \left ( 6-x \right )^{2}$ jest malejąca.

Gdzie domkniemy nawiasy, nie ma znaczenia.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} y=x\sqrt{8-x^{2}},$

Rozwiązanie

1. Wyznaczamy dziedzinę.

Wyrażenie podpierwiastkowe musi być nieujemne, więc:

$\dpi{120} 8-x^{2 }\geqslant 0\Rightarrow x\in \left \langle -2\sqrt{2};2\sqrt{2} \right \rangle$

Zatem: $\dpi{120} D=\left \langle -2\sqrt{2};2\sqrt{2} \right \rangle$ .

2. Liczymy pochodną:

$\dpi{120} y'=\left (x\sqrt{8-x^{2}} \right )'=\left ( x \right )'\cdot \sqrt{8-x^{2}}+x\cdot \left ( \sqrt{8-x^{2}} \right )'=$

$\dpi{120} =1\cdot \sqrt{8-x^{2}}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{8-x^{2}}}\cdot \left ( 8-x^{2} \right )'=$

$\dpi{120} = \sqrt{8-x^{2}}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{8-x^{2}}}\cdot \left ( -2x \right )=$

$\dpi{120} = \sqrt{8-x^{2}}- \frac{x^{2}}{\sqrt{8-x^{2}}}=$ sprowadzamy do wspólnego mianownika

$\dpi{120} =\frac{8-x^{2}-x^{2}}{\sqrt{8-x^{2}}}=\frac{8-2x^{2}}{\underset{>0}{\underbrace{\sqrt{8-x^{2}}}}}$

3. Badamy znak pochodnej. Zależy on tylko od licznika, ponieważ mianownik jest stale dodatni. Zatem:

$\dpi{120} 8-2x^{2}=0/:2$

$\dpi{120} 4-x^{2}=0\Rightarrow x_{1}=-2\; \vee \; x_{2}=2$

Dostaliśmy, że:

$\dpi{120} 8-2x^{2}>0$ dla $\dpi{120} x\in \left ( -2;2 \right )$ ,

$\dpi{120} 8-2x^{2}<0$ dla $\dpi{120} x\in \left ( -\infty ;-2 \right )\cup \left ( 2;+\infty \right )$ .

Musimy jeszcze uwzględnić dziedzinę funkcji $\dpi{120} D=\left \langle -2\sqrt{2};2\sqrt{2} \right \rangle$ . Stąd:

dla $\dpi{120} x\in \left ( -2\sqrt{2} ;-2 \right )\cup \left ( 2;2\sqrt{2} \right )$ pochodna $\dpi{120} y'<0$ , a zatem funkcja jest malejąca
dla $\dpi{120} x\in \left \langle -2;2 \right \rangle$ pochodna $\dpi{120} y'\geqslant 0$ , a zatem funkcja jest rosnąca.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} y=\frac{1}{4}x^{4}-2x^{2}+1,$

Rozwiązanie

1. Dziedzina: $\dpi{120} D=\mathbb{R}$ .

2. Pochodna:

$\dpi{120} y'=\left (\frac{1}{4}x^{4}-2x^{2}+1 \right )'=x^{3}-4x=x\left ( x^{2}-4 \right ).$

3. Badamy znak pochodnej:

$\dpi{120} y'=0\Rightarrow x\left ( x^{2}-4 \right )=0\Rightarrow x_{1}=0\: \vee\: x_{2}=-2\: \vee \: x_{3}=2$

– $\dpi{120} y'>0$ dla $\dpi{120} x\in \left ( -2;0 \right )\cup \left ( 2;+\infty \right )$ ,

– $\dpi{120} y'<0$ dla $\dpi{120} x\in \left ( -\infty ;-2 \right )\cup \left ( 0;2 \right )$ .

4. Monotoniczność:

– dla $\dpi{120} x\in \left ( -2;0 \right )\cup \left ( 2;+\infty \right )$ funkcja $\dpi{120} y=\frac{1}{4}x^{4}-2x^{2}+1$ jest rosnąca,

– dla $\dpi{120} x\in \left ( -\infty ;-2 \right )\cup \left ( 0;2 \right )$ funkcja $\dpi{120} y=\frac{1}{4}x^{4}-2x^{2}+1$ jest malejąca.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} y=x^{2}e^{-x},$

Rozwiązanie

1. Dziedzina: $\dpi{120} D=\mathbb{R}$ .

2. Pochodna:

$\dpi{120} y'=\left ( x^{2} e^{-x}\right )'=\left ( x^{2} \right )'\cdot e^{-x}+x^{2}\cdot \left ( e^{-x} \right )'=2xe^{-x}+x^{2}e^{-x}\cdot \left ( -x \right )'=$

$\dpi{120} =2xe^{-x}+x^{2}e^{-x}\cdot \left ( -1 \right )=2xe^{-x}-x^{2}e^{-x}=e^{-x}\cdot \left ( 2x-x^{2} \right ).$

3. Badamy znak pochodnej.

Znak pochodnej $\dpi{120} y'=e^{-x}\cdot \left ( 2x-x^{2} \right )$ zależy jedynie od czynnika $\dpi{120} 2x-x^{2}$ , gdyż $\dpi{120} e^{-x}>0$ dla dowolnego $\dpi{120} x$ .

$\dpi{120} y'=0\Rightarrow e^{-x}\cdot \left ( 2x-x^{2} \right )=0\Rightarrow 2x-x^{2}=0\Rightarrow x\left ( 2-x \right )=0$

Czyli:

$\dpi{120} x_{1}=0\; \vee \; x_{2}=2.$

– $\dpi{120} y'>0$ dla $\dpi{120} x\in \left ( 0;2 \right )$ ,

– $\dpi{120} y'<0$ dla $\dpi{120} x\in \left ( -\infty ;0 \right )\cup \left ( 2;+\infty \right )$ .

4. Monotoniczność:

– dla $\dpi{120} x\in \left ( 0;2 \right )$ funkcja $\dpi{120} y=x^{2}e^{-x}$ jest rosnąca,

– dla $\dpi{120} x\in \left ( -\infty ;0 \right )\cup \left ( 2;+\infty \right )$ funkcja $\dpi{120} y=x^{2}e^{-x}$ jest malejąca.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

5) $\dpi{120} y=x^{2}e^{-\frac{x^{2}}{2}},$

Rozwiązanie

1. Dziedzina: $\dpi{120} D=\mathbb{R}$ .

2. Pochodna:

$\dpi{120} y'=\left ( x^{2} e^{-\frac{x^{2}}{2}}\right )'=\left ( x^{2} \right )'\cdot e^{-\frac{x^{2}}{2}}+x^{2}\cdot \left ( e^{-\frac{x^{2}}{2}} \right )'=2xe^{-\frac{x^{2}}{2}}+x^{2}e^{-\frac{x^{2}}{2}}\cdot \left ( -\frac{x^{2}}{2} \right )'=$

$\dpi{120} =2xe^{-\frac{x^{2}}{2}}+x^{2}e^{-\frac{x^{2}}{2}}\cdot \left (-x \right )=2xe^{-\frac{x^{2}}{2}}-x^{3}e^{-\frac{x^{2}}{2}}=e^{-\frac{x^{2}}{2}}\cdot \left ( 2x-x^{3} \right ).$

3. Badamy znak pochodnej.

Znak pochodnej $\dpi{120} y'=e^{-\frac{x^{2}}{2}}\cdot \left ( 2x-x^{3} \right )$ zależy jedynie od czynnika $\dpi{120} 2x-x^{3}$ , gdyż $\dpi{120} e^{-\frac{x^{2}}{2}}>0$ dla dowolnego $\dpi{120} x$ .

$\dpi{120} y'=0\Rightarrow e^{-\frac{x^{2}}{2}}\cdot \left ( 2x-x^{3} \right )=0\Rightarrow 2x-x^{3}=0\Rightarrow x\left ( 2-x^{2} \right )=0$

Czyli:

$\dpi{120} x_{1}=0\; \vee \; x_{2}=-\sqrt{2}\; \vee \; x_{3}=\sqrt{2}.$

– $\dpi{120} y'>0$ dla $\dpi{120} x\in \left ( -\infty ;-\sqrt{2} \right )\cup \left ( 0;\sqrt{2} \right )$ ,

– $\dpi{120} y'<0$ dla $\dpi{120} x\in \left ( -\sqrt{2} ;0 \right )\cup \left ( \sqrt{2};+\infty \right )$ .

4. Monotoniczność:

– dla $\dpi{120} x\in \left ( -\infty ;-\sqrt{2} \right )\cup \left ( 0;\sqrt{2} \right )$ funkcja $\dpi{120} y=x^{2}e^{-\frac{x^{2}}{2}}$ jest rosnąca,

– dla $\dpi{120} x\in \left ( -\sqrt{2} ;0 \right )\cup \left ( \sqrt{2};+\infty \right )$ funkcja $\dpi{120} y=x^{2}e^{-\frac{x^{2}}{2}}$ jest malejąca.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

6) $\dpi{120} y=\frac{x}{\ln x}.$

Rozwiązanie

1. Dziedzina: $\dpi{120} D=\mathbb{R}_{+}-\left \{ 1 \right \}$ . Pamiętajmy dziedziną logarytmu jest $\dpi{120} \mathbb{R}_{+}$ , ponadto mianownik musi być różny od zera, czyli $\dpi{120} \ln x\neq 0\Rightarrow x\neq 1$ .

2. Pochodna:

$\dpi{120} y'=\left (\frac{x}{\ln x} \right )'=\frac{\left ( x \right )'\cdot \ln x-x\cdot \left ( \ln x \right )'}{\left ( \ln x \right )^{2}}=\frac{ \ln x-x\cdot \frac{1}{x}}{ \ln ^{2}x}=\frac{ \ln x-1}{ \ln ^{2}x}.$

3. Badamy znak pochodnej.

Znak pochodnej $y'=\frac{\ln x-1}{\ln ^{2}x}$ zależy jedynie od licznika $\dpi{120} \ln x-1$ , gdyż $\dpi{120} \ln ^{2}x>0$ dla dowolnego $\dpi{120} x$ .

$\dpi{120} y'=0\Rightarrow \ln x-1=0\Rightarrow \ln x=1\Rightarrow x=e.$

– $\dpi{120} y'>0$ dla $\dpi{120} x\in \left ( e;+\infty \right )-\left \{ 1 \right \}$ ,

– $\dpi{120} y'<0$ dla $\dpi{120} x\in \left ( 0;e \right )$ .

Uwzględniliśmy tutaj dziedzinę funkcji.

4. Monotoniczność:

– dla $\dpi{120} x\in \left ( e;+\infty \right )-\left \{ 1 \right \}$ funkcja $\dpi{120} y=\frac{x}{\ln x}$ jest rosnąca,

– dla $\dpi{120} x\in \left ( 0;e \right )$ funkcja $\dpi{120} y=\frac{x}{\ln x}$ jest malejąca.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Znaleźć przedziały, na których wykres funkcji $\dpi{120} \large y=f\left ( x \right )$ jest wypukły bądź wklęsły oraz wyznaczyć punkty przegięcia tego wykresu.

1) $\dpi{120} y=x^{4}-4x^{3}-90x^{2}+12x+7,$

Rozwiązanie

1. Dziedzina funkcji $\dpi{120} D=\mathbb{R}$ . Liczymy pierwszą pochodną:

$\dpi{120} y'=\left (x^{4}-4x^{3}-90x^{2}+12x+7 \right )'=4x^{3}-12x^{2}-180x+12.$

2. Liczymy drugą pochodną:

$\dpi{120} y''=\left (4x^{3}-12x^{2}-180x+12 \right )'=12x^{2}-24x-180.$

3. Badamy znak drugiej pochodnej:

$\dpi{120} y''=0\Rightarrow 12x^{2}-24x-180=0/:12$

$\dpi{120} x^{2}-2x-15=0$

$\dpi{120} \Delta =4-4\cdot \left ( -15 \right )=64,$ $\dpi{120} x_{1}=\frac{2-8}{2}=-3,$ $\dpi{120} x_{2}=\frac{2+8}{2}=5.$

– $\dpi{120} y''>0$ dla $\dpi{120} x\in \left ( -\infty ;-3 \right )\cup \left ( 5;+\infty \right ),$

– $\dpi{120} y''<0$ dla $\dpi{120} x\in \left ( -3;5 \right )$ .

Wynika stąd, że :

– funkcja $\dpi{120} y=x^{4}-4x^{3}-90x^{2}+12x+7$ jest wypukła dla $\dpi{120} x\in \left ( -\infty ;-3 \right )\cup \left ( 5;+\infty \right ),$

– funkcja $\dpi{120} y=x^{4}-4x^{3}-90x^{2}+12x+7$ jest wklęsła dla $\dpi{120} x\in \left ( -3;5 \right )$ .

W punktach

$\dpi{120} A=\left ( -3;\left ( -3 \right ) ^{4}-4\cdot \left ( -3 \right )^{3}-90\cdot \left ( -3 \right )^{2}+12\cdot \left ( -3 \right )+7\right)=\left ( -3;-650 \right )$

oraz

$\dpi{120} B=\left ( 5;5^{4}-4\cdot 5^{3}-90\cdot 5^{2}+12\cdot 5+7 \right )=\left ( 5;-2058 \right )$

druga pochodna zmienia znak, czyli są to punkty przegięcia.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} y=x^{4}-6x^{3}+18x^{2}+7x+3,$

Rozwiązanie

1. Dziedzina funkcji $\dpi{120} D=\mathbb{R}$ . Liczymy pierwszą pochodną:

$\dpi{120} y'=\left (x^{4}-6x^{3}+18x^{2}+7x+3 \right )'=4x^{3}-18x^{2}+36x+7.$

2. Liczymy drugą pochodną:

$\dpi{120} y''=\left (4x^{3}-18x^{2}+36x+7 \right )'=12x^{2}-36x+36.$

3. Badamy znak drugiej pochodnej:

$\dpi{120} y''=0\Rightarrow 12x^{2}-36x+36=0/:12$

$\dpi{120} x^{2}-3x+3=0$

$\dpi{120} \Delta =9-4\cdot 3=-3.$

Ponieważ $\dpi{120} \Delta =-3<0$ , to $\dpi{120} y''>0$ dla dowolnego $\dpi{120} x\in \mathbb{R}$ .

Wynika stąd, że funkcja jest wypukła w całej dziedzinie: $\dpi{120} x\in \mathbb{R}$ . Nie posiada punktów przegięcia.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} y=x+\frac{4}{x},$

Rozwiązanie

1. Dziedzina funkcji $\dpi{120} D=\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}$ . Liczymy pierwszą pochodną:

$\dpi{120} y'=\left ( x+\frac{4}{x} \right )'=1-\frac{4}{x^{2}}=\frac{x^{2}-4}{x^{2}}.$

2. Liczymy drugą pochodną:

$\dpi{120} y''=\left ( \frac{x^{2}-4}{x^{2}} \right )'=\frac{2x\cdot x^{2}-\left ( x^{2}-4 \right )\cdot 2x}{x^{4}}=\frac{2x^{3}-2x^{3}+8x}{x^{4}}=\frac{8x}{x^{4}}=\frac{8}{x^{3}}.$

3. Badamy znak drugiej pochodnej:

$\dpi{120} y''>0\Rightarrow \frac{8}{x^{3}}>0\Rightarrow 8x^{3}>0$

Stąd:

– $\dpi{120} y''>0$ dla $\dpi{120} x\in\left ( 0;+\infty \right ),$

– $\dpi{120} y''<0$ dla $\dpi{120} x\in \left ( -\infty ;0 \right )$ .

Wynika stąd, że :

– funkcja $\dpi{120} y=x+\frac{4}{x}$ jest wypukła dla $\dpi{120} x\in\left ( 0;+\infty \right ),$

– funkcja $\dpi{120} y=x+\frac{4}{x}$ jest wklęsła dla $\dpi{120} x\in \left ( -\infty ;0 \right )$ .

Druga pochodna nie zeruje się w żadnym punkcie, więc funkcja nie ma punktów przegięcia.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} y=\frac{1}{1+x^{2}}.$

Rozwiązanie

1. Dziedzina funkcji $\dpi{120} D=\mathbb{R}$ . Liczymy pierwszą pochodną:

$\dpi{120} y'=\left ( \frac{1}{1+x^{2}} \right )'=\frac{-1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}\cdot \left ( 1+x^{2} \right )'=\frac{-2x}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}.$

Policzyliśmy tutaj pochodną z funkcji złożonej, można ją również liczyć ze wzoru na pochodną z ilorazu. Pamiętajmy $\dpi{120} \left ( \frac{1}{x} \right )'=-\frac{1}{x^{2}}$ .

2. Liczymy drugą pochodną:

$\dpi{120} y''=\left ( \frac{-2x}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}} \right )'=\frac{-2\cdot \left ( 1+x^{2} \right )^{2}+2x\cdot \left [ \left ( 1+x^{2} \right )^{2} \right ]'}{\left ( 1+x^{2} \right )^{4}}$

$\dpi{120} y''=\frac{-2\cdot \left ( 1+x^{2} \right )^{2}+2x\cdot 2\left ( 1+x^{2} \right )\cdot \left ( 1+x^{2} \right )'}{\left ( 1+x^{2} \right )^{4}}$

$\dpi{120} y''=\frac{2\left ( 1+x^{2} \right )\left [ -\left ( 1+x^{2} \right )+2x \cdot 2x\right ]}{\left ( 1+x^{2} \right )^{4}}$

$\dpi{120} y''=\frac{2\left ( -1-x^{2}+4x^{2} \right )}{\left ( 1+x^{2} \right )^{3}}$

$\dpi{120} y''=\frac{2\left ( 3x^{2}-1 \right )}{\left ( 1+x^{2} \right )^{3}}$

3. Badamy znak drugiej pochodnej.

Ponieważ mianownik jest dodatni, więc znak drugiej pochodnej zależy jedynie od licznika.

$\dpi{120} y''=0\Rightarrow \frac{2\left ( 3x^{2}-1 \right )}{\left ( 1+x^{2} \right )^{3}}=0\Rightarrow 3x^{2}-1=0\Rightarrow x_{1}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\: \vee \: x_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Stąd:

– $\dpi{120} y''>0$ dla $\dpi{120} x\in \left ( -\infty ;-\frac{\sqrt{3}}{3} \right )\cup \left ( \frac{\sqrt{3}}{3};+\infty \right )$ ,

– $\dpi{120} y''<0$ dla $\dpi{120} x\in \left ( -\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{\sqrt{3}}{3} \right )$ .

Wynika stąd, że :

– funkcja $\dpi{120} y=\frac{1}{1+x^{2}}$ jest wypukła dla $\dpi{120} x\in \left ( -\infty ;-\frac{\sqrt{3}}{3} \right )\cup \left ( \frac{\sqrt{3}}{3};+\infty \right )$ ,

– funkcja $\dpi{120} y=\frac{1}{1+x^{2}}$ jest wklęsła dla $\dpi{120} x\in \left ( -\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{\sqrt{3}}{3} \right )$ .

W punktach

$\dpi{120} A=\left ( -\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{1}{1+\left (- \frac{\sqrt{3}}{3} \right )^{2}} \right )=\left ( -\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{3}{4} \right )$

oraz

$\dpi{120} B=\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} ;\frac{1}{1+\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )^{2}}\right )=\left ( \frac{\sqrt{3}}{3};\frac{3}{4} \right )$

druga pochodna zmienia znak, czyli są to punkty przegięcia.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 3. Znaleźć asymptoty funkcji:

1) $\dpi{120} y=\frac{x^{2}}{x^{2}-4},$

Rozwiązanie

1. Dziedzina funkcji: $\dpi{120} D=\mathbb{R}-\left \{ -2,2 \right \}$ . Wnioskujemy stąd, że są dwie asymptoty pionowe:

$\dpi{120} x=-2$

oraz

$\dpi{120} x=2.$

2. Badamy istnienie asymptot poziomych. W tym celu liczymy:

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{x^{2}}{x^{2}-4}=1$

oraz

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{2}}{x^{2}-4}=1$

Ponieważ obydwie granice są skończone i równają się $\dpi{120} 1$ , więc mamy asymptotę poziomą:

$\dpi{120} y=1.$

3. Ponieważ otrzymaliśmy asymptotę poziomą, wnioskujemy, że asymptot ukośnych brak.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} y=\frac{x^{2}-3}{x-2},$

Rozwiązanie

1. Dziedzina funkcji: $\dpi{120} \mathbb{R}-\left \{ 2 \right \}$ . Stąd mamy jedną asymptotę pionową:

$\dpi{120} x=2.$

2. Sprawdzamy istnienie asymptot poziomych:

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{x^{2}-3}{x-2}=-\infty$

zaś

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{2}-3}{x-2}=+\infty$

co pokazuje, że asymptot poziomych nie ma.

3. Szukamy zatem asymptoty ukośnej $\dpi{120} y=mx+n$ .

$\dpi{120} m=\lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{\frac{x^{2}-3}{x-2}}{x}=\lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{x^{2}-3}{x\left ( x-2 \right )}=1.$

Pamiętamy, że przy tego typu granicach wystarczy spojrzeć na współczynniki przy najwyższych potęgach licznika i mianownika.

$\dpi{120} n=\lim_{x\rightarrow \infty }\left (\frac{x^{2}-3}{x-2}-x \right )=\lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{x^{2}-3-x^{2}+2x}{x-2}=\lim_{x\pm \infty }\frac{2x-3}{x-2}=2.$

Zatem asymptota ukośna ma równanie: $\dpi{120} y=x+2$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} y=\frac{x^{3}}{\left ( x+1 \right )\left ( x-2 \right )},$

Rozwiązanie

1. Dziedzina funkcji: $\dpi{120} D=\mathbb{R}-\left \{ -1,2 \right \}$ .Wnioskujemy stąd, że są dwie asymptoty pionowe:

$\dpi{120} x=-1$

oraz

$\dpi{120} x=2.$

2. Badamy istnienie asymptot poziomych. W tym celu liczymy:

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{x^{3}}{\left ( x+1 \right )\left ( x-2 \right )}=-\infty$

oraz

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{3}}{\left ( x+1 \right )\left ( x-2 \right )}=+\infty$

Zatem asymptot poziomych brak.

3. Szukamy zatem asymptoty ukośnej $\dpi{120} y=mx+n$ .

$\dpi{120} m=\lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{\frac{x^{3}}{\left ( x+1 \right )\left ( x-2 \right )}}{x}=\lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{x^{2}}{\left ( x+1 \right )\left ( x-2 \right )}=1.$

$\dpi{120} n=\lim_{x\rightarrow \pm \infty }\left ( \frac{x^{3}}{\left ( x+1 \right )\left ( x-2 \right )}-x \right )=\lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{x^{3}-x\left ( x+1 \right )\left ( x-2 \right )}{\left ( x+1 \right )\left ( x-2 \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{x^{3}-x^{3}+2x^{2}-x^{2}+2x}{\left ( x+1 \right )\left ( x-2 \right )}=\lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{x^{2}+2x}{\left ( x+1 \right )\left ( x-2 \right )}=1.$