Badanie przebiegu zmienności funkcji (wzory)

MONOTONICZNOŚĆ

Aby określić monotoniczność funkcji $\dpi{120} f\left ( x \right )$ badamy zachowanie jej pochodnej. Jeżeli:
a) $\dpi{120} f'\left ( x \right )>0,$ to funkcja $\dpi{120} f$ jest rosnąca,

b) $\dpi{120} f'\left ( x \right )<0,$ to funkcja $\dpi{120} f$ jest malejąca,

c) $\dpi{120} f'\left ( x \right )=0,$ to funkcja $\dpi{120} f$ jest stała.

WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ

Aby określić wklęsłość (wypukłość) funkcji $\dpi{120} f\left ( x \right )$ badamy zachowanie jej drugiej pochodnej. Jeżeli:

a) $\dpi{120} f''\left ( x \right )<0$ , to krzywa $\dpi{120} y=f\left ( x \right )$ jest wklęsła ” $\dpi{120} \large \cap$ ”,

b) $\dpi{120} f''\left ( x \right )>0$ , to krzywa $\dpi{120} y=f\left ( x \right )$ jest wypukła ” $\dpi{120} \large \cup$ ”.

PUNKTY PRZEGIĘCIA

Aby znaleźć tzw. punkty przegięcia:

a) rozwiązujemy równanie: $\dpi{120} f''\left ( x \right )=0$ ,

b) sprawdzamy, czy w punktach otrzymanych w podpunkcie a) następuje zmiana znaku drugiej pochodnej. Jeżeli tak, to dany punkt jest punktem przegięcia krzywej $\dpi{120} y=f\left ( x \right )$ .

ASYMPTOTY

1) pionowa $\dpi{120} x=c$ – liczba $\dpi{120} c$ jest jest najczęściej miejscem zerowym mianownika funkcji $\dpi{120} f\left ( x \right )$ .

2) pozioma $\dpi{120} y=b$ – liczbę $\dpi{120} b$ otrzymujemy jako wartości granic: $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow - \infty }f\left ( x \right )=b$ oraz $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left ( x \right )=b$ .

3) ukośna $\dpi{120} y=mx+n$ – liczymy, gdy w punkcie 2) $\dpi{120} b$ było równe $\dpi{120} \pm \infty$ (tzn. nie ma asymptot poziomych). Wówczas mamy, że:

$asymptota ukośna$ i $asymptota ukośna$

Zapraszamy do zadań! tutaj