Ekstrema lokalne funkcji (teoria)

Mówimy, że funkcja $\dpi{120} f:\left ( a;b \right )\rightarrow \mathbb{R}$ ma minimum (maksimum) lokalne w punkcie $\dpi{120} x_{0}\in \left ( a;b \right )$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba $\dpi{120} r>0$ taka, że dla każdego $\dpi{120} x\in \left ( x_{0}-r;x_{0} +r\right )$ zachodzi nierówność $\dpi{120} f\left ( x \right )\geqslant f\left ( x_{0} \right )$ (odpowiednio $\dpi{120} f\left ( x \right )\leqslant f\left ( x_{0} \right )$ ).

Minima i maksima lokalne funkcji nazywamy ekstremami lokalnymi funkcji.

Twierdzenie 1. (warunek konieczny ekstremum)

Jeśli funkcja $\dpi{120} f:\left ( a;b \right )\rightarrow \mathbb{R}$ jest różniczkowalna w punkcie $\dpi{120} x_{0}$ i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to

$warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji$

Punkt $\dpi{120} x_{0}$ , dla którego $\dpi{120} f'\left ( x_{0} \right )=0$ , nazywamy punktem stacjonarnym funkcji $\dpi{120} f$ . Jednak równość $\dpi{120} f'\left ( x_{0} \right )=0$ nie wystarcza na to, aby w punkcie $\dpi{120} x_{0}$ występowało ekstremum lokalne. Muszą jeszcze zachodzić warunki podane w kolejnym twierdzeniu.

Twierdzenie 2. (warunek wystarczający ekstremum)

Niech $\dpi{120} f:\left ( a;b \right )\rightarrow \mathbb{R}$ będzie funkcją różniczkowalną w $\dpi{120} \left (a;b \right )$ oraz $\dpi{120} x_{0}\in \left ( a;b \right )$ . Jeśli $\dpi{120} f'\left ( x_{0} \right )=0$ oraz istnieje $\dpi{120} r>0$ takie, że

$\dpi{120} f'\left ( x \right )<0$ dla $\dpi{120} x\in \left ( x_{0}-r;x_{0} \right )$ i $\dpi{120} f'\left ( x \right )>0$ dla $\dpi{120} x\in \left ( x_{0};x_{0}+r \right )$ , to funkcja $\dpi{120} f$ ma w punkcie $\dpi{120} x_{0}$ minimum lokalne,
$\dpi{120} f'\left ( x \right )>0$ dla $\dpi{120} x\in \left ( x_{0}-r;x_{0} \right )$ i $\dpi{120} f'\left ( x \right )<0$ dla $\dpi{120} x\in \left ( x_{0};x_{0}+r \right )$ , to funkcja $\dpi{120} f$ ma w punkcie $\dpi{120} x_{0}$ maksimum lokalne.

Z powyższych twierdzeń wynika, że funkcja różniczkowalna ma w punkcie $\dpi{120} x_{0}$ ekstremum lokalne wtedy, gdy $\dpi{120} x_{0}$ jest punktem stacjonarnym oraz, gdy funkcja jest w jednym z przedziałów $\dpi{120} \left ( x_{0};x_{0}+r \right )$ lub $\dpi{120} \left ( x_{0}-r;x_{0} \right )$ rosnąca, a w drugim malejąca.

Zapraszamy do zadań! tutaj