Mówimy, że funkcja ma minimum (maksimum) lokalne w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba taka, że dla każdego zachodzi nierówność (odpowiednio ).
Minima i maksima lokalne funkcji nazywamy ekstremami lokalnymi funkcji.
Twierdzenie 1. (warunek konieczny ekstremum)
Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to
|
Punkt , dla którego , nazywamy punktem stacjonarnym funkcji . Jednak równość nie wystarcza na to, aby w punkcie występowało ekstremum lokalne. Muszą jeszcze zachodzić warunki podane w kolejnym twierdzeniu.
Twierdzenie 2. (warunek wystarczający ekstremum)
Niech będzie funkcją różniczkowalną w oraz . Jeśli oraz istnieje takie, że
|
Z powyższych twierdzeń wynika, że funkcja różniczkowalna ma w punkcie ekstremum lokalne wtedy, gdy jest punktem stacjonarnym oraz, gdy funkcja jest w jednym z przedziałów lub rosnąca, a w drugim malejąca.
Zapraszamy do zadań! tutaj