Wyznacznik macierzy (teoria) - WYZNACZNIK

Oznaczamy przez $\dpi{120} M_{n}(\mathbb{R})$ zbiór macierzy kwadratowych stopnia $\dpi{120} n$ o wyrazach rzeczywistych. Macierz $\dpi{120} A=\left [ a_{ij} \right ]_{n\times n}$ zapiszmy w postaci ciągu jej kolumn:

$\dpi{120} A=(A_{1},A_{2},...,A_{n})$ , gdzie $\dpi{120} A_{j}=\begin{bmatrix} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots \\ a_{nj} \end{bmatrix},j=1,2,...,n.$

Wyznacznik macierzy $\dpi{120} A$ jest to funkcja przyporządkowująca tej macierzy pewną liczbę rzeczywistą. Będziemy go oznaczać $\dpi{120} \det A$ lub $\dpi{120} \left | A \right |.$

DEFINICJA

Wyznacznikiem stopnia $\dpi{120} n$ macierzy $\dpi{120} A$ nazywamy funkcję $\dpi{120} \det :M_{n}(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}$ spełniającą następujące warunki:

1. det $\dpi{120} (A_{1},A_{2},...,A_{n})=$ det $\dpi{120} (A_{1},...,A_{j},...,A_{n})+$ det $\dpi{120} (A_{1},...A'_{j},...,A_{n}),j=1,2,...,n,$

2. det $\dpi{120} (A_{1},A_{2},...,\alpha A_{j},...,A_{n})=\alpha$ det $\dpi{120} (A_{1},A_{2},...,A_{j},...,A_{n}),j=1,2,...,n,\alpha \in \mathbb{R},$

3. $\dpi{120} \left [ \exists 1\leq j\leq n-1;(A_{j}=A_{j+1}) \right ]\Rightarrow$ det $\dpi{120} (A_{1},...,A_{j},A_{j+1},...,A_{n})=0,$

4. det $\dpi{120} I=1.$

W definicji powyższej wyznacznik został określony w sposób aksjomatyczny, tzn. przez podanie własności jakie funkcja $\dpi{120} \det :M_{n}(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}$ musi spełniać. Nie wynika z niej bezpośrednio, że taka funkcja istnieje oraz, że jest wyznaczona jednoznacznie. Wykazuje się, że istnieje dokładnie jedna funkcja spełniająca takie własności oraz podaje się na nią wzór.

Własności wyznacznika:

1. Jeśli pewna kolumna macierzy $\dpi{120} A$ składa się z samych 0, to $\dpi{120} \det A=0$ .

2. Jeśli macierz $\dpi{120} B$ powstała z macierzy $\dpi{120} A$ przez przestawienie dwóch kolumn, to $\dpi{120} \det B=-\det A.$

3. Jeśli dwie kolumny macierzy są równe, to wyznacznik tej macierzy jest równy $\dpi{120} 0$ .

4. $\dpi{120} \det (A_{1},...,A_{i}+\alpha A_{j},...,A_{j},...,A_{n})=$ $\dpi{120} \det (A_{1},...,A_{i},...,A_{j},...,A_{n})$ dla $\dpi{120} i\neq j,\alpha \in \mathbb{R}.$

We wszystkich powyższych własnościach słowo ,,kolumna” może zostać zastąpione wyrazem ,,wiersz” i własności pozostaną prawdziwe.

5. Wyznacznik macierzy trójkątnej (dolnej bądź górnej) oraz macierzy diagonalnej równy jest iloczynowi elementów stojących na głównej przekątnej.

6. $\dpi{120} \det A=$ $\dpi{120} \det A^{T},$

7. $\dpi{120} \det (A\cdot B)=\det A\cdot \det B$ (tw. Cauchy’ego),

8. $\dpi{120} \det (\alpha \cdot A)=\alpha ^{n}\cdot\det A,\; \alpha \in \mathbb{R}, \; n-$ stopień macierzy $\dpi{120} A$ .

OBLICZANIE WYZNACZNIKÓW

Dla danej macierzy $\dpi{120} A\in M_{n}(\mathbb{R})$ wyznacznik $\dpi{120} \det A$ jest równy:

dla $\dpi{120} n=1$ mamy

$\dpi{120} \det A=\det \left [ a_{11} \right ]=a_{11},$

dla $\dpi{120} n\geq 2$

Wprowadźmy najpierw pojęcie dopełnienia algebraicznego elementu $\dpi{120} a_{ij}.$

Liczbę

$dopełnienie algebraiczne$

gdzie $\dpi{120} A_{ij}$ – oznacza macierz stopnia $\dpi{120} n-1$ , powstałą z macierzy $\dpi{120} A$ przez skreślenie $\dpi{120} i$ – tego wiersza oraz $\dpi{120} j$ – tej kolumny, nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu $\dpi{120} a_{ij}$ macierzy $\dpi{120} A$ .

Dla $\dpi{120} A\in M_{n}(\mathbb{R}),n\geq 2$ zachodzi wzór nazywany rozwinięciem Laplace’a:

– rozwinięcie względem dowolnego $\dpi{120} i$ – tego wiersza $\dpi{120} i=1,2,...,n:$

$rozwinięcie Laplace'a$

lub

– rozwinięcie względem dowolnej $\dpi{120} j$ – tej kolumny $\dpi{120} j=1,2,...,n:$

$\dpi{120} \det A=a_{1j}\cdot D_{1j}+a_{2j}\cdot D_{2j}+...+a_{nj}\cdot D_{nj}$

W szczególnym przypadku dla $\dpi{120} n=2$ rozwinięcie Laplace’a przyjmuje postać:

$\dpi{120} \det A=\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$

Dla $\dpi{120} n=3$ możemy również stosować rozwinięcie Laplace’a, ale częściej wyznacznik macierzy wymiaru 3 liczymy tzw. metodą Sarrusa

$\dpi{120} \det A=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13} \\ a_{21}&a_{22} &a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\begin{matrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}=$ (dopisujemy za macierzą dwie pierwsze kolumny)

$\dpi{120} =a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}$ .

Tworzymy przekątne: trzy w prawą stronę zaczynając od $\dpi{120} a_{11}$ , dalej od $\dpi{120} a_{12}$ $\dpi{120} i$ od $\dpi{120} a_{13}$ . Mnożymy elementy każdej przekątnej, a następnie sumujemy. Następnie trzy przekątne w lewą stronę poczynając od $\dpi{120} a_{12}$ , $\dpi{120} a_{11}$ $\dpi{120} i$ $\dpi{120} a_{13}$ . Mnożymy elementy na przekątnych. Zmieniamy znaki w trzech ostatnich iloczynach i je sumujemy.

Zapraszamy do zadań! tutaj