Działania na macierzach (zadania)

Przed przystąpieniem do zadań warto zapoznać się z zakładkami Teoria tutaj i Wzory tutaj.

Zadanie 1. Wykonać działania:

a) $\dpi{120} A-B,$ dla $\dpi{120} A=\begin{bmatrix} 2 & 5 &1 \\ -2& 3 & 0 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} -2 & 0 &3 \\ 4& -1 & 2 \end{bmatrix},$

Rozwiązanie

$\dpi{120} A-B=\begin{bmatrix} 2 & 5 &1 \\ -2&3 & 0\ \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -2 &0 & 3\\ 4&-1 & 2 \end{bmatrix}\overset{1.}{=}\begin{bmatrix} 2-(-2) & 5-0 &1-3 \\ -2-4 &3-(-1) & 0-2 \end{bmatrix}=$

$\dpi{120} =\begin{bmatrix} 4 & 5 & -2\\ -6 &4 & -2 \end{bmatrix}$

1. odejmujemy od siebie wyrazy stojące na tych samych miejscach w obydwu macierzach

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

b) $\dpi{120} 2A-3B,$ dla $\dpi{120} A=\begin{bmatrix} 1 &2 & 3\\ -2&1 &4 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} -1 & 2 &-3 \\ 4 & -1 & 4 \end{bmatrix},$

Rozwiązanie

$\dpi{120} 2A-3B=2\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 \\ -2 & 1 &4 \end{bmatrix}-3\begin{bmatrix} -1 &2 &-3 \\ 4& -1 & 4 \end{bmatrix}\overset{1.}{=}\begin{bmatrix} 2 & 4 &6 \\ -4& 2 &8 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -3 &6 &-9 \\ 12&-3 & 12 \end{bmatrix}=$

$\dpi{120} \overset{2.}{=}\begin{bmatrix} 2-(-3) & 4-6 & 6-(-9)\\ -4-12 & 2-(-3) & 8-12 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 & -2 &15 \\ -16& 5 &-4 \end{bmatrix}$

1.mnożymy każdy wyraz macierzy $\dpi{120} A$ przez 2, macierzy $\dpi{120} B$ przez 3 (można również pomnożyć drugą macierz przez -3, ale wówczas między macierzami postawimy znak +)

2. odejmujemy od siebie wyrazy stojące na tych samych miejscach w obydwu macierzach

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

c) $\dpi{120} 2A-B^{T},$ dla $\dpi{120} A=\begin{bmatrix} -1 &4 & 7\\ 4&-1 & -5 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 1 &2 \\ -1 &3 \\ 2& -1 \end{bmatrix}$ ,

Rozwiązanie

$\dpi{120} 2A-B^{T}=2\begin{bmatrix} -1 & 4 & 7\\ 4& -1 & -5 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 &3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}^{T}\overset{1.}{=}2\begin{bmatrix} -1 &4 &7 \\ 4 & -1 &-5 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 &-1 & 2\\ 2& 3 &-1 \end{bmatrix}=$

$\dpi{120} \overset{2.}{=}\begin{bmatrix} -2 & 8 &14 \\ 8&-2 & -10 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 & -1 &2 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}\overset{3.}{=}\begin{bmatrix} -2-1 &8-(-1) &14-2 \\ 8-2& -2-3 &-10-(-1) \end{bmatrix}=$

$\dpi{120} =\begin{bmatrix} -3 & 9 &12 \\ 6&-5 & -9 \end{bmatrix}$

1. transponujemy macierz $\dpi{120} \small B$ , czyli zamieniamy wiersze z kolumnami, tzn. pierwszą kolumnę wpisujemy jako pierwszy wiersz, drugą kolumnę jako drugi wiersz

2. mnożymy każdy wyraz macierzy $\dpi{120} \small A$ przez $\dpi{120} \small 2$

3. odejmujemy od siebie wyrazy stojące na tych samych miejscach w obydwu macierzach

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

d) $\dpi{120} A+2B^{T}-5B$ , dla $\dpi{120} A=\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 3& 1 \end{bmatrix}$ , $\dpi{120} B=\begin{bmatrix} -3 &1 \\ -7& 4 \end{bmatrix}$ ,

Rozwiązanie

$\dpi{120} A+2B^{T}-5B=\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 3& 1 \end{bmatrix}+2\begin{bmatrix} -3 & 1\\ -7 &4 \end{bmatrix}^{T}-5\begin{bmatrix} -3 & 1\\ -7 & 4 \end{bmatrix}\overset{1.}{=}$

$\dpi{120} \overset{1.}{=}\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 3& 1 \end{bmatrix}+2\begin{bmatrix} -3 &-7 \\ 1& 4 \end{bmatrix}-5\begin{bmatrix} -3 &1 \\ -7 & 4 \end{bmatrix}\overset{2.}{=}$

$\dpi{120} \overset{2.}{=}\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 3& 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -6 & -14\\ 2& 8 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -15 &5 \\ -35 & 20 \end{bmatrix}=$

$\dpi{120} \overset{3.}{=}\begin{bmatrix} 2+(-6)-(-15) & -1+(-14)-5\\ 3+2-(-35) & 1+8-20 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 11 &-20 \\ 40 & -11 \end{bmatrix}$

1. transponujemy macierz $\dpi{120} \small B$ , czyli zamieniamy wiersze z kolumnami, tzn. pierwszą kolumnę wpisujemy jako pierwszy wiersz, drugą kolumnę jako drugi wiersz

2. mnożymy każdy wyraz macierzy $\dpi{120} \small B^{T}$ przez $\dpi{120} \small 2$ oraz każdy wyraz macierzy $\dpi{120} \small B$ przez $\dpi{120} \small 5$

3. dodajemy i odejmujemy odpowiednie wyrazy we wszystkich trzech macierzach

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

e) $\dpi{120} A\cdot B$ oraz $\dpi{120} B\cdot A$ dla $\dpi{120} A=\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 0&3 \end{bmatrix}$ , $\dpi{120} B=\begin{bmatrix} -2 &1 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}$ ,

Rozwiązanie

$\dpi{120} A\cdot B=\begin{bmatrix} {\color{Red} 2} &{\color{Green} -1} \\ {\color{Blue} 0} & {\color{Yellow} 3} \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} {\color{Cyan} -2} &{\color{Magenta} 1} \\ {\color{Teal} 3} & {\color{Purple} 3} \end{bmatrix}\overset{1.}{=}$

$\dpi{120} \overset{1.}{=}\begin{bmatrix} {\color{Red} 2}\cdot ({\color{Cyan} -2})+({\color{Green} -1})\cdot {\color{Teal} 3} &{\color{Red} 2}\cdot {\color{Magenta} 1}+({\color{Green} -1})\cdot {\color{Purple} 3} \\ {\color{Blue} 0}\cdot ({\color{Cyan} -2})+{\color{Yellow} 3}\cdot {\color{Teal} 3} & {\color{Blue} 0}\cdot {\color{Magenta} 1}+{\color{Yellow} 3}\cdot{\color{Purple} 3} \end{bmatrix}=$

$\dpi{120} =\begin{bmatrix} -7 &-1 \\ 9 & 9 \end{bmatrix}$

Obliczamy kolejne wyrazy macierzy:

$\dpi{120} c_{11}$ – liczymy mnożąc 1 wiersz macierzy A przez 1 kolumnę macierzy B, tzn.

$\dpi{120} c_{11}={\color{Red} 2}\cdot ({\color{Cyan} -2})+({\color{Green} -1})\cdot {\color{DarkGreen} 3}=-7,$

$\dpi{120} c_{12}$ – liczymy mnożąc 1 wiersz macierzy A przez 2 kolumnę macierzy B, tzn.

$\dpi{120} c_{12}={\color{Red} 2}\cdot {\color{Magenta} 1}+({\color{Green} -1})\cdot {\color{Purple} 3}=-1,$

$\dpi{120} c_{21}$ – liczymy mnożąc 2 wiersz macierzy A przez 1 kolumnę macierzy B, tzn.

$\dpi{120} c_{21}={\color{Blue} 0}\cdot ({\color{Cyan} -2})+{\color{Yellow} 3}\cdot {\color{DarkGreen} 3}=9,$

$\dpi{120} c_{22}$ – liczymy mnożąc 2 wiersz macierzy A przez 2 kolumnę macierzy B, tzn.

$\dpi{120} c_{22}={\color{Blue} 0}\cdot{\color{Magenta} 1}+{\color{Yellow} 3}\cdot {\color{Purple} 3}=9.$

Wstawiamy w odpowiednie miejsca macierzy. Mówią nam o tym wskaźniki wyrazu $\dpi{120} c$ np. $\dpi{120} \small c_{21}$ wstawiamy na przecięciu 2 wiersza i 1 kolumny.

Teraz liczymy analogicznie:

$\dpi{120} B\cdot A=\begin{bmatrix} {\color{Red} -2} &{\color{Green} 1 }\\ {\color{Blue} 3 }& {\color{Yellow} 3} \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} {\color{Cyan} 2} &{\color{Magenta} -1} \\ {\color{Purple} 0}&{\color{Orange} 3 }\end{bmatrix}\overset{1.}{=}\begin{bmatrix} {\color{Red} -2}\cdot{\color{Cyan} 2}+{\color{Green} 1}\cdot {\color{Purple} 0} & {\color{Red} -2}\cdot \left ( {\color{Magenta} -1} \right )+{\color{Green} 1}\cdot {\color{Orange} 3}\\ {\color{Blue} 3 }\cdot {\color{Cyan} 2}+ {\color{Yellow} 3}\cdot{\color{Purple} 0}& {\color{Blue} 3}\cdot \left ( {\color{Magenta} -1} \right )+{\color{Yellow} 3}\cdot{\color{Orange} 3 }\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4 & 5\\ 6& 6 \end{bmatrix}$

Obliczamy kolejne wyrazy macierzy:

$\dpi{120} c_{11}$ – liczymy mnożąc 1 wiersz macierzy A przez 1 kolumnę macierzy B, tzn.

$\dpi{120} c_{11}=-2\cdot 2+1\cdot 0,$

$\dpi{120} c_{12}$ – liczymy mnożąc 2 wiersz macierzy A przez 2 kolumnę macierzy B, tzn.

$\dpi{120} c_{12}=-2\cdot (-1)+1\cdot 3,$

$\dpi{120} c_{21}$ – liczymy mnożąc 2 wiersz macierzy A przez 1 kolumnę macierzy B, tzn.

$\dpi{120} c_{21}=3\cdot 2+3\cdot 0,$

$\dpi{120} c_{22}$ – liczymy mnożąc 2 wiersz macierzy A przez 2 kolumnę macierzy B, tzn.

$\dpi{120} c_{22}=3\cdot (-1)+3\cdot 3.$

Wstawiamy w odpowiednie miejsca macierzy. Mówią nam o tym wskaźniki wyrazu $\dpi{120} c$ np. $\dpi{120} \small c_{21}$ wstawiamy na przecięciu 2 wiersza i 1 kolumny.

Przykład ten pokazuje, że mnożenie macierzy nie jest przemienne. Bardzo ważne!!!

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

f) $\dpi{120} A\cdot B,$ dla $\dpi{120} A=\begin{bmatrix} 1 &2 \\ -1 &3 \\ 2 &-1 \end{bmatrix}$ , $\dpi{120} B=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 &0 \\ 3 & -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ ,

Rozwiązanie

Mnożenie macierzy $\dpi{120} A\cdot B$ jest wykonalne, gdyż macierz A ma 3 wiersze i 2 kolumny, macierz B ma 2 wiersze i 4 kolumny. Liczba kolumn macierzy A zgadza się z liczbą wierszy macierzy B (dwa). W wyniku otrzymamy macierz o wymiarach: 3 wiersze (tyle samo co w A) i 4 kolumny (tyle samo co w B).

$\dpi{120} A\cdot B=\begin{bmatrix} 1 &2 \\ -1&3 \\ 2 &-1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 &0 \\ 3 & -2 &1 & 1 \end{bmatrix}=$

$\dpi{120} =\begin{bmatrix} 1\cdot 1+2\cdot 3 & 1\cdot (-1)+2\cdot (-2) & 1\cdot 2+2\cdot 1 & 1\cdot 0+2\cdot 1\\-1\cdot 1+3\cdot 3 & -1\cdot (-1)+3\cdot (-2)&-1\cdot 2+3\cdot 1 & -1\cdot 0+3\cdot 1\\ 2\cdot 1+(-1)\cdot 3&2\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2) &2\cdot 2+(-1)\cdot 1 &2\cdot 0+(-1)\cdot 1 \end{bmatrix}=$

$\dpi{120} =\begin{bmatrix} 1+6 & -1-4 &2+2 &0+2 \\ -1+9 & 1-6 & -2+3 &0+3 \\ 2-3 &-2+2 & 4-1 & 0-1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 &-5 & 4 & 2\\ 8 &-5 &1 &3 \\ -1 &0 & 3 & -1 \end{bmatrix}$

Zauważmy, że iloczyn $\dpi{120} B\cdot A$ jest niewykonalny, gdyż w macierzy B mamy 4 kolumny, zaś w macierzy A wierszy jest 3. Na tym przykładzie widzimy również brak przemienności mnożenia macierzy.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

g) $\dpi{120} 2A+3A^{2}-A^{3},$ dla $\dpi{120} A=\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ ,

Rozwiązanie

$\dpi{120} 2A+3A^{2}-A^{3}=2\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0& 3 \end{bmatrix}+3\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 0 &3 \end{bmatrix}^{2}-\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 0&3 \end{bmatrix}^{3}$

Policzmy najpierw:

$\dpi{120} A^{2}=\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 0& 3 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 &2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\cdot 1+2\cdot 0 &1\cdot 2+2\cdot 3 \\ 0\cdot 1+3\cdot 0& 0\cdot 2+3\cdot 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &8 \\ 0 & 9 \end{bmatrix}$ ,

$\dpi{120} A^{3}=\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 0& 3 \end{bmatrix}^{2}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0& 3 \end{bmatrix}\overset{1.}{=}\begin{bmatrix} 1 &8 \\ 0&9 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0& 3 \end{bmatrix}=$

$\dpi{120} =\begin{bmatrix} 1\cdot 1+8\cdot 0 &1\cdot 2+8\cdot 3 \\ 0\cdot 1+9\cdot 0 & 0\cdot 2+9\cdot 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 26\\ 0 &27 \end{bmatrix}$

Wykorzystujemy, że $\dpi{120} \begin{bmatrix} 1 &2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 1 &8 \\ 0& 9 \end{bmatrix}$ .

Wracamy do wyrażenia $\dpi{120} 2A+3A^{2}-A^{3}$ :

$\dpi{120} 2A+3A^{2}-A^{3}=2\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 & 3 \end{bmatrix}+3\begin{bmatrix} 1 &8 \\ 0& 9 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 & 26\\ 0 &27 \end{bmatrix}\overset{1.}{=}$

$\dpi{120} \overset{1.}{=}\begin{bmatrix} 2\cdot 1 & 2\cdot 2\\ 2\cdot 0& 2\cdot 3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3\cdot 1 & 3\cdot 8\\ 3\cdot 0&3\cdot 9 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 &26 \\ 0 & 27 \end{bmatrix}=$

$\dpi{120} =\begin{bmatrix} 2 &4 \\ 0& 6 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3 &24 \\ 0& 27 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 & 26\\ 0& 27 \end{bmatrix}=$

$\dpi{120} =\begin{bmatrix} 2+3-1 & 4+24-26\\ 0+0-0 & 6+27-27 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 2\\ 0 & 6 \end{bmatrix}$

mnożymy macierze przez liczbę rzeczywistą, czyli mnożymy każdy wyraz macierzy przez daną liczbę

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

h) $\dpi{120} A\cdot C^{T}-2B,$ dla $\dpi{120} A=\begin{bmatrix} 1 & 0 &2 \\ 3 & 5 &1 \end{bmatrix}$ , $\dpi{120} B=\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ , $\dpi{120} C=\begin{bmatrix} -1 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 5 \end{bmatrix}$ ,

Rozwiązanie

$\dpi{120} A\cdot C^{T}-2B=\begin{bmatrix} 1 &0 & 2\\ 3 & 5 &1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} -1 &2 &0 \\ 2 & 0 &5 \end{bmatrix}^{T}-2\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 3&1 \end{bmatrix}\overset{1.}{=}$

$\dpi{120} \overset{1.}{=}\begin{bmatrix} 1 &0 & 2\\ 3 & 5 &1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} -1 &2 \\ 2& 0\\ 0& 5 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2\cdot 2 & 2\cdot (-1)\\ 2\cdot 3 & 2\cdot 1 \end{bmatrix}=$

$\dpi{120} =\begin{bmatrix} 1\cdot (-1)+0\cdot 2+2\cdot 0 & 1\cdot 2+0\cdot 0+2\cdot 5\\ 3\cdot (-1)+5\cdot 2+1\cdot 0& 3\cdot 2+5\cdot 0+1\cdot 5 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 4 & -2\\ 6& 2 \end{bmatrix}=$

$\dpi{120} =\begin{bmatrix} -1 & 12\\ 7& 11 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 4 & -2\\ 6 &2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1-4 &12-(-2) \\ 7-6 & 11-2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -5 & 14\\ 1 &9 \end{bmatrix}$

Wykonujemy transponowanie macierzy, czyli 1 wiersz zapisujemy jako 1 kolumnę, 2 wiersz jako 2 kolumnę. Mnożymy również macierz przez liczbę 2, a więc mnożymy każdy wyraz macierzy przez 2.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

i) $\dpi{120} 2A\cdot B-C^{T}+5I,$ dla $\dpi{120} A=\begin{bmatrix} 2 & -3 &1 \\ 0 &1 & 0 \end{bmatrix}$ , $\dpi{120} B=\begin{bmatrix} 1 &-3 \\ 0& 1\\ -2& 1 \end{bmatrix}$ , $\dpi{120} C=\begin{bmatrix} 2 &0 \\ -1& 1 \end{bmatrix}$ .

Rozwiązanie

$\dpi{120} 2A\cdot B-C^{T}+5I\overset{1}{=}2\begin{bmatrix} 2 & -3&1 \\0 &1 &0 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 &-3 \\ 0&1 \\ -2 &1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2 &0 \\ -1& 1 \end{bmatrix}^{T}+5\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 &1 \end{bmatrix}\overset{2.}{=}$

$\dpi{120} \overset{2.}{=}2\begin{bmatrix} 2\cdot 1+(-3)\cdot 0+1\cdot(-2) & 2\cdot (-3)+(-3)\cdot 1+1\cdot 1\\ 0\cdot 1+1\cdot 0+0\cdot (-2) & 0\cdot (-3)+1\cdot 1+0\cdot 1 \end{bmatrix}-$

$\dpi{120} -\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}+5\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0&1 \end{bmatrix}=$

$\dpi{120} =2\begin{bmatrix} 0 &-8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 0& 1 \end{bmatrix}+5\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &1 \end{bmatrix}=$

$\dpi{120} =\begin{bmatrix} 0 & -16\\ 0 & 2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 0 &1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 5 &0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}=$

$\dpi{120} =\begin{bmatrix} 0-2+5 & -16-(-1)+0\\ 0-0+0 & 2-1+5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 &-15 \\ 0 & 6 \end{bmatrix}$

Za macierz $\dpi{120} \small I$ wstawiamy macierz jednostkową, w tym przypadku będzie ona wymiaru: 2 wiersze i 2 kolumny, gdyż widać, że pozostałe macierze będą właśnie takich wymiarów.
Mnożymy macierze A·B, a dopiero później mnożymy je przez 2. Tak jest wygodniej, niż najpierw pomnożyć macierz A przez 2, a później mnożyć macierze. Są mniejsze liczby. Ponadto transponujemy macierz C, czyli zamieniamy wiersze z kolumnami.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadania 2. Znaleźć macierz $\dpi{120} \large X$ spełniającą równanie:

a) $\dpi{120} 3X^{T}-2X=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ,

Rozwiązanie

Przewidujemy, że macierz $\dpi{120} X$ będzie miała postać $\dpi{120} X=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$ , gdyż macierz po prawej stronie równania jest wymiaru $\dpi{120} 2\times 2$ . Jednym z warunków równości macierzy jest zgodność ich wymiarów. Następnie mamy, że $\dpi{120} X^{T}=\begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}$ . Wstawiając do równania otrzymujemy:

$\dpi{120} 3X^{T}-2X=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\dpi{120} 3\cdot \begin{bmatrix} a &c \\ b & d \end{bmatrix}-2\cdot \begin{bmatrix} a & b\\ c&d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\dpi{120} \begin{bmatrix} 3a & 3c\\ 3b&3d \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2a &2b \\ 2c& 2d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\dpi{120} \begin{bmatrix} 3a-2a & 3c-2b\\ 3b-2c & 3d-2d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\dpi{120} \begin{bmatrix} a &3c-2b \\ 3b-2c &d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Aby macierze były równe, odpowiadające sobie elementy muszą być równe. Powstaje więc układ równań:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} a=1\; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ 3c-2b=1\\ 3b-2c=0\\ d=1\; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

Rozwiązując powyższy układ otrzymujemy $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} a=1\; \; \; \\ b=0,4\\ c=0,6\\ d=1\; \; \; \end{matrix}\right.$

Szukana macierz ma postać $\dpi{120} X=\begin{bmatrix} 1 &0,4 \\ 0,6&1 \end{bmatrix}$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

b) $\dpi{120} 2X-3X^{T}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 5& 4 \end{bmatrix}$ ,

Rozwiązanie

1. Przewidujemy, że macierz $\dpi{120} X$ będzie miała postać $\dpi{120} X=\begin{bmatrix} a &b \\ c & d \end{bmatrix}$ , gdyż macierz po prawej stronie równania jest wymiary $\dpi{120} 2\times 2$ . Jednym z warunków równości macierzy jest zgodność ich wymiarów. Następnie mamy, że $\dpi{120} X^{T}=\begin{bmatrix} a &c \\ b &d \end{bmatrix}$ . Wstawiając do równania otrzymujemy:

$\dpi{120} 2\cdot \begin{bmatrix} a &b \\ c&d \end{bmatrix}-3\cdot \begin{bmatrix} a &c \\ b&d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 5& 4 \end{bmatrix}$

$\dpi{120} \begin{bmatrix} 2a &2b \\ 2c & 2d \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3a &3c \\ 3b&3d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}$

$\dpi{120} \begin{bmatrix} 2a-3a &2b-3c \\ 2c-3b&2d-3d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 5& 4 \end{bmatrix}$

$\dpi{120} \begin{bmatrix} -a &2b-3c \\ 2c-3b& -d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 5& 4 \end{bmatrix}$

2. Aby macierze były równe, odpowiadające sobie elementy muszą być równe. Powstaje więc układ równań:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} -a=1\; \; \; \; \; \; \\ 2b-3c=0\\ 2c-3b=5\\ -d=4 \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

Rozwiązując powyższy układ otrzymujemy $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} a=-1 \\ b=-3\\ c=-2\\ d=-4 \end{matrix}\right.$

3. Szukana macierz ma postać $\dpi{120} X=\begin{bmatrix} -1 & -3\\ -2&-4 \end{bmatrix}$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

c) $\dpi{120} X\cdot X^{T}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 &1 \end{bmatrix}$ ,

Rozwiązanie

1. Przewidujemy, że macierz $X$ będzie miała postać $\dpi{120} X=\begin{bmatrix} a & b\\ c &d \end{bmatrix}$ , gdyż macierz po prawej stronie równania jest wymiaru $\dpi{120} 2\times 2$ . Jednym z warunków równości macierzy jest zgodność ich wymiarów. Następnie mamy, że $\dpi{120} X^{T}=\begin{bmatrix} a &c \\ b & d \end{bmatrix}$ . Wstawiając do równania otrzymujemy:

$\dpi{120} \begin{bmatrix} a &b \\ c &d \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} a & c\\ b &d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1&1 \end{bmatrix}$

$\dpi{120} \begin{bmatrix} a\cdot a+b\cdot b &a\cdot c+b\cdot d \\ c\cdot a+d\cdot b & c\cdot c+d\cdot d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

$\dpi{120} \begin{bmatrix} a^{2}+b^{2} &a\cdot c+b\cdot d \\ c\cdot a+d\cdot b& c^{2}+d^{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 &1 \\ 1& 1 \end{bmatrix}$

2. Aby macierze były równe, odpowiadające sobie elementy muszą być równe. Powstaje więc układ równań:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=0\; \; \; \; \; \; \; \\ a\cdot c+b\cdot d=1\\ c\cdot a+d\cdot b=1\\ c^{2}+d^{2}=1\; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

Zauważmy, że jedynymi rozwiązaniami pierwszego równania są $\dpi{120} a=0$ oraz $\dpi{120} b=0$ . Równania drugie i trzecie są takie same. Wstawiając do nich $\dpi{120} a=0$ i $\dpi{120} b=0$ otrzymujemy :

$\dpi{120} (a\cdot c+b\cdot d=1)\Leftrightarrow (0\cdot c+0\cdot d=1)\Leftrightarrow (0=1)$ – sprzeczność

Zatem nie istnieje macierz $X$ spełniająca równanie $\dpi{120} X\cdot X^{T}=\begin{bmatrix} 0 &1 \\ 1 &1 \end{bmatrix}$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

d) $\dpi{120} X^{2}=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ,

Rozwiązanie

1. Przewidujemy, że macierz $X$ będzie miała postać $\dpi{120} X=\begin{bmatrix} a & b\\ c& d \end{bmatrix}$ , gdyż macierz po prawej stronie równania jest wymiaru $\dpi{120} 2\times 2$ . Jednym z warunków równości macierzy jest zgodność ich wymiarów. Wstawiając do równania otrzymujemy:

$\dpi{120} \begin{bmatrix} a &b \\ c & d \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} a &b \\ c &d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0& 1 \end{bmatrix}$

$\dpi{120} \begin{bmatrix} a\cdot a+b\cdot c &a\cdot b+b\cdot d \\ c\cdot a+d\cdot c& c\cdot b+d\cdot d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 0 &1 \end{bmatrix}$

$\dpi{120} \begin{bmatrix} a^{2} +bc& ab+bd\\ ca+dc& cb+d^{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0&1 \end{bmatrix}$

2. Aby macierze były równe, odpowiadające sobie elementy muszą być równe. Powstaje więc układ równań:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} a^{2}+bc=1\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ ab+bd=1\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ ca+dc=0\Rightarrow c(a+d)=0\Rightarrow c=0\vee a+d=0\\ cb+d^{2}=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

3. Rozpatrzmy pierwszy przypadek dla $\dpi{120} {\color{Red} c=0}$ . Wstawiając do pozostałych równań otrzymujemy:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} a^{2}=1\Rightarrow a=-1\vee a=1\\ b(a+d)=1\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ d^{2}=1\Rightarrow d=-1\vee d=1 \end{matrix}\right.$

Należy teraz rozpatrzyć kolejne podprzypadki (wszystkie kombinacje $\dpi{120} a$ i $\dpi{120} d$ ). Jest 4 możliwości:

1. $\dpi{120} a=-1,d=-1$ . Wstawiamy do drugiego równania:

$\dpi{120} b\cdot (-1-1)=1\Rightarrow -2b=1\Rightarrow b=-\frac{1}{2}$

2. $\dpi{120} a=-1,d=1$ . Wstawiamy do drugiego równania:

$\dpi{120} b\cdot (-1+1)=1\Rightarrow 0=1$ – sprzeczność

3. $\dpi{120} a=1,d=-1$

$\dpi{120} b\cdot (1-1)=1\Rightarrow 0=1$ – sprzeczność

4. $\dpi{120} a=1,d=1$

$\dpi{120} b\cdot (1+1)=1\Rightarrow 2b=1\Rightarrow b=\frac{1}{2}$ .

Ostatecznie dla $\dpi{120} c=0$ otrzymaliśmy dwie macierze: $\dpi{120} X=\begin{bmatrix} -1 &-\frac{1}{2} \\ 0& -1 \end{bmatrix}$ oraz $\dpi{120} X=\begin{bmatrix} 1 &\frac{1}{2} \\ 0& 1 \end{bmatrix}$ .

4. Rozpatrzmy drugi przypadek $\dpi{120} {\color{Blue} a+d=0\Rightarrow a=-d}$ . Wstawiając do pozostałych równań otrzymujemy:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} \left (-d \right )^{2}+bc=1\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ -db+bd=1\Rightarrow 0=1\\ cb+d^{2}=1\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$ – sprzeczność

Zatem w tym przypadku nie ma rozwiązań.

Podsumowując, rozwiązaniami tego równania są: $\dpi{120} X=\begin{bmatrix} -1 &-\frac{1}{2} \\ 0& -1 \end{bmatrix}$ oraz $\dpi{120} X=\begin{bmatrix} 1 &\frac{1}{2} \\ 0& 1 \end{bmatrix}$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

e) $\dpi{120} 2A^{T}+3X=B$ dla $\dpi{120} A=\begin{bmatrix} 1 &3 & 2\\ -2& 0 & 1 \end{bmatrix}$ , $\dpi{120} B=\begin{bmatrix} 3 &1 \\ 0 &2 \\ -1 &3 \end{bmatrix}$ ,

Rozwiązanie

Przykład ten można rozwiązywać sposobem z poprzednich zadań, ale w tym wypadku raczej się to nie opłaca. Przekształćmy zatem równanie i wyliczmy z niego macierz niewiadomą $\dpi{120} X$ .

$\dpi{120} 2A^{T}+3X=B$

$\dpi{120} 3X=B-2A^{T}$

$\dpi{120} X=\frac{1}{3}(B-2A^{T})$

Wstawiamy za A i B odpowiednie macierze:

$\dpi{120} X=\frac{1}{3}\left ( \begin{bmatrix} 3 &1 \\ 0 & 2\\ -1&3 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2\\ -2& 0 &1 \end{bmatrix}^{T} \right )$ (transponowanie – zamiana wierszy z kolumnami)

$\dpi{120} X=\frac{1}{3}\left ( \begin{bmatrix} 3 &1 \\ 0&2 \\ -1& 3 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 1 & -2\\ 3 &0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \right )$ (mnożymy każdy wyraz macierzy przez 2)

$\dpi{120} X=\frac{1}{3}\left ( \begin{bmatrix} 3 &1 \\ 0 &2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2 &-4 \\ 6 &0 \\ 4& 2 \end{bmatrix} \right )$ (odejmujemy odpowiadające sobie wyrazy macierzy)

$\dpi{120} X=\frac{1}{3}\left ( \begin{bmatrix} 3-2 & 1-(-4)\\ 0-6 &2-0 \\ -1-4&3-2 \end{bmatrix} \right )$

$\dpi{120} X=\frac{1}{3} \cdot \begin{bmatrix} 1 &5 \\ -6& 2\\ -5&1 \end{bmatrix}$ (każdy wyraz macierzy mnożymy przez $\dpi{120} \frac{1}{3}$ )

$\dpi{120} X=\begin{bmatrix} \frac{1}{3} &\frac{5}{3} \\ -2& \frac{2}{3}\\ -\frac{5}{3}&\frac{1}{3} \end{bmatrix}$

Szukaną macierzą jest $\dpi{120} X=\begin{bmatrix} \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\\ -2 & \frac{2}{3}\\ -\frac{5}{3}& \frac{1}{3} \end{bmatrix}$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

f) $\dpi{120} 3X+A^{T}=2B,$ dla $\dpi{120} A=\begin{bmatrix} 1 & 3 &0 \\ 4 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ , $\dpi{120} B=\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 &0 \\ -1 &1 \end{bmatrix}$ .

Rozwiązanie

Przekształcamy równanie i wyliczamy macierz niewiadomą $\dpi{120} X$

$\dpi{120} 3X+A^{T}=2B$

$\dpi{120} 3X=2B-A^{T}/:3$

$\dpi{120} X=\frac{1}{3}(2B-A^{T})$

Wstawiamy za A i B odpowiednie macierze:

$\dpi{120} X=\frac{1}{3}\cdot \left ( 2\begin{bmatrix} 1 &4 \\ 2 &0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0\\ 4 & 1 & -1 \end{bmatrix}^{T}\right )$ (transponowanie – zamiana wierszy z kolumnami)

$\dpi{120} X=\frac{1}{3}\left ( 2\begin{bmatrix} 1 &4 \\ 2&0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 &4 \\ 3 &1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \right )$ (mnożymy każdy wyraz macierzy przez 2)

$\dpi{120} X=\frac{1}{3}\left ( \begin{bmatrix} 2&8 \\ 4 &0 \\ -2&2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 &4 \\ 3 &1 \\ 0&-1 \end{bmatrix} \right )$ (odejmujemy odpowiadające sobie wyrazy macierzy)

$\dpi{120} X=\frac{1}{3}\cdot \begin{bmatrix} 2-1 & 8-4\\ 4-3&0-1 \\ -2-0 & 2-(-1) \end{bmatrix}$

$\dpi{120} X=\frac{1}{3} \cdot \begin{bmatrix} 1 &4 \\ 1 &-1 \\ -2 &3 \end{bmatrix}$ (każdy wyraz macierzy mnożymy przez $\dpi{120} \frac{1}{3}$ )

$\dpi{120} X=\begin{bmatrix} \frac{1}{3} &\frac{4}{3} \\ \frac{1}{3} &-\frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} & 1 \end{bmatrix}$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 3. Rozwiązać układ równań:

a) $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} X+Y=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 0 &1 \end{bmatrix}\\ 2X+3Y=I\; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$ ,

Rozwiązanie

Zauważmy z pierwszego równania, że szukane macierze muszą być wymiaru 2 wiersze i 2 kolumny. Wobec tego macierz jednostkowa $\dpi{120} I=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ . Otrzymujemy:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} X+Y=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 &1 \end{bmatrix}\\ 2X+3Y=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 &1 \end{bmatrix} \end{matrix}\right.$

Układ ten można rozwiązywać różnymi metodami. My zastosujemy metodę przeciwnych współczynników. Pomnóżmy zatem pierwsze równanie przez -2. Mamy:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} -2X-2Y=\begin{bmatrix} -2 &-2 \\ 0& -2 \end{bmatrix}\\ 2X+3Y=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \; \; \; \end{matrix}\right.$

Dodajmy równania stronami:

$\dpi{120} Y=\begin{bmatrix} -2+1 & -2+0\\ 0+0 & -2+1 \end{bmatrix}$

$\dpi{120} Y=\begin{bmatrix} -1 & -2\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

Macierz $\dpi{120} Y$ wstawiamy np. do równania $\dpi{120} X+Y=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 0&1 \end{bmatrix}$ . Otrzymujemy:

$\dpi{120} X+\begin{bmatrix} -1 & -2\\ 0& -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 0 &1 \end{bmatrix}$

$\dpi{120} X=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -1 &-2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

$\dpi{120} X=\begin{bmatrix} 1-(-1) & 1-(-2)\\ 0-0 &1-(-1) \end{bmatrix}$

$\dpi{120} X=\begin{bmatrix} 2 &3 \\ 0& 2 \end{bmatrix}$

Rozwiązaniami układu równań są macierze $\dpi{120} X=\begin{bmatrix} 2 &3 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ oraz $\dpi{120} Y=\begin{bmatrix} -1 &-2 \\ 0& -1 \end{bmatrix}$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

b) $\dpi{120} \left\{\begin{matrix} X-Y=\begin{bmatrix} -1 &0 \\ 2& 1 \end{bmatrix}\\ X+2Y=I \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$ .

Rozwiązanie

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} X-Y=\begin{bmatrix} -1 &0 \\ 2& 1 \end{bmatrix}\\ X+2Y=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}\end{matrix}\right.$

Zastosujemy metodę przeciwnych współczynników i pomnóżmy pierwsze równanie przez 2. Mamy:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 2X-2Y=\begin{bmatrix} -2 & 0\\ 4 &2 \end{bmatrix}\\ X+2Y=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &1 \end{bmatrix} \end{matrix}\right.$

Dodajmy równania stronami:

$\dpi{120} 3X=\begin{bmatrix} -2+1 &0+0 \\ 4+0& 2+1 \end{bmatrix}$

$\dpi{120} 3X=\begin{bmatrix} -1 &0 \\ 4 &3 \end{bmatrix}/:3$

$\dpi{120} X=\begin{bmatrix} -\frac{1}{3} &0 \\ \frac{4}{3} &1 \end{bmatrix}$

Macierz $\dpi{120} X$ wstawiamy np. do równania $\dpi{120} X-Y=\begin{bmatrix} -1 &0 \\ 2&1 \end{bmatrix}$ . Otrzymujemy:

$\dpi{120} \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} &0 \\ \frac{4}{3}&1 \end{bmatrix}-Y=\begin{bmatrix} -1 &0 \\ 2 &1 \end{bmatrix}$

$\dpi{120} -Y=\begin{bmatrix} -1 &0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & 0\\ \frac{4}{3}&1 \end{bmatrix}$

$\dpi{120} -Y=\begin{bmatrix} -1-\left ( -\frac{1}{3} \right ) & 0-0\\ 2-\frac{4}{3}& 1-1 \end{bmatrix}$

$\dpi{120} -Y=\begin{bmatrix} -\frac{2}{3} &0 \\ \frac{2}{3}& 0 \end{bmatrix}/\cdot (-1)$

$\dpi{120} Y=\begin{bmatrix} \frac{2}{3} & 0\\ -\frac{2}{3}&0 \end{bmatrix}$

Rozwiązaniami układu równań są macierze $\dpi{120} X=\begin{bmatrix} -\frac{1}{3} &0 \\ \frac{4}{3}&1 \end{bmatrix}$ oraz $\dpi{120} Y=\begin{bmatrix} \frac{2}{3} &0 \\ -\frac{2}{3}&0 \end{bmatrix}$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 4. Korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania macierzy obliczyć:

$\dpi{120} \begin{bmatrix} 1 & 1 &1 \\ 1 & 3 &4 \\ 2 &1 &4 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 95 & 99 & 98\\ 97 & 96 & 99\\ 96& 99 & 97 \end{bmatrix}$

Rozwiązanie

Oczywiście w zadaniu tym możemy po prostu wymnożyć te macierz, dostaniemy duże liczby, ale to nie o to chodzi. Należy skorzystać z prawa rozdzielności, a więc tak rozpisać drugą macierz, aby mnożenie okazało się łatwiejsze (teoretycznie bez kalkulatora). My rozpiszemy ją jako różnicę dwóch macierzy:

$\dpi{120} \begin{bmatrix} 95 &99 &98 \\ 97&96 &99 \\ 96& 99 & 97 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 100 & 100 &100 \\ 100 &100 & 100\\ 100&100 & 100 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 5 & 1 & 2\\ 3 &4 & 1\\ 4& 1 &3 \end{bmatrix}$

Otrzymujemy:

$\dpi{120} \begin{bmatrix} 1 & 1 &1 \\ 1 & 3 &4 \\ 2 & 1& 4 \end{bmatrix}\cdot$ $\dpi{120} \begin{bmatrix} 95 & 99&98 \\ 97 &96 &99 \\ 96 & 99 & 97 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &1 & 1\\ 1 & 3 &4 \\ 2 &1 & 4 \end{bmatrix}\cdot \left ( \begin{bmatrix} 100 & 100 &100 \\ 100 &100 & 100\\ 100& 100 & 100 \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 5 & 1 &2 \\ 3 & 4 &1 \\ 4&1 & 3 \end{bmatrix}\right)=$

Tutaj korzystamy z prawa rozdzielności $\dpi{120} x(y+z)=xy+xz.$ Ponadto wyłączamy przed iloczyn liczbę 100.

$\dpi{120} =100\cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 &1 \\ 1 &3 &4 \\ 2 & 1 &4 \end{bmatrix}. \begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ 1& 1 & 1\\ 1 &1 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 & 1 &1 \\ 1 &3 & 4\\ 2 & 1 & 4 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 5 & 1 & 2\\ 3& 4 & 1\\ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix}=$

$\dpi{120} =100\cdot \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3\\ 8 & 8&8 \\ 7 & 7& 7 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 12 & 6 & 6\\ 30& 17 & 17\\ 29 & 10 & 17 \end{bmatrix}=$

$\dpi{120} =\begin{bmatrix} 300 & 300 & 300\\ 800& 800 &800 \\ 700& 700 &700 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 12 &6 & 6\\ 30& 17 &17 \\ 29& 10 & 17 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 288 & 294 & 294\\ 770& 783 &783 \\ 671 &690 & 683 \end{bmatrix}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń