Działania na macierzach (teoria)

Niech $\dpi{120} m,n\in \mathbb{N}$ . Prostokątną tablicę

$macierz prostokątna$

utworzoną z liczb rzeczywistych (zespolonych) $\dpi{120} a_{ij}$ dla $\dpi{120} i=1,...,m ,\; j=1,...,n$ nazywamy rzeczywistą (zespoloną) macierzą prostokątną o wymiarze $\dpi{120} m\times n$ Elementy $\dpi{120} a_{ij}$ nazywamy wyrazami macierzy. Rzędy pionowe nazywamy kolumnami, zaś poziomie – wierszami tej macierzy. Symbol $\dpi{120} a_{ij}$ jest to element stojący na przecięciu $\dpi{120} i$ -tego wiersza oraz $\dpi{120} j$ -tej kolumny. Macierze oznaczamy wielkimi literami alfabetu: $\dpi{120} A,B,C...$ . Zbiór wszystkich macierzy rzeczywistych (zespolonych) $\dpi{120} m\times n$ ( $\dpi{120} m$ -wierszy, $\dpi{120} n$ -kolumn) będziemy oznaczali $\dpi{120} M_{m\times n}(R)$ ( $\dpi{120} M_{m\times n}(C)$ ).

Rodzaje macierzy:

1. macierz kwadratowa stopnia $\dpi{120} n$ – macierz, w której ilość wierszy równa jest ilości kolumn, czyli $\dpi{120} m=n$ .

$macierz kwadratowa$

Elementy $\dpi{120} a_{ii}$ , $\dpi{120} i=1,2,...,n,$ tzn. $\dpi{120} \left (a_{11},a_{22},...,a_{nn} \right )$ tworzą główną przekątną macierzy. Sumę tych wyrazów czyli $\dpi{120} a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}$ nazywamy śladem macierzy i oznaczamy $\dpi{120} tr(A)$ .

2. macierz trójkątna dolna (górna) – macierz kwadratowa stopnia $\dpi{120} n\geqslant 2$ , w której wszystkie elementy leżące nad (pod) główną przekątną są równe 0.

$macierz trójkątna$

3. macierz diagonalna – macierz kwadratowa stopnia $\dpi{120} n$ , w której wszystkie wyrazy znajdujące się poza główną przekątną są równe 0.

$macierz diagonalna$ O macierzy diagonalnej można również mówić dla macierzy prostokątnych.

4. macierz jednostkowa – macierz diagonalna stopnia $\dpi{120} n$ , w której wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe 1. Oznaczamy ją $\dpi{120} I$ .

$macierz jednostkowa$

5. macierz zerowa – macierz wymiaru $\dpi{120} m\times n$ , w której elementy równe są 0. Oznaczamy ją $\dpi{120} O$ .

$macierz zerowa$

Dwie macierze $\dpi{120} A=\left [ a_{ij} \right ]_{m\times n}$ i $\dpi{120} B=\left [ b_{ij} \right ]_{m'\times n'}$ są równe, gdy mają ten sam wymiar, tzn. $\dpi{120} m=m'$ i $\dpi{120} n=n'$ oraz elementy obu macierzy znajdujące się na tych samych miejscach są sobie równe, czyli $\dpi{120} a_{ij}=b_{ij}$ dla dowolnych $\dpi{120} i=1,2,...,m,\; j=1,2,...,n$ .

W zbiorze macierzy określamy podstawowe działania: transponowanie, dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy przez liczbę rzeczywistą $\dpi{120} \alpha$ , mnożenie macierzy. Zapamiętajmy, nie istnieje dzielenie macierzy.

Transponowanie macierzy

Macierzą transponowaną do macierzy $\dpi{120} A=\left [ a_{ij} \right ]_{m\times n}$ nazywamy macierz $\dpi{120} B=\left [ b_{ij} \right ]_{n\times m}$ określoną wzorem $\dpi{120} b_{ij}=a_{ij}$ dla $\dpi{120} i=1,2,...,m,j=1,2,...,n$ . Piszemy wówczas

$\dpi{120} B=A^{T}$

Transponowanie macierzy polega zatem na zamianie wierszy z kolumnami w danej macierzy.

Dodawanie i odejmowanie macierzy

Sumą (różnicą) macierzy $\dpi{120} A=\left [ a_{ij} \right ]_{m\times n}$ i $\dpi{120} B=\left [ b_{ij} \right ]_{m\times n}$ nazywamy macierz $\dpi{120} C=\left [ c_{ij} \right ]_{m\times n}$ , której elementy określone są jako $\dpi{120} c_{ij}=a_{ij}\pm b_{ij}$ dla $\dpi{120} i=1,2,...,m,\; j=1,2,...,n$ . A więc

$\dpi{120} C=\begin{bmatrix} c_{11} &c_{12} & ... &c_{1n} \\ c_{21} &c_{22} & ... &c_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \\ c_{m1}& c_{m2} & ... & c_{mn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}\pm b_{11} & a_{12}\pm b_{12} & ... &a_{1n}\pm b_{1n} \\ a_{21 }\pm b_{21} &a_{22} \pm b_{22} &... &a_{2n}\pm b_{2n} \\ \vdots & &\ddots \ & \\ a_{m1}\pm b_{m1}&a_{m2 }\pm b_{m2} &... & a_{mn}\pm b_{mn} \end{bmatrix}$ $\dpi{120} =A\pm B$

Dodawać i odejmować możemy jedynie macierze tych samych wymiarów.

Mnożenie macierzy przez liczbę rzeczywistą $\dpi{120} \alpha$

Iloczynem macierzy $\dpi{120} A=\left \left [ a_{ij} \right ]_{m\times n}$ przez liczbę $\dpi{120} \alpha \, \in \, R$ nazywamy macierz $\dpi{120} B=\left [ b_{ij} \right ]_{m\times n}$ , której elementy określamy jako $\dpi{120} b_{ij}=\alpha \cdot a_{ij}$ dla $\dpi{120} i=1,2,...,m,\; j=1,2,...,n$ . Mamy zatem

$\dpi{120} B=\begin{bmatrix} b_{11} &b_{12} & ... &b_{1n} \\ b_{21}&b_{22} &... & b_{2n}\\ \vdots & & \ddots & \\ b_{m1} &b_{m2} &... & b_{mn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \alpha \cdot a_{11} & \alpha \cdot a_{12} & ... &\alpha \cdot a_{1n} \\ \alpha \cdot a_{21}& \alpha \cdot a_{22} &... & \alpha \cdot a_{2n}\\ \vdots & & \ddots & \\ \alpha \cdot a_{m1}&\alpha \cdot a_{m2} & ... & \alpha \cdot a_{mn} \end{bmatrix}=\alpha \cdot A$

Mnożenie macierzy

Iloczynem macierzy $\dpi{120} A=\left [ a_{ij} \right ]_{m\times n}$ i $\dpi{120} B=\left [ b_{ij} \right ]_{n\times k}$ nazywamy macierz $\dpi{120} C=\left [ c_{ij} \right ]_{m\times k}$ , której elementy określa wzór

$mnożenie macierzy$ dla $\dpi{120} i=1,2,...,k.$

Iloczyn macierzy $\dpi{120} A\cdot B$ jest wykonalny, gdy ilość kolumn macierzy $\dpi{120} A$ jest taka sama jak ilość wierszy macierzy $\dpi{120} B$ .

Podstawowe własności działań na macierzach:

Załóżmy, że macierze $\dpi{120} A,B,C$ są takie, aby działania na nich przeprowadzane były wykonalne.

Wówczas zachodzi:

1. Przemienność dodawania:

$\dpi{120} A+B=B+A.$

Mnożenie macierzy nie jest przemienne. Nie wyklucza to istnienia macierzy $\dpi{120} A,B$ takich, że $\dpi{120} A\cdot B= B\cdot A$

2. Łączność dodawania i mnożenia:

$\dpi{120} \left (A+B \right )+C=A+\left ( B+C \right )$

$\dpi{120} \left (A\cdot B \right )\cdot C=A\cdot \left ( B\cdot C \right )$

3. Rozdzielność mnożenia względem dodawania:

$\dpi{120} \left ( B+C \right )\cdot A=B\cdot A+C\cdot A,$

$\dpi{120} A\cdot \left ( B+C \right )=A\cdot B+A\cdot C.$

4. $\dpi{120} \alpha \cdot \left (A\cdot B \right )=\left ( \alpha \cdot A \right )\cdot B=A\cdot \left ( \alpha \cdot B \right )$ dla $\dpi{120} \alpha \in R.$