Działania na macierzach (wzory)

transponowanie macierzy $\dpi{120} A^{T}$

Transponowanie macierzy polega na zamianie wierszy z kolumnami w danej macierzy, np.

$\dpi{120} \begin{bmatrix} 3 & 2 & -9\\ 4& 1 &0 \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} 3 &4 \\ 2 &1 \\ -9&0 \end{bmatrix}$

Dodawanie i odejmowanie macierzy

$\dpi{120} A\pm B=C$

$\dpi{120} \begin{bmatrix} a_{11}\pm b_{11} & a_{12}\pm b_{12} & ... &a_{1n}\pm b_{1n} \\ a_{21}\pm b_{21}&a_{22} \pm b_{22} &... &a_{2n}\pm b_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \\ a_{m1}\pm b_{m1}& a_{m2}\pm b_{m2} & ... & a_{mn}\pm b_{mn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} c_{11} &c_{12} & ... &c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & ... &c_{2n} \\ \vdots & &\ddots & \\ c_{m1} & c_{m2} & ... & c_{mn} \end{bmatrix}$

Dodawać i odejmować możemy macierze tych samych wymiarów. Dodajemy (odejmujemy) wyrazy stojące na tych samych pozycjach, np.

$\dpi{120} \begin{bmatrix} 3 & 4\\ -5& 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 9 & -3\\ 6 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3+9 &4+(-3) \\ -5+6& 1+0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 12 &1 \\ 1 &1 \end{bmatrix}.$

Mnożenie macierzy przez liczbę rzeczywistą $\dpi{120} \alpha$

$\dpi{120} B=\begin{bmatrix} b_{11} &b_{12} &... &b_{1n} \\ b_{21}&b_{22} & ...&b_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \\ b_{m1}&b_{m2} &... & b_{mn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \alpha \cdot a_{11} &\alpha \cdot a_{12} & ...& \alpha \cdot a_{1n}\\ \alpha \cdot a_{21}&\alpha \cdot a_{22} &... &\alpha \cdot a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \\ \alpha \cdot a_{m1}& \alpha \cdot a_{m2} & ... &\alpha \cdot a_{mn} \end{bmatrix}=\alpha \cdot A.$

Przez liczbę $\dpi{120} \alpha$ mnożymy każdy wyraz w macierzy np.

$\dpi{120} 3\cdot \begin{bmatrix} -2 &1 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\cdot (-2) & 3\cdot 1\\ 3\cdot 5&3\cdot 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -6 &3 \\ 15 & 12 \end{bmatrix}.$

Mnożenie macierzy

Iloczynem macierzy $\dpi{120} A=\left [ a_{ij} \right ]_{m\times n}$ i $\dpi{120} B=\left [ b_{ij} \right ]_{n\times k}$ nazywamy macierz $\dpi{120} C=\left [ c_{ij} \right ]_{m\times k}$ , której elementy określa wzór

$\dpi{120} c_{ij}=\sum_{s=l}^{n}a_{is}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+...+a_{in}\cdot b_{nj}$ dla $\dpi{120} i=1,2,...,m,j=1,2,...,k.$

Iloczyn macierzy $\dpi{120} A\cdot B$ jest wykonalny, gdy ilość kolumn macierzy $\dpi{120} A$ jest taka sama jak ilość wierszy macierzy $\dpi{120} B$ . Mnożenie macierzy dokładnej wytłumaczymy na przykładach w zakładce zadania.

Zapraszamy do zadań! tutaj