Mamy 5 zadań. Zadanie 1 jest typowym liczeniem macierzy odwrotnej według schematu. W zadaniu 2 rozwiązujemy równania macierzowe, a więc stosujemy macierz odwrotną w praktyce. Jest to częste zadanie na kolokwiach czy egzaminach. Zadanie 4 i 5 są mniej standardowe. Wykorzystujemy w nich pewne własności wyznacznika i macierzy odwrotnych, bez wykorzystania rachunków jak we wcześniejszych zadaniach. Są bardzo krótkie. Warto zapoznać się z zakładkami Teoria tutaj i Wzory tutaj.
Zadanie 1. Wyznaczyć macierze odwrotne do macierzy :
a)
Rozwiązanie 1. Obliczamy wyznacznik macierzy . Gdyby okazało się, że , wówczas macierz odwrotna nie istnieje.
A więc macierz odwrotna istnieje. 2. Liczymy dopełnienia algebraiczne (patrz zakładka wzory): skreśliliśmy 1 wiersz i 1 kolumnę z macierzy , został element skreśliliśmy 1 wiersz i 2 kolumnę z macierzy , został jedynie element skreśliliśmy 2 wiersz i 1 kolumnę z macierzy , został element 3 skreśliliśmy 2 wiersz i 2 kolumnę z macierzy , został element 3. Wstawiamy do wzoru na macierz odwrotną. wstawiamy zgodnie ze wskaźnikami dopełnienia transponowanie – zamiana wierszy z kolumnami pomnożyliśmy każdy element macierzy przez
b)
Rozwiązanie 1. Obliczamy wyznacznik macierzy . Gdyby okazało się, że , wówczas macierz odwrotna nie istnieje.
A więc macierz odwrotna istnieje. 2. Liczymy dopełnienia algebraiczne (patrz zakładka wzory): skreśliliśmy 1 wiersz i 1 kolumnę z macierzy , został element skreśliliśmy 1 wiersz i 2 kolumnę z macierzy , został jedynie element skreśliliśmy 2 wiersz i 1 kolumnę z macierzy , został element skreśliliśmy 2 wiersz i 2 kolumnę z macierzy , został element 3. Wstawiamy do wzoru na macierz odwrotną. wstawiamy zgodnie ze wskaźnikami dopełnienia transponowanie – zamiana wierszy z kolumnami pomnożyliśmy każdy element macierzy przez .
c)
Rozwiązanie 1. Liczymy wyznacznik.
2. Liczymy dopełnienia algebraiczne: Skreślamy 1 wiersz i 1 kolumnę:
Skreślamy 1 wiersz i 2 kolumnę:
Skreślamy 1 wiersz i 3 kolumnę:
Skreślamy 2 wiersz i 1 kolumnę:
Skreślamy 2 wiersz i 2 kolumnę:
Skreślamy 2 wiersz i 3 kolumnę:
Skreślamy 3 wiersz i 1 kolumnę:
Skreślamy 3 wiersz i 2 kolumnę:
Skreślamy 3 wiersz i 3 kolumnę:
3. Wstawiamy do wzoru: wstawiamy zgodnie ze wskaźnikami dopełnienia transponowanie – zamiana wierszy z kolumnami pomnożyliśmy każdy element macierzy przez
d)
Rozwiązanie 1. Liczymy wyznacznik.
2. Liczymy dopełnienia algebraiczne: Skreślamy 1 wiersz i 1 kolumnę: Skreślamy 1 wiersz i 2 kolumnę.
Skreślamy 1 wiersz i 3 kolumnę:
Skreślamy 2 wiersz i 1 kolumnę:
Skreślamy 2 wiersz i 2 kolumnę:
Skreślamy 2 wiersz i 3 kolumnę:
Skreślamy 3 wiersz i 1 kolumnę:
Skreślamy 3 wiersz i 2 kolumnę:
Skreślamy 3 wiersz i 3 kolumnę:
3. Wstawiamy do wzoru: wstawiamy zgodnie ze wskaźnikami dopełnienia transponowanie – zamiana wierszy z kolumnami
e)
Rozwiązanie 1. Liczymy wyznacznik.
2. Liczymy dopełnienia algebraiczne: Skreślamy 1 wiersz i 1 kolumnę:
Skreślamy 1 wiersz i 2 kolumnę:
Skreślamy 1 wiersz i 3 kolumnę:
Skreślamy 2 wiersz i 1 kolumnę:
Skreślamy 2 wiersz i 2 kolumnę:
Skreślamy 2 wiersz i 3 kolumnę:
Skreślamy 3 wiersz i 1 kolumnę:
Skreślamy 3 wiersz i 2 kolumnę:
Skreślamy 3 wiersz i 3 kolumnę:
3. Wstawiamy do wzoru: wstawiamy zgodnie ze wskaźnikami dopełnienia transponowanie – zamiana wierszy z kolumnami
f)
Rozwiązanie 1. Liczymy wyznacznik.
2. Liczymy dopełnienia algebraiczne: Skreślamy 1 wiersz i 1 kolumnę:
Skreślamy 1 wiersz i 2 kolumnę:
Skreślamy 1 wiersz i 3 kolumnę:
Skreślamy 2 wiersz i 1 kolumnę:
Skreślamy 2 wiersz i 2 kolumnę:
Skreślamy 2 wiersz i 3 kolumnę:
Skreślamy 3 wiersz i 1 kolumnę:
Skreślamy 3 wiersz i 2 kolumnę:
Skreślamy 3 wiersz i 3 kolumnę:
3. Wstawiamy do wzoru: wstawiamy zgodnie ze wskaźnikami dopełnienia transponowanie – zamiana wierszy z kolumnami
Zadanie 2. Rozwiązać równania macierzowe:
a) dla
Rozwiązanie 1. Najpierw rozwiążmy równanie na symbolach: (mnożymy obie strony równania lewostronnie przez ) (pamiętamy, że )
2. Znajdujemy macierz odwrotną jak w zadaniu 1:
3. Wstawiamy do odpowiednie macierze:
Mnożenie macierzy dokładnie wytłumaczone w temacie Podstawowe działania na macierzach.
b) dla
Rozwiązanie 1. Najpierw rozwiążemy równanie na symbolach: (mnożymy obie strony równania lewostronnie przez ) ()
(mnożymy obie strony równania prawostronnie przez ) ()
2. Znajdujemy macierz odwrotną jak w zadaniu 1:
3. Znajdujemy macierz odwrotną :
Nie musimy mnożyć macierzy przez , gdyż pojawiają się wówczas ułamki, a będziemy jeszcze wykonywać mnożenie macierzy. 4. Wstawiamy do odpowiednie macierze: mnożenie macierzy przez liczbę jest przemienne
Mnożenie macierzy dokładnie wytłumaczone w temacie Podstawowe działania na macierzach.
c) dla
Rozwiązanie 1. Najpierw rozwiążmy równanie na symbolach: (mnożymy obie strony równania prawostronnie przez )
2. Znajdujemy macierz odwrotną .
Liczymy dopełnienia algebraiczne:
Wstawiamy do wzoru:
Nie musimy mnożyć macierzy przez , gdyż pojawią się ułamki, a będziemy jeszcze wykonywać mnożenie macierzy. 3. Wstawiamy macierze do zależności
Otrzymaliśmy, że
d) dla
Rozwiązanie 1. Najpierw rozwiążmy równanie na symbolach: (mnożymy obie strony równania lewostronnie przez )
(mnożymy obie strony równania prawostronnie przez )
2. Znajdujemy macierz odwrotną :
Liczymy dopełnienia algebraiczne:
Wstawiamy do wzoru:
3. Znajdujemy macierz odwrotną :
4. Wstawiamy macierze do zależności
(warto pomnożyć pierwszą macierz przez )
e) dla
Rozwiązanie 1. Najpierw rozwiążmy równanie na symbolach: (mnożymy obie strony równania lewostronnie przez )
2. Znajdujemy macierz odwrotną :
Liczymy dopełnienia algebraiczne:
Wstawiamy do wzoru:
3. Wstawiamy macierze do zależności
f) dla
Rozwiązanie 1. Najpierw rozwiążmy równanie na symbolach: (mnożymy obie strony równania lewostronnie przez )
2. Znajdujemy macierz odwrotną :
3. Wstawiamy macierze do zależności
g) dla
Rozwiązanie 1. Najpierw rozwiążmy równanie na symbolach: (mnożymy obie strony równania lewostronnie przez )
2. Znajdujemy macierz odwrotną :
Liczymy dopełnienia algebraiczne:
Wstawiamy do wzoru:
3. Wstawiamy macierze do zależności (transponujemy macierz)
Zadanie 3. Obliczyć dla
1. Najpierw liczymy kolejne potęgi macierzy
2. Znajdujemy macierz odwrotną
3. Wstawiamy macierze do zależności
Zadanie 4. Niech macierze będą macierzami kwadratowymi trzeciego stopnia takimi, że Obliczyć
Zadanie 5. Niech macierze będą macierzami kwadratowymi trzeciego stopnia takimi, że Obliczyć