Układy równań liniowych (teoria)

Układ równań postaci

$układ równań liniowych$

gdzie $\dpi{120} a_{ij},b_{i}\in R$ dla $\dpi{120} i=1,2,...,n$ nazywamy układem równań liniowych. Liczby $\dpi{120} a_{ij}$ nazywamy współczynnikami układu równań, zaś $\dpi{120} b_{i}$ wyrazami wolnymi. Macierz

$\dpi{120} A=\left [ a_{ij} \right ]_{m\times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \\ a_{mn}& a_{m2} &\cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$

utworzona ze współczynników przy niewiadomych nazywamy macierzą współczynników (macierzą układu).

Układ równań, w którym $\dpi{120} b_{1}=b_{2}=...=b_{m}=0,$ nazywamy układem jednorodnym.

Rozwiązaniem układu równań nazywamy ciąg $\dpi{120} \left ( x_{1},x_{2},...,x_{n} \right )$ liczb rzeczywistych spełniających ten układ. Układ równań liniowych może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań bądź nie mieć ich wcale.

Układ równań liniowych nazywamy:

– układem oznaczonym, gdy ma dokładnie jedno rozwiązanie,

– układem nieoznaczonym, gdy ma nieskończenie wiele rozwiązań,

– układem sprzecznym, gdy nie ma rozwiązań.