Macierz odwrotna (wzory) - WYZNACZNIK - Matematyka na studiach

Dla danej macierzy kwadratowej $\dpi{120} A$ macierz $\dpi{120} A^{-1}$ jest macierzą odwrotną do $\dpi{120} A$ , jeśli

$\dpi{120} A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=I$

Wyraża się ona wzorem:

$macierz odwrotna$

gdzie $\dpi{120} D_{ij}$ oznacza dopełnienie algebraiczne elementu $\dpi{120} a_{ij}$ macierzy $\dpi{120} A.$

Macierz odwrotna istnieje tylko do macierzy o wyznaczniku różnym od zera.

Dopełnienie algebraiczne (występowało już w rozwinięciu Laplace’a):

Dopełnienie algebraiczne $\dpi{120} D_{ij}$ elementu $\dpi{120} a_{ij}$ macierzy $\dpi{120} A$ jest iloczynem dwóch czynników:

1. $\dpi{120} \left ( -1 \right )^{i+j}\; \; -\; i,j$ wskaźniki mówiące na przecięciu którego wiersza i kolumny leży element $\dpi{120} a_{ij}$ ,

2. wyznacznika macierzy powstałej przez skreślenie z macierzy wyjściowej $\dpi{120} A$ $\dpi{120} i$ -tego wiersza oraz $\dpi{120} j$ -tej kolumny.

np. dla $\dpi{120} A=\begin{bmatrix} 2 & 3 &-1 \\ 0& 4 & 2\\ -3& 1 &0 \end{bmatrix}$ dopełnieniem algebraicznym $\dpi{120} D_{32}$ jest:

$\dpi{120} D_{32}=\left ( -1 \right )^{3+2}\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 0 &2 \end{vmatrix}=-1\left ( 2\cdot 2-\left ( -1 \right )\cdot 0 \right )=-4,$

z macierzy $\dpi{120} A$ skreśliliśmy 3 wiersz i 2 kolumnę.

Przykład

Dla macierzy $\dpi{120} A=\begin{bmatrix} 2 &4 \\ -3&5 \end{bmatrix}$ wyznaczamy macierz odwrotną:

1. Obliczamy wyznacznik macierzy $\dpi{120} A$ . Gdyby okazało się, że $\dpi{120} \det A=0,$ wówczas macierz odwrotna nie istnieje.

$\dpi{120} \det A=\begin{vmatrix} 2 & 4\\ -3 & 5 \end{vmatrix}=2\cdot 5-4\cdot \left ( -3 \right )=10+12=22\neq 0.$

A więc macierz odwrotna istnieje.

2. Liczymy dopełnienia algebraiczne:

$\dpi{120} D_{11}=\left ( -1 \right )^{1+1}\cdot 5=5,\; \; \; D_{12}=\left ( -1 \right )^{1+2}\cdot \left ( -3 \right )=3,$

$\dpi{120} D_{21}=\left ( -1 \right )^{2+1}\cdot 4=-4,\; \; \; D_{22}=\left ( -1 \right )^{2+2}\cdot 2=2.$

3. Wstawiamy do wzoru macierz odwrotną.

$\dpi{120} A^{-1}=\frac{1}{22}\cdot \begin{bmatrix} 5 & 3\\ -4& 2 \end{bmatrix}^{T}=\frac{1}{22}\cdot \begin{bmatrix} 5 & -4\\ 3& 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{5}{22} & -\frac{4}{22}\\ \frac{3}{22}&\frac{2}{22} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{5}{22} &-\frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} &\frac{1}{11} \end{bmatrix}.$

Dokładniejsze tłumaczenia w rozwiązaniach do zadań tutaj.