Macierz odwrotna – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

We wcześniejszych tematach pojawiły się już równania macierzowe, ale macierze w nich występujące były najczęściej wymiaru \dpi{120} 2\times 2. Zwiększenie wymiaru macierzy oraz zastosowanie poprzedniej metody rozwiązywania równań byłoby bardzo nieefektywne. Wprowadzenie macierzy odwrotnej znacznie uprości rachunki.

Niech \dpi{120} A\in M_{n}\left ( \mathbb{R} \right ). Jeśli istnieje macierz \dpi{120} A^{-1}\in M_{n}\left ( \mathbb{R} \right ) taka, że:

\dpi{120} A^{-1}\cdot A= A\cdot A^{-1}=I,

gdzie \dpi{120} I – macierz jednostkowa stopnia \dpi{120} n, to macierz \dpi{120} A^{-1} jest elementem odwrotnym do macierzy \dpi{120} A względem mnożenia macierzy. Macierz \dpi{120} A^{-1} nazywamy macierzą odwrotną do macierzy \dpi{120} A. Jeśli macierz \dpi{120} A ma macierz odwrotną, to \dpi{120} A nazywamy macierzą odwracalną. Jeśli \dpi{120} A jest macierzą odwracalną, to

macierz odwrotna

gdzie \dpi{120} D_{ij} oznacza dopełnienie algebraiczne elementu \dpi{120} a_{ij} macierzy \dpi{120} A.

Ze wzoru powyższego wynika, że aby istniała macierz odwrotna, wyznacznik macierzy \dpi{120} A musi być różny od zera. Macierz \dpi{120} A, której wyznacznik jest różny od zera, \dpi{120} \det A\neq 0, nazywamy macierzą nieosobliwą, zaś gdy \dpi{120} \det A=0  macierzą osobliwą.

Zapamiętajmy, macierz odwrotna istnieje wyłącznie do macierzy nieosobliwych.

Własności macierz odwrotnej:

1. \dpi{120} \det A^{-1}=\frac{1}{ \det A},

2. \dpi{120} \left ( A^{-1} \right )^{-1}=A,

3. \dpi{120} \left (A^{T} \right )^{-1}=\left ( A^{-1} \right )^{T},

4. \dpi{120} \left ( \alpha A \right )^{-1}=\frac{1}{\alpha }A^{-1},

5. \dpi{120} \left ( A\cdot B \right )^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}.

Zapraszamy do zadań! tutaj