Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany – wzory

ILOCZYN SKALARNY

Dla dwóch wektorów \dpi{120} x=\left [ x_{1},x_{2},...,x_{n} \right ] i \dpi{120} y=\left [ y_{1},y_{2},...,y_{n} \right ] z przestrzeni \dpi{120} \mathbb{R}^{n} iloczyn skalarny określamy jako

\dpi{120} \left ( x,y \right )=x\circ y=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{n}y_{n}.

np. \dpi{120} \left [ 2,5 \right ]\circ \left [ -2,3 \right ]=2\cdot \left ( -2 \right )+5\cdot 3=-4+15=11.

Kąt między wektorami \dpi{120} x i \dpi{120} y :                          \dpi{120} \cos \varphi =\frac{\left ( x,y \right )}{\left \| x \right \|\cdot \left \| y \right \|}.

Wektory \dpi{120} x,yprostopadłe             \dpi{120} \Leftrightarrow           \dpi{120} \left ( x,y \right )=0.

Długość wektora  \dpi{120} \left | x \right |:                                        \dpi{120} \left | x \right |=\sqrt{\left ( x,x \right )}=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}.

ILOCZYN WEKTOROWY

Dla \dpi{120} x=\left [ x_{1} , x_{2}, x_{3}\right ] i \dpi{120} y=\left [ y_{1} , y_{2}, y_{3}\right ] mamy:

\dpi{120} x\times y=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ x_{1}& x_{2} & x_{3}\\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{vmatrix},

gdzie \dpi{120} e_{1}=\left [ 1,0,0 \right ],e_{2}=\left [ 0,1,0 \right ],e_{3}=\left [ 0,0,1 \right ].

Iloczyn wektorowy jest wektorem zerowym \dpi{120} x\times y=0, gdy jeden z jego wektorów jest zerowy lub wektory \dpi{120} x i \dpi{120} y są równoległe.

ILOCZYN MIESZANY

Dla \dpi{120} x=\left [ x_{1} , x_{2}, x_{3}\right ] , \dpi{120} y=\left [ y_{1} , y_{2}, y_{3}\right ] i \dpi{120} z=\left [ z_{1} , z_{2}, z_{3}\right ]

\dpi{120} \left ( x,y,z \right )=\begin{vmatrix} x_{1} & x_{2} &x_{3} \\ y_{1} & y_{2} &y_{3} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \end{vmatrix}.

Jeżeli iloczyn mieszany \dpi{120} \left ( x,y,z \right )=0, to wektory \dpi{120} x,y,z są liniowo zależne, a to oznacza, że leżą one w jednej płaszczyźnie w \dpi{120} \mathbb{R}^{3}. Jeżeli \dpi{120} \left ( x,y,z \right )\neq 0, to wektory \dpi{120} x,y,z nie są współpłaszczyznowe.

Objętość równoległościanu:

\dpi{120} V_{r}=\left | \left ( x,y,z \right ) \right |.

Objętość czworościanu:

\dpi{120} V_{cz}=\frac{1}{6}V_{r}=\frac{1}{6}\left | \left ( x,y,z \right ) \right |.

Zapraszamy do zadań! tutaj