Liniowa niezależność wektorów (teoria)

Układ $\dpi{120} \left ( X,K,+,\ast \right )$ złożony z niepustego zbioru $\dpi{120} X$ , ciała $\dpi{120} K$ oraz dwu działań:

$\dpi{120} +:\: X\times X\ni \left ( x,y \right )\rightarrow x+y\in X$ – dodawanie wektorów

$\dpi{120} \ast :\: K\times X\ni \left ( \alpha ,x \right )\rightarrow \alpha x\in X$ – mnożenie wektora przez skalar

spełniający następujące warunki:

1) struktura $\dpi{120} \left ( X,+ \right )$ jest grupą abelową,

2) $\dpi{120} \forall x\in X,\; \forall \alpha ,\beta \in K,\; \; \; \alpha \left ( \beta x \right )=\left ( \alpha \beta \right )x$ – łączność

3) $\dpi{120} \forall x,y\in X,\; \forall \alpha ,\beta \in K,\; \; \; \alpha \left ( x+y \right )=\alpha x+\alpha y$

$\dpi{120} \left ( \alpha +\beta \right )x=\alpha x+\beta x$ – rozdzielność

4) $\dpi{120} \forall x\in X,\; \; \; 1x=x$

nazywamy przestrzenią wektorową $\dpi{120} X$ nad ciałem $\dpi{120} K$ .

Elementy grupy $\dpi{120} X$ nazywamy wektorami, elementy ciała $\dpi{120} K$ nazywamy skalarami. Działanie $\dpi{120} +$ w grupie abelowej $\dpi{120} X$ nazywamy dodawaniem, zaś element neutralny tej grupy zerem przestrzeni wektorowej lub wektorem zerowym i oznaczamy symbolem $\dpi{120} \theta$ . Natomiast zero ciała $\dpi{120} K$ oznaczamy $\dpi{120} 0$ , jedność zaś przez $\dpi{120} 1$ . Działanie $\dpi{120} \ast$ nazywamy mnożeniem wektora przez skalar. Jeżeli $\dpi{120} K=\mathbb{R}$ , to przestrzeń wektorową nazywamy rzeczywistą przestrzenią wektorową, zaś jeżeli $\dpi{120} K=\mathbb{C}$ , to mówimy o zespolonej przestrzeni wektorowej.

Podstawowym przykładem przestrzeni wektorowej jest rzeczywista przestrzeń $\dpi{120} n$ -wymiarowa $\dpi{120} \left ( \mathbb{R}^{n},\mathbb{R},+,\ast \right ),$ którą w skrócie będziemy oznaczać $\dpi{120} \mathbb{R}^{n}$

$\dpi{120} \mathbb{R}^{n}= \left \{ \vec{x}:\vec{x} =\left ( x_{1},...,x_{n} \right );\; x_{k}\in \mathbb{R},k=1,2,...,n\right \}$

Działania w $\dpi{120} \mathbb{R}^{n}$ określamy następująco:

$\dpi{120} \vec{x}+\vec{y}=\left ( x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},...,x_{n}+y_{n} \right ),$

$\dpi{120} \alpha \ast \vec{x}=\left ( \alpha x_{1},\alpha x_{2},...,\alpha x_{n} \right ),$

gdzie $\dpi{120} \vec{x}=\left ( x_{1},x_{2},...,x_{n} \right ),\; \vec{y}=\left ( y_{1},y_{2},...,y_{n} \right ),\; \alpha \in \mathbb{R}$ .

Kombinacją liniową wektorów $\dpi{120} \overrightarrow{x_{i}},i=1,2,...,n$ nazywamy wektor $\dpi{120} \vec{y}$ postaci:

$\dpi{120} \vec{y}=\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}\overrightarrow{x_{i}}=\alpha _{1}\overrightarrow{x_{1}}+\alpha _{2}\overrightarrow{x_{2}}+...+\alpha _{n}\overrightarrow{x_{n}},$

gdzie $\dpi{120} \alpha _{i},i=1,2,...,n$ są liczbami rzeczywistymi.

DEFINICJA 1.

Wektory $\dpi{120} \overrightarrow{x_{i}},i=1,2,...,n$ są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego układu liczb rzeczywistych $\dpi{120} \overrightarrow{\alpha _{i}},i=1,2,...,n$ mamy:

$\dpi{120} \left ( \alpha _{1}\overrightarrow{x_{1}}+\alpha _{2}\overrightarrow{x_{2}}+...+\alpha _{n}\overrightarrow{x_{n}}=0 \right )\Rightarrow \left ( \alpha _{1}=\alpha _{2}=...=\alpha _{n}=0 \right ).$

Jeżeli wektory $\dpi{120} \overrightarrow{x_{i}},i=1,2,...,n$ nie są liniowo niezależne, to mówimy, że są one liniowo zależne, czyli:

$\dpi{120} \exists \alpha _{i}\in \mathbb{R},\; \left ( \sum_{i=1}^{n} \alpha _{i}\overrightarrow{x_{i}}=0\: \wedge \: \sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}>0\right ).$

TWIERDZENIE 1.

Wektory $\dpi{120} \overrightarrow{x_{i}},i=1,2,...,n$ są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy wśród wektorów $\dpi{120} \overrightarrow{x_{i}},i=1,2,...,n$ istnieje taki, który jest kombinacją liniową pozostałych.

TWIERDZENIE 2.

Wektory $\dpi{120} \overrightarrow{x_{i}},i=1,2,...,n$ z $\dpi{120} \mathbb{R}^{n}$ są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy $\dpi{120} \det A\left ( \overrightarrow{x_{1}},\overrightarrow{x_{2}},...,\overrightarrow{x_{n}} \right )\neq 0$ , gdzie $\dpi{120} A\left ( \overrightarrow{x_{1}},\overrightarrow{x_{2}},...,\overrightarrow{x_{n}} \right )$ jest macierzą, której wierszami są wektory $\dpi{120} \overrightarrow{x_{i}},i=1,2,...,n$ .

Zapraszamy do zadań! tutaj