Objętość figur obrotowych (zadania)

Mamy tu tylko 5 przykładów, ale są to przykłady dosyć długie. Właściwie nie ma w tym temacie zadań krótkich. Wykorzystuje się tutaj całą dotychczasową wiedzę na temat całek. Używamy w rozwiązaniach gotowych wzorów, aby rozwiązania nie były tak długie. Raczej nie na kolokwia i egzaminy. Ewentualnie może się trafić liczenie objętości brył, jako najkrótsze z zadań. Prosimy o zapoznanie się z zakładką Teoria tutaj.

Zadanie 1. Obliczyć długość łuku:

1) paraboli $\dpi{120} y=x^{2}$ w przedziale $\dpi{120} 0\leqslant x\leqslant 2$ ,

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór:

$\dpi{120} L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left ( y' \right )^{2}}dx$

Potrzebna jest pochodna:

$\dpi{120} y=x^{2}\Rightarrow y'=2x$

Wstawiamy do wzoru:

$\dpi{120} L=\int_{0}^{2}\sqrt{1+\left ( 2x \right )^{2}}dx=\int_{0}^{2}\sqrt{1+4x ^{2}}dx$

Wyłączamy współczynnik $\dpi{120} a=4$ przed całkę:

$\dpi{120} L=\int_{0}^{2}\sqrt{1+4x ^{2}}dx=2\int_{0}^{2}\sqrt{\frac{1}{4}+x ^{2}}dx$

Wykorzystujemy wzór (tej całki nie liczymy bez wzoru, dosyć trudne):

$\dpi{120} \int \sqrt{x^{2}+k}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+k}+\frac{k}{2}\ln \left | x+\sqrt{x^{2}+k} \right |+C$ Mamy:

$\dpi{120} L=2\int_{0}^{2}\sqrt{\frac{1}{4}+x ^{2}}dx=2\cdot\left [\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+\frac{1}{4}}+\frac{\frac{1}{4}}{2}\ln \left | x+\sqrt{x^{2}+\frac{1}{4}} \right | \right ]_{0}^{2}=$

$\dpi{120} =2\cdot\left (\frac{2}{2}\sqrt{2^{2}+\frac{1}{4}}+\frac{1}{8}\ln \left | 2+\sqrt{2^{2}+\frac{1}{4}} \right | -\frac{0}{2}\sqrt{0^{2}+\frac{1}{4}}-\frac{1}{8}\ln \left | 0+\sqrt{0^{2}+\frac{1}{4}} \right |\right )=$

$\dpi{120} =2\cdot \left [ \sqrt{\frac{17}{4}} +\frac{1}{8}\ln \left ( 2+\sqrt{\frac{17}{4}} \right )-\frac{1}{8} \ln \frac{1}{2}\right ]$

Najczęściej można taki wynik zostawić. My doprowadzimy to rozwiązanie do ładniejszej postaci:

$\dpi{120} L=2\cdot \left [ \sqrt{\frac{17}{4}} +\frac{1}{8}\left (\ln \left (2+\sqrt{\frac{17}{4}} \right ) -\ln \frac{1}{2}\right )\right ]=$

$\dpi{120} =2\cdot \left [ \frac{\sqrt{17}}{2} +\frac{1}{8}\ln \left [\left (2+\frac{\sqrt{17}}{2} \right ): \frac{1}{2} \right ]\right ]=$

$\dpi{120} =2\cdot \left [ \frac{\sqrt{17}}{2} +\frac{1}{8}\ln \left (4+\sqrt{17} \right ) \right ]=$

$\dpi{120} = \sqrt{17} +\frac{1}{4}\ln \left (4+\sqrt{17}\right )$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) krzywej logarytmicznej $\dpi{120} y=\ln \left (1-x^{2} \right )$ w przedziale $\dpi{120} 0\leqslant x\leqslant \frac{1}{2}$ ,

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór:

$\dpi{120} L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left ( y' \right )^{2}}dx$

Potrzebna jest pochodna:

$\dpi{120} y=\ln \left (1-x^{2} \right )\Rightarrow y'=\frac{1}{1-x^{2}}\cdot \left ( -2x \right )$

$\dpi{120} y'=\frac{-2x}{1-x^{2}}$

Wstawiamy do wzoru:

$\dpi{120} L=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1+\left ( \frac{-2x}{1-x^{2}} \right )^{2}}dx=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1+ \frac{4x^{2}}{\left ( 1-x^{2} \right )^{2}} }dx=$

$\dpi{120} =\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{1-2x^{2}+x^{4}+4x^{2}}{\left ( 1-x^{2} \right )^{2}} }dx=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{x^{4}+2x^{2}+1}{\left ( 1-x^{2} \right )^{2}} }dx=$

$\dpi{120} =\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{\left (x^{2}+1 \right )^{2}}{\left ( 1-x^{2} \right )^{2}} }dx=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^{2}+1}{1-x^{2}}dx=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left ( -1+\frac{2}{1-x^{2}} \right )dx=$

$\dpi{120} =\int_{0}^{\frac{1}{2}}-1dx+2\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{1-x^{2}}$

Liczymy całkę wymierną $\dpi{120} \int \frac{dx}{1-x^{2}}=\int \frac{dx}{\left ( 1-x \right )\left ( 1+x \right )}$ . Rozkładamy mianownik na ułamki proste:

$\dpi{120} \frac{1}{\left ( 1-x \right )\left ( 1+x \right )}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}/\cdot \left ( 1-x \right )\left ( 1+x \right )$

Z zależności tej wyliczamy: $\dpi{120} A=\frac{1}{2},\; B=\frac{1}{2}$ . Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{1-x^{2}}=\int \frac{dx}{\left ( 1-x \right )\left ( 1+x \right )}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{1-x}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{1+x}=$

$\dpi{120} =-\frac{1}{2}\ln \left | 1-x \right |+\frac{1}{2} \ln \left | 1+x \right |+C=$

$\dpi{120} =\frac{1}{2}\left ( \ln \left | 1+x \right | - \ln \left | 1-x \right |\right )+C=$

$\dpi{120} =\frac{1}{2}\ln \left | \frac{1+x}{1-x} \right |+C$

Wracamy do wzoru na długość łuku:

$\dpi{120} L=\int_{0}^{\frac{1}{2}}-1dx+2\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{1-x^{2}}=$

$\dpi{120} =\left [ -x \right ]_{0}^{\frac{1}{2}}+2\cdot \frac{1}{2}\left [ \ln \left | \frac{1+x}{1-x} \right | \right ]_{0}^{\frac{1}{2}}=$

$\dpi{120} =-\frac{1}{2}-0+ \ln \left | \frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} \right | - \ln \left | \frac{1+0}{1-0} \right |=$

$\dpi{120} =-\frac{1}{2}+\ln \left | \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} \right |- \overset{=0}{\overbrace{\ln 1}}=-\frac{1}{2}+ \ln 3$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) krzywej $\dpi{120} y=2\sqrt{x}$ od punktu $\dpi{120} A=\left ( 1,2 \right )$ do punktu $\dpi{120} B=\left (9,6 \right )$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór:

$\dpi{120} L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left ( y' \right )^{2}}dx$

Potrzebna jest pochodna:

$\dpi{120} y=2\sqrt{x}\Rightarrow y'=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\dpi{120} y'=\frac{1}{\sqrt{x}}$

Wstawiamy do wzoru:

$\dpi{120} L=\int_{1}^{9}\sqrt{1+\left ( \frac{1}{\sqrt{x}} \right )^{2}}dx=\int_{1}^{9}\sqrt{1+\frac{1}{x}}dx=\int_{1}^{9}\sqrt{\frac{1+x}{x}}dx=\int_{1}^{9}\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}dx$

Liczymy całkę nieoznaczoną $\dpi{120} \int \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}dx$ . Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} x+1=t^{2}\Rightarrow x=t^{2}-1$

$\dpi{120} dx=2tdt$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}dx=\int \frac{\sqrt{t^{2}}}{\sqrt{t^{2}-1}}\cdot 2tdt=\int \frac{2t^{2}}{\sqrt{t^{2}-1}}dt=2\int \frac{t^{2}}{\sqrt{t^{2}-1}}dt$

Wykorzystujemy wzór:

$\dpi{120} \int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{x^{2}+k}}=\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+k}-\frac{k}{2}\ln \left | x+\sqrt{x^{2}+k} \right |+C$

Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}dx=2\int \frac{t^{2}}{\sqrt{t^{2}-1}}dt=$

$\dpi{120} =2\cdot \left (\frac{t}{2}\sqrt{t^{2}-1}-\frac{-1}{2}\ln \left | t+\sqrt{t^{2}-1} \right | \right )\overset{t=\sqrt{x+1}}{=}$

$\dpi{120} \overset{t=\sqrt{x+1}}{=}\sqrt{x+1}\cdot \underset{=\sqrt{x}}{\underbrace{\sqrt{\left ( \sqrt{x+1} \right )^{2}-1}}}+\ln \left | \sqrt{x+1}+\underset{=\sqrt{x}}{\underbrace{\sqrt{\left ( \sqrt{x+1} \right )^{2}-1}}} \right |=$

$\dpi{120} =\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x}+\ln \left | \sqrt{x+1} +\sqrt{x}\right |+C$

Wracamy do wzoru na długość łuku:

$\dpi{120} L=\int_{1}^{9}\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}dx=\left [ \sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x}+\ln \left | \sqrt{x+1} +\sqrt{x}\right | \right ]_{1}^{9}=$

$\dpi{120} =\sqrt{9+1}\cdot \sqrt{9}+\ln \left | \sqrt{9+1} +\sqrt{9}\right |-\left ( \sqrt{1+1}\cdot \sqrt{1}+\ln \left | \sqrt{1+1} +\sqrt{1}\right | \right )=$

$\dpi{120} =3\sqrt{10} +\ln \left | \sqrt{10} +3\right |- \sqrt{2}-\ln \left | \sqrt{2} +1\right |$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Obliczyć pole powierzchni i objętość bryły powstałej z obrotu krzywej $\dpi{120} \large y=f\left ( x \right )$ wokół osi $\dpi{120} \large Ox$ :

1) $\dpi{120} y^{2}=4x$ w granicach $\dpi{120} 0\leqslant x\leqslant 3$ ,

Rozwiązanie

Wzór na pole powierzchni:

$\dpi{120} S=2\pi \int_{a}^{b}y\cdot \sqrt{1+\left ( y' \right )^{2}}dx$

Wzór ma objętość:

$\dpi{120} V=\pi \int_{a}^{b}y^{2}dx$

Liczymy pochodną:

$\dpi{120} y^{2}=4x\Rightarrow y=\pm \sqrt{4x}$

$\dpi{120} y=2\sqrt{x}$

$\dpi{120} y'=\frac{2}{2\sqrt{x}}$

$\dpi{120} y'=\frac{1}{\sqrt{x}}$

1. Liczymy pole:

$\dpi{120} S=2\pi \int_{0}^{3}2\sqrt{x}\cdot \sqrt{1+\left ( \frac{1}{\sqrt{x}} \right )^{2}}dx=2\pi \int_{0}^{3}2\sqrt{x}\cdot \sqrt{1+\frac{1}{x}}dx=$

$\dpi{120} =2\pi \int_{0}^{3}2\sqrt{x}\cdot \sqrt{\frac{1+x}{x}}dx=2\pi \int_{0}^{3}2\sqrt{x}\cdot \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}dx=$

$\dpi{120} =4\pi \int_{0}^{3}\sqrt{1+x}dx$

Liczymy całkę nieoznaczoną $\dpi{120} \int \sqrt{1+x}dx$ . Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} 1+x=t^{2}$

$\dpi{120} dx=2tdt$

Mamy:

$\dpi{120} \int \sqrt{1+x}dx=\int \sqrt{t^{2}}\cdot 2tdt=\int 2t^{2}dt=\frac{2t^{3}}{3}\overset{t=\sqrt{1+x}}{=}\frac{2}{3}\left ( \sqrt{1+x} \right )^{3}+C$

Wracamy do wzoru na pole powierzchni:

$\dpi{120} S=4\pi \int_{0}^{3}\sqrt{1+x}dx=4\pi \cdot \left [ \frac{2}{3} \left ( \sqrt{1+x} \right )^{3}\right ]_{0}^{3}=$

$\dpi{120} =\frac{8}{3}\pi \left [ \left (\sqrt{1+3} \right )^{3} -\left (\sqrt{1+0} \right )^{3}\right ]=\frac{8}{3}\pi \left ( 8-1 \right )=\frac{56}{3}\pi$

2. Liczymy objętość:

$\dpi{120} V=\pi \int_{0}^{3}4xdx=\pi \cdot \left [\frac{4x^{2}}{2} \right ]_{0}^{3}=\pi \cdot 2\left ( 3^{2} -0^{3}\right )=18\pi$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} y=e^{x}$ w granicach $\dpi{120} 0\leqslant x\leqslant 1$ ,

Rozwiązanie

Wzór na pole powierzchni:

$\dpi{120} S=2\pi \int_{a}^{b}y\cdot \sqrt{1+\left ( y' \right )^{2}}dx$

Wzór ma objętość:

$\dpi{120} V=\pi \int_{a}^{b}y^{2}dx$

Liczymy pochodną:

$\dpi{120} y=e^{x}\Rightarrow y'=e^{x}$

1. Liczymy pole:

$\dpi{120} S=2\pi \int_{0}^{1}e^{x}\cdot \sqrt{1+\left ( e^{x} \right )^{2}}dx$

Liczymy całkę nieoznaczoną $\dpi{120} \int e^{x}\cdot \sqrt{1+\left ( e^{x} \right )^{2}}dx$ . Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} e^{x}=t$

$\dpi{120} e^{x}dx=dt$

$\dpi{120} dx=\frac{dt}{e^{x}}$

Mamy:

$\dpi{120} \int e^{x}\cdot \sqrt{1+\left ( e^{x} \right )^{2}}dx=\int e^{x}\sqrt{1+t^{2}}\cdot \frac{dt}{e^{x}}=\int \sqrt{1+t^{2}}dt$

Wykorzystujemy wzór:

$\dpi{120} \int \sqrt{x^{2}+k}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+k}+\frac{k}{2}\ln \left | x+\sqrt{x^{2}+k} \right |+C$

Zatem:

$\dpi{120} \int e^{x}\cdot \sqrt{1+\left ( e^{x} \right )^{2}}dx=\int \sqrt{1+t^{2}}dt=\frac{t}{2}\sqrt{t^{2}+1}+\frac{1}{2}\ln \left | t+\sqrt{t^{2}+1} \right |=$

$\dpi{120} \overset{t=e^{x}}{=}\frac{e^{x}}{2}\sqrt{\left (e^{x} \right )^{2}+1}+\frac{1}{2}\ln \left | e^{x}+\sqrt{\left (e^{x} \right )^{2}+1} \right |=$

$\dpi{120} =\frac{e^{x}}{2}\sqrt{e^{2x} +1}+\frac{1}{2}\ln \left | e^{x}+\sqrt{e^{2x} +1} \right |+C$

Wracamy do wzoru na pole powierzchni:

$\dpi{120} S=2\pi \int_{0}^{1}e^{x}\cdot \sqrt{1+\left ( e^{x} \right )^{2}}dx=2\pi \cdot \left [ \frac{e^{x}}{2}\sqrt{e^{2x} +1}+\frac{1}{2}\ln \left | e^{x}+\sqrt{e^{2x} +1} \right | \right ]_{0}^{1}=$

$\dpi{120} =2\pi \cdot \left [ \frac{e^{1}}{2}\sqrt{e^{2\cdot 1} +1}+\frac{1}{2}\ln \left | e^{1}+\sqrt{e^{2\cdot 1} +1} \right | -\left ( \frac{e^{0}}{2}\sqrt{e^{2\cdot 0} +1}+\frac{1}{2}\ln \left | e^{0}+\sqrt{e^{2\cdot 0} +1} \right | \right )\right ]=$

$\dpi{120} =2\pi \cdot \left [ \frac{e}{2}\sqrt{e^{2} +1}+\frac{1}{2}\ln \left | e+\sqrt{e^{2} +1} \right | -\left ( \frac{1}{2}\sqrt{1 +1}+\frac{1}{2}\ln \left | 1+\sqrt{1 +1} \right | \right )\right ]=$

$\dpi{120} =2\pi \cdot \left ( \frac{e}{2}\sqrt{e^{2} +1}+\frac{1}{2}\ln \left | e+\sqrt{e^{2} +1} \right | - \frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}\ln \left | 1+\sqrt{2} \right |\right )=$

$\dpi{120} =\pi \cdot \left ( e\sqrt{e^{2} +1}+\ln \left | e+\sqrt{e^{2} +1} \right | - \sqrt{2}-\ln \left | 1+\sqrt{2} \right |\right )$

2. Liczymy objętość:

$\dpi{120} V=\pi \int_{0}^{1}\left (e^{x} \right )^{2}dx=\pi \int_{0}^{1}e^{2x}dx$

Liczymy całkę nieoznaczoną:

$\dpi{120} \int e^{2x}dx=\int e^{x}\cdot e^{x}dx=$

Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} e^{x}=t$

$\dpi{120} e^{x}dx=dt$

$\dpi{120} dx=\frac{dt}{e^{x}}$

Mamy:

$\dpi{120} \int e^{2x}dx=\int e^{x}\cdot e^{x}dx=\int e^{x}\cdot t\cdot \frac{dt}{e^{x}}=\int tdt=\frac{t^{2}}{2}\overset{t=e^{x}}{=}\frac{e^{2x}}{2}+C$

Wracamy do wzoru na objętość:

$\dpi{120} V=\pi \int_{0}^{1}\left (e^{x} \right )^{2}dx=\pi \int_{0}^{1}e^{2x}dx=\pi \left [ \frac{e^{2x}}{2} \right ]_{0}^{1}=\pi \left ( \frac{e^{2\cdot 1}}{2}-\frac{e^{2\cdot 0}}{2} \right )=$

$\dpi{120} =\pi \left ( \frac{e^{2}}{2} -\frac{1}{2}\right )$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń