Baza przestrzeni wektorowej (teoria)

DEFINICJA 1.

Wektory $\dpi{120} B=\left \{ x_{i} \right \},i\in \mathbb{N}$ przestrzeni wektorowej $\dpi{120} X$ nad ciałem $\dpi{120} \mathbb{R}$ nazywamy bazą tej przestrzeni, gdy każdy wektor $\dpi{120} \vec{x}\in X$ można przedstawić jednoznacznie w postaci:

$\dpi{120} \vec{x}=\sum_{i\in \mathbb{N}}^{\, }\alpha _{i}\overrightarrow{x_{i}},$

tzn. każdy element przestrzeni $\dpi{120} \vec{x}$ jest kombinacją liniową wektorów bazowych.

Uwaga. Przestrzeń wektorowa $\dpi{120} X$ może mieć wiele baz.

Jeśli przestrzeń wektorowa $\dpi{120} X$ ma bazę skończoną, to mówimy, że jest przestrzenią skończenie wymiarową. Wówczas wszystkie bazy tej przestrzeni mają tyle samo elementów, a liczbę wektorów tworzących dowolną bazę nazywamy wymiarem przestrzeni $\dpi{120} X$ i oznaczamy symbolem $\dpi{120} \dim X$ . Jeśli przestrzeń wektorowa $\dpi{120} X$ nie ma bazy złożonej ze skończonej liczby wektorów, to przestrzeń tę nazywamy nieskończenie wymiarową.

Jeśli wektory $\dpi{120} \left \{ \overrightarrow{x_{1}} ,\overrightarrow{x_{2}},...,\overrightarrow{x_{n}}\right \}$ tworzą bazę przestrzeni wektorowej $\dpi{120} X$ nad ciałem $\dpi{120} \mathbb{R}$ , to są one liniowo niezależne oraz jeśli $\dpi{120} m>n$ , to wektory $\dpi{120} \left \{ \overrightarrow{y_{1}} ,\overrightarrow{y_{2}},...,\overrightarrow{y_{m}}\right \}$ tej przestrzeni są liniowo zależne.