Schemat metody przewidywań dla równania
1) Rozwiązujemy równanie jednorodne . Jest to zawsze równanie o rozdzielonych zmiennych. Otrzymujemy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego .
2) Znajdujemy rozwiązanie szczególne metodą przewidywań. W tym celu wykorzystujemy poniższą tabelę:
Prawa strona | Przewidywana postać |
3) Równanie końcowe równania ma postać:
Schemat metody uzmiennienia stałej dla równania
1) Rozwiązujemy równanie jednorodne . Jest to zawsze równanie o rozdzielonych zmiennych. Otrzymujemy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego . Będzie ono postaci
gdzie
2) Uzmienniamy stałą . Otrzymujemy:
3) Liczymy pochodną . Zawsze stosujemy wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji.
4) Wstawiamy z punktu 2) i z punktu 3) do wyjściowego równania różniczkowego. Zawsze powinny skrócić się wyrazy zawierające . Jeżeli nie skrócą się to znaczy, że popełniliśmy błąd. Zostanie tylko wyraz będący postaci . Otrzymujemy tutaj równanie:
z którego wyliczamy .
5) Całkujemy równanie z punktu 4). Otrzymujemy pewną funkcję postaci
6) Wstawiamy otrzymaną w punkcie 5) funkcję do rozwiązania z punktu 2). Jest to nasze rozwiązanie ogólne.
Schemat metody czynnika całkującego dla równania
1) Liczymy czynnik całkujący według wzoru:
2) Mnożymy stronami równanie przez czynnik znaleziony w punkcie 1). Mamy:
3) Lewa strona tego równania czyli powinna się zapisać w postaci . Jeżeli nie będzie to prawda to znaczy, że popełniliśmy gdzieś błąd. Otrzymujemy wówczas równanie:
4) Całkujemy powyższe równanie stronami i dostajemy:
Po obliczeniu całki po prawej stronie mamy już rozwiązanie ogólne naszego równania różniczkowego.
Zapraszamy do zadań! tutaj