W temacie tym mamy 15 zadań. 6 pierwszych zadań dotyczy iloczynu skalarnego. Dwa pierwsze są bardzo łatwe i uczymy się w nich zastosowania podstawowych wzorów. Zadania 3 i 4 wykorzystują ważną własność iloczynu skalarnego, a mianowicie: wektory są prostopadłe, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero. Pozostałe dwa zadania są zastosowaniem pewnych innych własności iloczynu Read more about Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany – zadania[…]
ILOCZYN SKALARNY Dla dwóch wektorów i z przestrzeni iloczyn skalarny określamy jako np. . Kąt między wektorami i : Wektory są prostopadłe . Długość wektora : ILOCZYN WEKTOROWY Dla i mamy: gdzie . Iloczyn wektorowy Read more about Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany – wzory[…]
Dla prostoty pomijamy znak wektora nad , czyli: . ILOCZYN SKALARNY DEFINICJA 1. Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem . Odwzorowanie spełniające dla dowolnych i dowolnego następujące warunki: 1) 2) i 3) 4) i nazywamy iloczynem skalarnym. Iloczyn skalarny wektorów przyjęło się również oznaczać . A więc iloczyn skalarny jest to funkcja określona Read more about Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany – teoria[…]
Mamy 4 zadania. Zadania 1 i 2 dotyczą pojęcia bazy i wykorzystują niezależność liniową wektorów wchodzących w skład bazy. Są bardzo proste. W zadaniu 3 i 4 zapisujemy wektory w różnych bazach. Podstawą jest tutaj znajomość pojęcia kombinacji liniowej wektorów. Zadania nie są również skomplikowane. Zadanie 1. Zbadać, czy dane wektory tworzą bazę przestrzeni Read more about Baza i wymiar przestrzeni wektorowej – zadania[…]
DEFINICJA 1. Wektory przestrzeni wektorowej nad ciałem nazywamy bazą tej przestrzeni, gdy każdy wektor można przedstawić jednoznacznie w postaci: tzn. każdy element przestrzeni jest kombinacją liniową wektorów bazowych. Uwaga. Przestrzeń wektorowa może mieć wiele baz. Jeśli przestrzeń wektorowa ma bazę skończoną, to mówimy, że jest przestrzenią skończenie wymiarową. Wówczas wszystkie bazy tej przestrzeni mają tyle Read more about Baza i wymiar przestrzeni wektorowej – teoria[…]
Mamy 5 zadań. Dwa pierwsze są przypomnieniem działań na wektorach. Zadanie 3 bada niezależność wektorów w przypadku, gdy ilość wektorów jest zgodna z wymiarem przestrzeni. Jest to bardzo proste sprawdzenie. W zadaniu 4 również badamy niezależność wektorów, ale ilość wektorów jest różna od wymiaru przestrzeni, co uniemożliwia zastosowanie poprzedniej metody. Zadanie nieco trudniejsze. Zadanie ostatnie Read more about Liniowa niezależność wektorów – zadania[…]
Układ złożony z niepustego zbioru , ciała oraz dwu działań: – dodawanie wektorów – mnożenie wektora przez skalar spełniający następujące warunki: 1) struktura jest grupą abelową, 2) – łączność 3) – rozdzielność 4) nazywamy przestrzenią wektorową nad ciałem . Elementy grupy nazywamy wektorami, elementy ciała nazywamy skalarami. Działanie Read more about Liniowa niezależność wektorów – teoria[…]