Iloczyn skalarny i wektorowy (zadania)

W temacie tym mamy 15 zadań. 6 pierwszych zadań dotyczy iloczynu skalarnego. Dwa pierwsze są bardzo łatwe i uczymy się w nich zastosowania podstawowych wzorów. Zadania 3 i 4 wykorzystują ważną własność iloczynu skalarnego, a mianowicie: wektory są prostopadłe, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero. Pozostałe dwa zadania są zastosowaniem pewnych innych własności iloczynu skalarnego (bez współrzędnych). Rzadziej występują na egzaminach i kolokwiach. Zadania od 7 do 13 dotyczą iloczynu wektorowego. Zadania 7 i 8 ilustrują jego najczęstsze zastosowanie do liczenia pól równoległoboku i trójkąta. Szczególnie zwracamy uwagę na zadanie 8, które jest typowym zadaniem egzaminacyjnym. Kolejne zadania wykorzystują własności iloczynu wektorowego, nie mamy tam podanych żadnych współrzędnych. Zadania 14 i 15 to zastosowanie iloczynu mieszanego. Zadanie 15 jest najdłuższe. Wykorzystuje zarówno iloczyn mieszany, ale również iloczyn wektorowy, a więc często pojawia się na egzaminach. Warto zajrzeć do zakładki Wzory tutaj i zapoznać się z podstawowymi definicjami i wzorami.

Zadanie 1. W przestrzeni euklidesowej $\dpi{120} \large E^{4}$ dane są wektory $\dpi{120} \large x=\left [ 2,4,-2,1 \right ]$ i $\dpi{120} \large y=\left [ 3,-3,1,2 \right ]$ . Obliczyć:

a) iloczyn skalarny,

b) normy (długości) tych wektorów,

c) cosinus kąta między nimi.

Rozwiązanie

a) Liczymy iloczyn skalarny:

$\dpi{120} x\circ y=\left [ 2,4,-2,1 \right ]\circ \left [ 3,-3,1,2 \right ]=2\cdot 3+4\cdot \left ( -3 \right )+\left ( -2 \right )\cdot 1+1\cdot 2=$

$\dpi{120} =6-12-2+2=-6$

b) W przestrzeni euklidesowej norma wektora pokrywa się z długością wektora i ma zastosowanie szkolny wzór:

$\dpi{120} \left \| x \right \|=\left | x \right |=\sqrt{x\circ x}=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}$

Zatem:

$\dpi{120} \left | x \right |=\sqrt{2^{2}+4^{2}+\left ( -2 \right )^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+16+4+1}=5$

$\dpi{120} \left | y \right |=\sqrt{3^{2}+\left ( -3 \right )^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{9+9+1+4}=\sqrt{23}$

c) Korzystamy ze wzoru:

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{x\circ y}{\left | x \right |\cdot \left | y \right |}$

Mamy:

$\dpi{120} \cos \measuredangle \left ( x,y \right )=\frac{-6}{5\cdot \sqrt{23}}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Wyznaczyć wartość wyrażenia:

1) $\dpi{120} \left | \left [ 3,2,-1 \right ] \circ \left [ -4,1,1 \right ]\right |+\left | \left [ 5,1,-2 \right ] \right |\cdot \left | \left [ 2,2,-2 \right ] \right |,$

Rozwiązanie

Zauważmy, że pionowe kreski w pierwszym składniku sumy oznaczają wartość bezwzględną, zaś w drugim składniku długości wektorów. Zatem:

$\dpi{120} \left | \left [ 3,2,-1 \right ] \circ \left [ -4,1,1 \right ]\right |+\left | \left [ 5,1,-2 \right ] \right |\cdot \left | \left [ 2,2,-2 \right ] \right |=$

$\dpi{120} =\left |3\cdot \left ( -4 \right )+2\cdot 1+\left ( -1 \right )\cdot 1 \right |+\sqrt{5^{2}+1^{2}+\left ( -2 \right )^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}+2^{2}+\left ( -2 \right )^{2}}=$

$\dpi{120} =\left |-12+2-1 \right |+\sqrt{30} \cdot \sqrt{12}=\left |-11 \right |+\sqrt{360}=11+6\sqrt{10}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \left ( 2x+3y \right )\circ \left ( x-2y \right )$ jeżeli $\dpi{120} x=\left [ 1,a,-3+a \right ],y=\left [ 4a,-1,a-1 \right ],a\in \mathbb{R},$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \left ( 2x+3y \right )\circ \left ( x-2y \right )=$

$\dpi{120} =\left (2\cdot \left [ 1,a,-3+a \right ]+3\cdot \left [ 4a,-1,a-1 \right ] \right )\circ \left ( \left [ 1,a,-3+a \right ]-2\cdot \left [ 4a,-1,a-1 \right ] \right )=$

$\dpi{120} =\left ( \left [ 2,2a,-6+2a \right ]+\left [ 12a,-3,3a-3 \right ] \right )\circ \left ( \left [ 1,a,-3+a \right ]-\left [ 8a,-2,2a-2 \right ] \right )=$

$\dpi{120} =\left [ 2+12a,2a-3,-6+2a+3a-3 \right ]\circ \left [ 1-8a,a-\left ( -2 \right ),-3+a-2a+2 \right ]=$

$\dpi{120} =\left [ 2+12a,2a-3,5a-9 \right ]\circ \left [ 1-8a,a+2,-a-1 \right ]=$

$\dpi{120} =\left ( 2+12a \right )\cdot \left ( 1-8a \right )+\left ( 2a-3 \right )\cdot \left ( a+2 \right )+\left ( 5a-9 \right )\cdot \left ( -a-1 \right )=$

$\dpi{120} =2-16a+12a-96a^{2}+2a^{2}+4a-3a-6-5a^{2}-5a+9a+9=$

$\dpi{120} =-99a^{2}+a+5$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \frac{\left \| x \right \|\cdot x+\left \| y \right \|\cdot y}{\left \| \left \| x \right \|\cdot x+\left \| y \right \| \cdot y\right \|}$ jeżeli $\dpi{120} x=\left [ 2,-2 \right ],y=\left [ 0,1 \right ].$

Rozwiązanie

Najpierw policzmy $\dpi{120} \left \| x \right \|$ i $\dpi{120} \left \| y \right \|$ . Pamiętajmy, że w przestrzeni euklidesowej (tutaj tylko w takiej się poruszamy) norma i długość oznaczają to samo.

$\dpi{120} \left \| x \right \|=\left | x \right |=\sqrt{2^{2}+\left ( -2 \right )^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

$\dpi{120} \left \| y \right \|=\left | y \right |=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=\sqrt{1}=1$

Wstawiając mamy:

$\dpi{120} \frac{\left \| x \right \|\cdot x+\left \| y \right \|\cdot y}{\left \| \left \| x \right \|\cdot x+\left \| y \right \| \cdot y\right \|}=\frac{2\sqrt{2}\cdot \left [ 2,-2 \right ]+1\cdot \left [ 0,1 \right ]}{\left \| 2\sqrt{2}\cdot \left [ 2,-2 \right ]+1\cdot \left [ 0,1 \right ] \right \|}=$

$\dpi{120} =\frac{\left [ 4\sqrt{2},-4\sqrt{2} \right ]+\left [ 0,1 \right ]}{\left \| \left [ 4\sqrt{2},-4\sqrt{2} \right ]+\left [ 0,1 \right ] \right \|}=\frac{\left [ 4\sqrt{2},-4\sqrt{2}+1 \right ]}{\left \| \left [ 4\sqrt{2},-4\sqrt{2}+1 \right ] \right \|}$

Obliczmy oddzielnie:

$\dpi{120} \left \| \left [ 4\sqrt{2} ,-4\sqrt{2}+1\right ] \right \|=\sqrt{\left ( 4\sqrt{2} \right )^{2}+\left ( -4\sqrt{2}+1 \right )^{2}}=$

$\dpi{120} =\sqrt{32+32-8\sqrt{2}+1}=\sqrt{65-8\sqrt{2}}$

Wracamy do naszego wyrażenia:

$\dpi{120} \frac{\left \| x \right \|\cdot x+\left \| y \right \|\cdot y}{\left \| \left \| x \right \|\cdot x+\left \| y \right \| \cdot y\right \|}=\frac{\left [ 4\sqrt{2},-4\sqrt{2}+1 \right ]}{\left \| \left [ 4\sqrt{2},-4\sqrt{2}+1 \right ] \right \|}=\frac{\left [ 4\sqrt{2},-4\sqrt{2}+1 \right ]}{\sqrt{65-8\sqrt{2}}}=$

$\dpi{120} =\left [ \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{65-8\sqrt{2}}} ,\frac{1-4\sqrt{2}}{\sqrt{65-8\sqrt{2}}}\right ]$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 3. Dane są wektory $\dpi{120} \large \left [ 2,-1,3 \right ],\left [ 1,3,k \right ]$ . Dla jakich wartości $\dpi{120} \large k\in \mathbb{R}$ wektory są prostopadłe?

Rozwiązanie

Aby wektory były prostopadłe, ich iloczyn skalarny musi się równać zero. Zatem:

$\dpi{120} \left [ 2,-1,3 \right ]\circ \left [ 1,3,k \right ]=2\cdot 1+\left ( -1 \right )\cdot 3+3\cdot k=2-3+3k=3k-1$

Przyrównujemy wynik do zera:

$\dpi{120} 3k-1=0$

$\dpi{120} k=\frac{1}{3}$

Zatem dla $\dpi{120} k=\frac{1}{3}$ wektory te są prostopadłe (ortogonalne).

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 4. Dane są punkty $\dpi{120} \large A=\left ( m,m-1,2 \right ),$ $\dpi{120} \large B=\left ( 3,-1,m-3 \right ),$ $\dpi{120} \large C=\left ( m-1,2,1 \right ).$ Dla jakich wartości parametru $\dpi{120} \large m\in \mathbb{R}$ wektory $\dpi{120} \large \overrightarrow{AB}$ i $\dpi{120} \large \overrightarrow{AC}$ są prostopadłe?

Rozwiązanie

Aby wektory były prostopadłe, ich iloczyn skalarny musi się równać zero.

Najpierw jednak policzmy współrzędne wektorów, gdyż w zadaniu mamy podane współrzędne początku i końca wektorów. Jeżeli punkt $\dpi{120} A=\left ( a_{1} , a_{2}, a_{3}\right )$ jest początkiem wektora, zaś $\dpi{120} B=\left ( b_{1} , b_{2}, b_{3}\right )$ końcem wektora, to wektor $\dpi{120} \overrightarrow{AB}$ ma współrzędne:

$\dpi{120} \overrightarrow{AB}=\left [ b_{1} -a_{1},b_{2} -a_{2},b_{3} -a_{3}\right ]$

tzn., że od współrzędnych końca odejmujemy współrzędne początku. Zatem w naszym przypadku:

$\dpi{120} \overrightarrow{AB}=\left [ 3-m,-1-\left ( m-1 \right ),m-3-2 \right ]=\left [ 3-m,-m,m-5 \right ]$

$\dpi{120} \overrightarrow{AC}=\left [ m-1-m,2-\left ( m-1 \right ),1-2 \right ]=\left [ -1,3-m,-1 \right ]$

Liczymy iloczyn skalarny tych wektorów:

$\dpi{120} \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{AC}=\left [ 3-m,-m,m-5 \right ]\circ \left [ -1,3-m,-1 \right ]=$

$\dpi{120} =\left ( 3-m \right )\cdot \left ( -1 \right )+\left ( -m \right )\cdot \left ( 3-m \right )+\left ( m-5 \right )\cdot \left ( -1 \right )=$

$\dpi{120} =-3+m-3m+m^{2}-m+5=$

$\dpi{120} =m^{2}-3m+2$

Wynik przyrównujemy do zera:

$\dpi{120} m^{2}-3m+2=0$

$\dpi{120} \Delta =9-4\cdot 1\cdot 2=1$

$\dpi{120} m_{1}=\frac{3-1}{2\cdot 1}=1$

$\dpi{120} m_{2}=\frac{3+1}{2\cdot 1}=2$

Zatem dla $\dpi{120} m=1$ oraz $\dpi{120} m=2$ wektory te są prostopadłe.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 5. Obliczyć kąt pomiędzy wektorami $\dpi{120} \large u,v$ wiedząc, że $\dpi{120} \large \left | u \right |=\left | v \right |=2$ oraz, że wektory $\dpi{120} \large 2u+v$ i $\dpi{120} \large 4u-5v$ są prostopadłe.

Rozwiązanie

W zadaniu tym wykorzystujmy wyłącznie własności iloczynu skalarnego. Wiemy, że:

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{x\circ y}{\left | x \right |\cdot \left | y \right |}$

Ponadto wykorzystamy:

$\dpi{120} \left | x \right |=\sqrt{x\circ x}\Rightarrow x\circ x=\left | x \right |^{2}$

W naszym zadaniu mamy policzyć:

$\dpi{120} \cos \measuredangle \left ( u,v \right ) =\frac{u\circ v}{\left | u \right |\cdot \left | v \right |}$

Długości wektorów $\dpi{120} u,v$ mamy dane w zadaniu, więc:

$\dpi{120} \cos \measuredangle \left ( u,v \right ) =\frac{u\circ v}{\left | u \right |\cdot \left | v \right |}=\frac{u\circ v}{2\cdot 2}=\frac{u\circ v}{4}$

Wykorzystajmy fakt, że wektory $\dpi{120} 2u+v$ i $\dpi{120} 4u-5v$ są prostopadłe, tzn, że ich iloczyn skalarny jest równy zero:

$\dpi{120} \left ( 2u+v \right )\circ \left ( 4u-5v \right )=0$

Rozpiszmy lewą stronę tej równości. Wykorzystujemy własności iloczynu skalarnego:

1) $\dpi{120} \left ( x,y \right )=\left ( y,x \right )$

2) $\dpi{120} \left ( x+y,z \right )=\left ( x,z \right )+\left ( y,z \right )$ i $\dpi{120} \left ( x,y+z \right )=\left ( x,y \right )+\left ( x,z \right )$

3) $\dpi{120} \left ( \alpha x,y \right )=\left ( x,\alpha y \right )=\alpha \left ( x,y \right )$

Mamy:

$\dpi{120} \left ( 2u+v \right )\circ \left ( 4u-5v \right )=$

$\dpi{120} =8\cdot \left ( \overset{=\left | u \right |^{2}}{\overbrace{u\circ u} }\right )-10\cdot \left ( u\circ v \right )+4\cdot \left ( \overset{=u\circ v}{\overbrace{v\circ u}} \right )-5\cdot \left (\overset{=\left | v \right |^{2}}{\overbrace{ v\circ v}} \right )=$

$\dpi{120} =8\left | u \right |^{2}-10\left ( u\circ v \right )+4\left ( u\circ v \right )-5\left | v \right |^{2}=$

$\dpi{120} =8\cdot 2^{2}-6\cdot \left ( u\circ v \right )-5\cdot 2^{2}=$

$\dpi{120} =12-6\cdot \left ( u\circ v \right )$

Pamiętamy, że ten iloczyn miał być równy zero, gdyż wektory te są prostopadłe. Zatem:

$\dpi{120} 12-6\cdot \left ( u\circ v \right )=0\Rightarrow u\circ v=2$

Wstawiamy do wzoru na cosinus kąta:

$\dpi{120} \cos \measuredangle \left ( u,v \right ) =\frac{u\circ v}{\left | u \right |\cdot \left | v \right |}=\frac{u\circ v}{2\cdot 2}=\frac{u\circ v}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Stąd :

$\dpi{120} \measuredangle \left ( u,v \right )=60^{\circ}$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 6. Dla wektorów o długościach $\dpi{120} \large \left | u \right |=1$ i $\dpi{120} \large \left | v \right |=2$ tworzących kąt $\dpi{120} \large \varphi=120^{\circ}$ obliczyć cosinus kąta pomiędzy wektorami $\dpi{120} \large x=2u-v$ i $\dpi{120} \large y=2u+3v.$

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru:

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{x\circ y}{\left | x \right |\cdot \left | y \right |}$

U nas $\dpi{120} x=2u-v$ oraz $\dpi{120} y=2u+3v$ :

$\dpi{120} \cos \measuredangle \left ( x,y \right ) =\frac{x\circ y}{\left | x \right |\cdot \left | y \right |}=\frac{\left ( 2u-v \right )\circ \left (2u+3v \right )}{\left | 2u-v \right |\cdot \left | 2u+3v \right |}$

1. Policzmy najpierw:

$\dpi{120} \left ( 2u-v \right )\circ \left ( 2u+3v \right )=4\cdot \overset{=\left | u \right |^{2}}{\overbrace{\left ( u\circ u \right )}}+6\cdot \left ( u\circ v \right )-2\cdot \overset{=u\circ v}{\overbrace{\left ( v\circ u \right )}}-3\cdot \overset{=\left | v \right |^{2}}{\overbrace{\left ( v\circ v \right )}}=$

$\dpi{120} =4\cdot \left | u \right |^{2}+6\cdot \left ( u\circ v \right )-2\left ( u\circ v \right )-3\cdot \left | v \right |^{2}=$

$\dpi{120} =4\cdot 1^{2}+4\cdot \left ( u\circ v \right )-3\cdot 2^{2}=$

$\dpi{120} =-8+4\cdot \left ( u\circ v \right )$

Iloczyn skalarny liczymy jako:

$\dpi{120} u\circ v=\left | u \right |\cdot \left | v \right |\cdot \cos \varphi =1\cdot 2\cdot \cos 120^{\circ}=2\cdot \cos \left ( 180^{\circ}-60^{\circ} \right )=2\cdot \left ( - \cos 60^{\circ} \right )=$

$\dpi{120} =-2\cdot \cos 60^{\circ}=-2\cdot \frac{1}{2}=-1$

Wstawiamy:

$\dpi{120} \left ( 2u-v \right )\circ \left ( 2u+3v \right )=-8+4\cdot \left ( u\circ v \right )=-8+4\cdot \left ( -1 \right )=-12$

2. Dalej liczymy:

$\dpi{120} \left | 2u-v \right |=\sqrt{\left ( 2u-v \right )\circ \left ( 2u-v \right )}=$

$\dpi{120} =\sqrt{4\left ( u\circ u \right )-2\cdot \left ( u\circ v \right )-2\cdot \left ( v\circ u \right )+\left ( v\circ v \right )}=$

$\dpi{120} =\sqrt{4\cdot \left | u \right |^{2}-4\cdot \left ( u\circ v \right )+\left | v \right |^{2}}=$

$\dpi{120} =\sqrt{4\cdot 1^{2}-4\cdot \left ( -1 \right )+2^{2}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

3. Pozostało jeszcze:

$\dpi{120} \left | 2u+3v \right |=\sqrt{\left ( 2u+3v \right )\circ \left ( 2u+3v \right )}=$

$\dpi{120} =\sqrt{4\left ( u\circ u \right )+6\cdot \left ( u\circ v \right )+6\cdot \left ( v\circ u \right )+9\left ( v\circ v \right )}=$

$\dpi{120} =\sqrt{4\cdot \left | u \right |^{2}+12\cdot \left ( u\circ v \right )+9\left | v \right |^{2}}=$

$\dpi{120} =\sqrt{4\cdot 1^{2}+12\cdot \left ( -1 \right )+9\cdot 2^{2}}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$

Mamy już wszystkie wartości potrzebne do wzoru na cosinus kąta:

Otrzymaliśmy zatem, że:

$\dpi{120} \cos \measuredangle \left ( x,y \right ) =-\frac{3}{\sqrt{21}}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 7. Obliczyć pole równoległoboku rozpiętego na wektorach:

1) $\dpi{120} x=\left [ 2,4,-3 \right ],y=\left [ 0,-1,3 \right ],$

Rozwiązanie

Pole równoległoboku rozpiętego na wektorach $\dpi{120} x,y$ liczymy jako:

$\dpi{120} P_{r}=\left | x\times y \right |$

Korzystamy również ze wzoru na iloczyn wektorowy dla $\dpi{120} x=\left [ x_{1},x_{2},x_{3} \right ]$ i $\dpi{120} y=\left [ y_{1},y_{2},y_{3} \right ]$ :

$\dpi{120} x\times y=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ x_{1}& x_{2} & x_{3}\\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{vmatrix}$

Policzmy zatem:

$\dpi{120} x\times y=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ 2& 4 & -3\\ 0 & -1 & 3 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1}& e_{2}\\ 2 & 4\\ 0 & -1 \end{matrix}=12e_{1}+0e_{2}-2e_{3}-0e_{3}-3e_{1}-6e_{2}=$

$\dpi{120} ={\color{Red} 9}e_{1}{\color{Blue} -6}e_{2}{\color{green} -2}e_{3}=\left [ {\color{Red} 9},{\color{Blue} -6},{\color{Green} -2} \right ]$

Pamiętajmy, wynikiem iloczynu wektorowego jest wektor.

Liczymy długość otrzymanego wektora:

$\dpi{120} \left |x\times y \right |=\sqrt{9^{2}+\left ( -6 \right )^{2}+\left ( -2 \right )^{2}}=\sqrt{121}=11$

Zatem pole równoległoboku jest równe 11.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} x=\left [ -5,2, 0\right ],y=\left [ 1,2,3 \right ].$

Rozwiązanie

Pole równoległoboku rozpiętego na wektorach $\dpi{120} x,y$ liczymy jako:

$\dpi{120} P_{r}=\left | x\times y \right |$

Korzystamy również ze wzoru na iloczyn wektorowy dla $\dpi{120} x=\left [ x_{1},x_{2},x_{3} \right ]$ i $\dpi{120} y=\left [ y_{1},y_{2},y_{3} \right ]$ :

$\dpi{120} x\times y=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ x_{1}& x_{2} & x_{3}\\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{vmatrix}$

Policzmy zatem:

$\dpi{120} x\times y=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ -5& 2 & 0\\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1}& e_{2}\\ -5 & 2\\ 1 & 2 \end{matrix}=6e_{1}+0e_{2}-10e_{3}-2e_{3}-0e_{1}+15e_{2}=$

$\dpi{120} ={\color{Red} 6}e_{1}{\color{Blue} +15}e_{2}{\color{green} -12}e_{3}=\left [ {\color{Red} 6},{\color{Blue} 15},{\color{Green} -12} \right ]$

Pamiętajmy, wynikiem iloczynu wektorowego jest wektor.

Liczymy długość otrzymanego wektora:

$\dpi{120} \left |x\times y \right |=\sqrt{6^{2}+15 ^{2}+\left ( -12 \right )^{2}}=\sqrt{405}=9\sqrt{5}$

Zatem pole równoległoboku jest równe $\dpi{120} 9\sqrt{5}$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 8. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach $\dpi{120} \large A,B,C$ oraz długość wysokości spuszczonej z wierzchołka $\dpi{120} \large C:$

1) $\dpi{120} A=\left ( 2,4,1 \right ),B=\left ( -2,4,1 \right ),C=\left ( 1,-3,4 \right ),$

Rozwiązanie

1. Pole trójkąta rozpiętego na wektorach $\dpi{120} x$ i $\dpi{120} y$ będziemy liczyć ze wzoru:

$\dpi{120} P_{\bigtriangleup }=\frac{1}{2}\left | x\times y \right |$

Najpierw policzmy wektory rozpinające ten trójkąt. Pamiętajmy, aby były one zaczepione w tym samym punkcie. Policzmy zatem wektory $\dpi{120} \overrightarrow{AB}$ oraz $\dpi{120} \overrightarrow{AC}$ .

$\dpi{120} \overrightarrow{AB}=\left [ -2-2,4-4,1-1 \right ]=\left [ -4,0,0 \right ]$

$\dpi{120} \overrightarrow{AC}=\left [ 1-2,-3-4,4-1 \right ]=\left [ -1,-7,3 \right ]$

Liczymy pole trójkąta ze wzoru:

$\dpi{120} P_{\bigtriangleup }=\frac{1}{2}\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \right |$

Obliczamy iloczyn wektorowy:

$\dpi{120} \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix} e_{1} &e_{2} & e_{3}\\ -4 & 0 &0 \\ -1 & -7& 3 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ -4 &0 \\ -1& -7 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =28e_{3}+12e_{2}=12e_{2}+28e_{3}=\left [ 0,12,28 \right ]$

Wstawiając do pola trójkąta otrzymujemy:

$\dpi{120} P_{\bigtriangleup }=\frac{1}{2}\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \right |=\frac{1}{2}\left | \left [ 0,12,28 \right ] \right |=\frac{1}{2}\sqrt{0^{2}+12^{2}+28^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{2}\sqrt{928}=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{58}=2\sqrt{58}$

2. Teraz policzymy długość wysokości spuszczonej z wierzchołka $\dpi{120} C$ . Wykorzystamy szkolny wzór na pole trójkąta:

$\dpi{120} P_{\bigtriangleup }=\frac{1}{2}\cdot \left | \overrightarrow{AB} \right |\cdot h_{c}$

Potrzebna jest nam zatem długość wektora $\dpi{120} \overrightarrow{AB}$ . Mamy:

$\dpi{120} \left | \overrightarrow{AB} \right |=\left | \left [ -4,0,0 \right ] \right |=\sqrt{\left ( -4 \right )^{2}+0^{2}+0^{2}}=4$

Pole trójkąta policzyliśmy w pierwszym podpunkcie. Wstawiając zatem nasze dane otrzymujemy:

$\dpi{120} 2\sqrt{58}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot h_{c}\Rightarrow h_{c}=\sqrt{58}$

Ostatecznie $\dpi{120} P_{\bigtriangleup }=2\sqrt{58}$ , zaś wysokość $\dpi{120} h_{c}=\sqrt{58}$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} A=\left ( 0,4,2 \right ),B=\left ( -3,2,1 \right ),C=\left ( 4,0,-2 \right ).$

1. Pole trójkąta rozpiętego na wektorach $\dpi{120} x$ i $\dpi{120} y$ będziemy liczyć ze wzoru:

$\dpi{120} P_{\bigtriangleup }=\frac{1}{2}\left | x\times y \right |$

$\dpi{120} \overrightarrow{AB}=\left [ -3-0,2-4,1-2 \right ]=\left [ -3,-2,-1 \right ]$

$\dpi{120} \overrightarrow{AC}=\left [ 4-0,0-4,-2-2 \right ]=\left [ 4,-4,-4 \right ]$

Liczymy pole trójkąta ze wzoru:

$\dpi{120} P_{\bigtriangleup }=\frac{1}{2}\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \right |$

Obliczamy iloczyn wektorowy:

$\dpi{120} \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix} e_{1} &e_{2} & e_{3}\\ -3 & -2 &-1 \\ 4 & -4& -4 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ -3 &-2 \\ 4& -4 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =8e_{1}-4e_{2}+12e_{3}+8e_{3}-4e_{1}-12e_{2}=4e_{1}-16e_{2}+20e_{3}=\left [ 4,-16,20 \right ]$

Wstawiając do pola trójkąta otrzymujemy:

$\dpi{120} P_{\bigtriangleup }=\frac{1}{2}\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \right |=\frac{1}{2}\left | \left [ 4,-16,20 \right ] \right |=\frac{1}{2}\sqrt{4^{2}+\left ( -16 \right )^{2}+20^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{2}\sqrt{672}=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{42}=2\sqrt{42}$

2. Teraz policzymy długość wysokości spuszczonej z wierzchołka $\dpi{120} C$ . Wykorzystamy szkolny wzór na pole trójkąta:

$\dpi{120} P_{\bigtriangleup }=\frac{1}{2}\cdot \left | \overrightarrow{AB} \right |\cdot h_{c}$

Potrzebna jest nam zatem długość wektora $\dpi{120} \overrightarrow{AB}$ . Mamy:

$\dpi{120} \left | \overrightarrow{AB} \right |=\left | \left [ -3,-2,-1 \right ] \right |=\sqrt{\left ( -3 \right )^{2}+\left ( -2 \right )^{2}+\left ( -1 \right )^{2}}=\sqrt{14}$

Pole trójkąta policzyliśmy w pierwszym podpunkcie. Wstawiając zatem nasze dane otrzymujemy:

$\dpi{120} 2\sqrt{42}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{14}\cdot h_{c}\Rightarrow h_{c}=\frac{4\sqrt{42}}{\sqrt{14}}\Rightarrow h_{c}=4\sqrt{3}$

Ostatecznie $\dpi{120} P_{\bigtriangleup }=2\sqrt{42}$ , zaś wysokość $\dpi{120} h_{c}=4\sqrt{3}$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 9. Obliczyć długość wektora $\dpi{120} \large x\times y$ wiedząc, że $\dpi{120} \large \left | x \right |=2,\left | y \right |=3$ , zaś kąt między nimi jest równy $\dpi{120} \large 150^{\circ}$ .

Rozwiązanie

Wykorzystujemy własność iloczynu wektorowego:

$\dpi{120} \left | x\times y \right |=\left | x \right |\cdot \left | y \right |\cdot \sin \varphi$

Wstawiamy nasze dane do wzoru:

$\dpi{120} \left | x\times y \right |=2\cdot 3\cdot \sin 150^{\circ}=6\cdot \sin \left ( 180^{\circ} -30^{\circ}\right )=6\cdot \sin 30^{\circ}=6\cdot \frac{1}{2}=3$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 10. Obliczyć długość wektora $\dpi{120} \large x\times y$ wiedząc, że $\dpi{120} \large \left | x \right |=\sqrt{3},\left | y \right |=2$ oraz $\dpi{120} \large x\circ y=-3$ .

Rozwiązanie

Wykorzystujemy własność iloczynu wektorowego:

$\dpi{120} \left | x\times y \right |=\left | x \right |\cdot \left | y \right |\cdot \sin \varphi$

Nie mamy jednak danego kąta $\dpi{120} \varphi$ . Mamy natomiast daną wartość iloczynu skalarnego $\dpi{120} x\circ y=-3$ . Wykorzystamy inny wzór związany z iloczynem skalarnym:

$\dpi{120} x\circ y=\left | x \right |\cdot \left | y \right |\cdot \cos \varphi$

Wstawiamy do niego dane z zadania:

$\dpi{120} -3=\sqrt{3}\cdot 2\cdot \cos \varphi$

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{-3}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ponieważ cosinus jest ujemny, więc kąt $\dpi{120} \varphi$ musi należeć do drugiej ćwiartki. Zatem:

$\dpi{120} \varphi =180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}\Rightarrow \sin \varphi =\sin 150^{\circ}$

$\dpi{120} \sin \varphi =\sin 150^{\circ}=\sin \left ( 180^{\circ}-30^{\circ} \right )= \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$

Inny sposób znalezienia $\dpi{120} \sin \varphi$ w kolejnym zadaniu.

Wstawiamy do wzoru na długość $\dpi{120} x\times y$ :

$\dpi{120} \left | x\times y \right |=\left | x \right |\cdot \left | y \right |\cdot \sin \varphi=\sqrt{3}\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 11. Obliczyć iloczyn skalarny $\dpi{120} \large x\circ y$ wiedząc, że jest ujemny oraz $\dpi{120} \large \left | x \right |=2,\left | y \right |=7$ i $\dpi{120} \large \left | x\times y \right |=3\sqrt{3}$ .

Rozwiązanie

Wykorzystamy wzór:

$\dpi{120} x\circ y=\left | x \right |\cdot \left | y \right |\cdot \cos \varphi$

Długości wektorów mamy podane w zdaniu, nie znamy kąta $\dpi{120} \varphi$ . Obliczymy go wykorzystując fakt, że $\dpi{120} \left | x\times y \right |=3\sqrt{3}$ . Zastosujmy wzór:

$\dpi{120} \left | x\times y \right |=\left | x \right |\cdot \left | y \right |\cdot \sin \varphi$

Wstawmy nasze dane do tego wzoru:

$\dpi{120} 3\sqrt{3}=2\cdot 7\cdot \sin \varphi$

$\dpi{120} \sin \varphi =\frac{3\sqrt{3}}{14}$

W poprzednim zadaniu była możliwość wyliczenia bezpośrednio kąta $\dpi{120} \varphi$ z podobnej zależności. Tutaj musielibyśmy korzystać z tablic i przybliżonych wartości funkcji sinus, ale to nas nie interesuje. Aby obliczyć $\dpi{120} \cos \varphi$ skorzystamy z jedynki trygonometrycznej:

$\dpi{120} \sin ^{2}\varphi +\cos ^{2}\varphi =1$

$\dpi{120} \left ( \frac{3\sqrt{3}}{14} \right )^{2}+\cos ^{2}\varphi =1$

$\dpi{120} \frac{9\cdot 3}{196}+\cos ^{2}\varphi =1$

$\dpi{120} \cos ^{2}\varphi =1-\frac{27}{196}$

$\dpi{120} \cos ^{2}\varphi =\frac{169}{196}$

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{13}{14}\; \vee \; \cos \varphi =-\frac{13}{14}$

W treści zadania jest powiedziane, że iloczyn skalarny ma być ujemny. Ujemność wynika z wartości funkcji cosinus (długości wektorów nie mogą być ujemne). Zatem my wybieramy:

$\dpi{120} \cos \varphi =-\frac{13}{14}$

Wstawiamy do wzoru:

$\dpi{120} x\circ y=\left | x \right |\cdot \left | y \right |\cdot \cos \varphi=2\cdot 7\cdot \left ( -\frac{13}{14} \right )=-13$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 12. Równoległobok rozpięty na wektorach $\dpi{120} \large u$ i $\dpi{120} \large v$ ma pole $\dpi{120} \large P_{r}\left ( u,v \right )=12.$ Obliczyć pole równoległoboku rozpiętego na wektorach $\dpi{120} \large u+3v$ i $\dpi{120} \large 2u-v.$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy tutaj fakt, że pole równoległoboku rozpiętego na wektorach $\dpi{120} x$ i $\dpi{120} y$ wyraża się wzorem:

$\dpi{120} P_{r}\left ( x,y \right )=\left | x\times y \right |$

My mamy policzyć pole równoległoboku rozpiętego na wektorach $\dpi{120} u+3v$ i $\dpi{120} 2u-v.$ Zatem:

$\dpi{120} P_{r}\left ( u+3v,2u-v \right )=\left | \left ( u+3v \right ) \times \left ( 2u-v \right )\right |$

Policzmy iloczyn wektorowy $\dpi{120} \left ( u+3v \right )\times \left ( 2u-v \right )$ korzystając z własności iloczynu wektorowego:

1) $\dpi{120} x\times y=-\left ( y\times x \right )$ – antyprzemienność

2) $\dpi{120} x\times \left ( y+z \right )=\left ( x\times y \right )+\left ( x\times z \right )$

3) $\dpi{120} \left (\alpha x \right )\times y=\alpha \left ( x\times y \right )$

Mamy:

$\dpi{120} \left ( u+3v \right )\times \left ( 2u-v \right )=2\overset{=0}{\overbrace{\left ( u\times u \right )}}-\left ( u\times v \right )+6\overset{=-\left ( u\times v \right )}{\overbrace{\left ( v\times u \right )}}-3\overset{=0}{\overbrace{\left ( v\times v \right )}}=$

$\dpi{120} =-\left ( u\times v \right )-6\left ( u\times v \right )=-7\left ( u\times v \right )$

Pamiętajmy, iloczyn wektorowy jest antyprzemienny (spójrz wł.1)) w odróżnieniu od iloczynu skalarnego, który jest przemienny. Ponadto, jeżeli wektory są równoległe, to ich iloczyn wektorowy jest równy zero. Stąd $\dpi{120} u\times u=v\times v=0$ .

Wracamy do wzoru na pole równoległoboku:

$\dpi{120} P_{r}\left ( u+3v,2u-v \right )=\left | \left ( u+3v \right ) \times \left ( 2u-v \right )\right |=\left | -7\cdot \left ( u\times v \right ) \right |=$

$\dpi{120} =7\cdot \left | u\times v \right |=7\cdot 12=82$

Ostatnia równość wynika z tego, że $\dpi{120} P_{r}\left ( u,v \right )=12=\left | u\times v \right |$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 13. Dane są wektory $\dpi{120} \large u,v$ o długościach $\dpi{120} \large \left | u \right |=2,\left | v \right |=3$ tworzące kąt $\dpi{120} \large 120^{\circ}.$ Znaleźć pole równoległoboku rozpiętego na wektorach $\dpi{120} \large u-2v$ i $\dpi{120} \large 3u+2v.$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy tutaj fakt, że pole równoległoboku rozpiętego na wektorach $\dpi{120} x$ i $\dpi{120} y$ wyraża się wzorem:

$\dpi{120} P_{r}\left ( x,y \right )=\left | x\times y \right |$

My mamy policzyć pole równoległoboku rozpiętego na wektorach $\dpi{120} u-2v$ i $\dpi{120} 3u+2v.$ Zatem:

$\dpi{120} P_{r}\left ( u-2v,3u+2v \right )=\left | \left ( u-2v \right ) \times \left ( 3u+2v \right )\right |$

Policzmy iloczyn wektorowy $\dpi{120} \left ( u-2v \right )\times \left ( 3u+2v \right )$ korzystając z własności iloczynu wektorowego:

1) $\dpi{120} x\times y=-\left ( y\times x \right )$ – antyprzemienność

2) $\dpi{120} x\times \left ( y+z \right )=\left ( x\times y \right )+\left ( x\times z \right )$

3) $\dpi{120} \left (\alpha x \right )\times y=\alpha \left ( x\times y \right )$

Mamy:

$\dpi{120} \left ( u-2v \right )\times \left ( 3u+2v \right )=3\overset{=0}{\overbrace{\left ( u\times u \right )}}+2\left ( u\times v \right )-6\overset{=-\left ( u\times v \right )}{\overbrace{\left ( v\times u \right )}}-4\overset{=0}{\overbrace{\left ( v\times v \right )}}=$

$\dpi{120} =2\left ( u\times v \right )+6\left ( u\times v \right )=8\left ( u\times v \right )$

Wracamy do wzoru na pole równoległoboku:

$\dpi{120} P_{r}\left ( u-2v,3u+2v \right )=\left | \left ( u-2v \right ) \times \left ( 3u+2v \right )\right |=\left | 8\cdot \left ( u\times v \right ) \right |=$

$\dpi{120} =8\cdot \left | u\times v \right |=8\cdot \left | u \right |\cdot \left | v \right |\cdot \sin \varphi=8\cdot 2\cdot 3\cdot \sin 120^{\circ}=$

$\dpi{120} =48\cdot \sin \left ( 180^{\circ} -60^{\circ}\right )=48\cdot \sin 60^{\circ}=48\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 14. Czy punkty $\dpi{120} \large A,B,C,D$ leżą w jednej płaszczyźnie?

1) $\dpi{120} A=\left ( 0,3,6 \right ),B=\left ( -2,3,1 \right ),C=\left ( 4,2,-3 \right ),D=\left ( 5,0,2 \right ),$

Rozwiązanie

Aby sprawdzić, czy 4 punkty leżą w jednej płaszczyźnie, należy zbudować 3 wektory zaczepione w jednym punkcie i sprawdzić czy są współpłaszczyznowe. Sprowadza się to do policzenia ich iloczynu mieszanego. Jeżeli jego wartość jest równa zero, to wektory są współpłaszczyznowe. Jeżeli zaś jest różna od zera, to wektory nie są współpłaszczyznowe, czyli punkty nie leżą w jednej płaszczyźnie.

Wzór na iloczyn mieszany wektorów $\dpi{120} x=\left [ x_{1}, x_{2}, x_{3} \right ]$ , $\dpi{120} y=\left [ y_{1}, y_{2}, y_{3} \right ]$ i $\dpi{120} z=\left [ z_{1}, z_{2}, z_{3} \right ]$

$\dpi{120} \left ( x,y,z \right )=\begin{vmatrix} x_{1} & x_{2} &x_{3} \\ y_{1} & y_{2} &y_{3} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \end{vmatrix}.$

Budujemy wektory $\dpi{120} \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ :

$\dpi{120} \overrightarrow{AB}=\left [ -2-0,3-3,1-6 \right ]=\left [ -2,0,-5 \right ]$

$\dpi{120} \overrightarrow{AC}=\left [ 4-0,2-3,-3-6 \right ]=\left [ 4,-1,-9 \right ]$

$\dpi{120} \overrightarrow{AD}=\left [ 5-0,0-3,2-6 \right ]=\left [ 5,-3,-4 \right ]$

Liczymy ich iloczyn mieszany:

$\dpi{120} \left ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ,\overrightarrow{AD}\right )=\begin{vmatrix} -2 & 0& -5\\ 4 &-1 & -9\\ 5 & -3 & -4 \end{vmatrix}\begin{matrix} -2 & 0\\ 4&-1 \\ 5& -3 \end{matrix}=-8+0+60-25+54-0=81$

Jest to wartość różna od zera, a więc punkty nie leżą w jednej płaszczyźnie.

Ponadto, zapamiętajmy, że wartość bezwzględna z iloczynu mieszanego wektorów jest równa objętości równoległościanu rozpiętego na tych wektorach. U nas objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach $\dpi{120} \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ jest równa 81.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} A=\left ( -3,2,2 \right ),B=\left ( 9,1,1 \right ),C=\left (3,2,-3 \right ),D=\left ( 1,1,1\right ).$

Rozwiązanie

Wzór na iloczyn mieszany wektorów $\dpi{120} x=\left [ x_{1}, x_{2}, x_{3} \right ]$ , $\dpi{120} y=\left [ y_{1}, y_{2}, y_{3} \right ]$ i $\dpi{120} z=\left [ z_{1}, z_{2}, z_{3} \right ]$

$\dpi{120} \left ( x,y,z \right )=\begin{vmatrix} x_{1} & x_{2} &x_{3} \\ y_{1} & y_{2} &y_{3} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \end{vmatrix}.$

Budujemy wektory $\dpi{120} \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ :

$\dpi{120} \overrightarrow{AB}=\left [ 9-\left ( -3 \right ),1-2,1-2 \right ]=\left [ 12,-1,-1 \right ]$

$\dpi{120} \overrightarrow{AC}=\left [3-\left ( -3 \right ),2-2,-3-2 \right ]=\left [ 6,0,-5 \right ]$

$\dpi{120} \overrightarrow{AD}=\left [1-\left ( -3 \right ),1-2,1-2 \right ]=\left [ 4,-1,-1\right ]$

Liczymy ich iloczyn mieszany:

$\dpi{120} \left ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ,\overrightarrow{AD}\right )=\begin{vmatrix} 12 & -1& -1\\ 6 &0 & -5\\ 4 & -1 & -1 \end{vmatrix}\begin{matrix} 12 & -1\\ 6&0 \\ 4& -1 \end{matrix}=-0+20+6-0-60-6=-40$

Jest to wartość różna od zera, a więc punkty nie leżą w jednej płaszczyźnie.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 15. Obliczyć objętość oraz długość wysokości spuszczonej z wierzchołka $\dpi{120} \large D$ , czworościanu o wierzchołkach:

1) $\dpi{120} A=\left ( 2,0,1 \right ),B=\left ( 1,3,2 \right ),C=\left (-1,2,0 \right ),D=\left ( 2,3,8\right ),$

Rozwiązanie

1. Objętość czworościanu zbudowanego na wektorach $\dpi{120} x=\left [ x_{1}, x_{2}, x_{3} \right ]$ , $\dpi{120} y=\left [ y_{1}, y_{2}, y_{3} \right ]$ i $\dpi{120} z=\left [ z_{1}, z_{2}, z_{3} \right ]$ wyraża się wzorem:

$\dpi{120} V_{cz}=\frac{1}{6}\left |\left ( x,y,z \right ) \right |=\frac{1}{6}\cdot \left |\begin{vmatrix} x_{1} & x_{2} &x_{3} \\ y_{1} & y_{2} &y_{3} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \end{vmatrix} \right |.$

Zbudujmy wektory $\dpi{120} \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ :

$\dpi{120} \overrightarrow{AB}=\left [ 1-2,3-0,2-1 \right ]=\left [ -1,3,1 \right ]$

$\dpi{120} \overrightarrow{AC}=\left [-1-2,2-0,0-1 \right ]=\left [ -3,2,-1\right ]$

$\dpi{120} \overrightarrow{AD}=\left [2-2,3-0,8-1 \right ]=\left [ 0,3,7\right ]$

Liczymy ich iloczyn mieszany:

$\dpi{120} \left ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ,\overrightarrow{AD}\right )=\begin{vmatrix} -1 & 3& 1\\ -3 &2 & -1\\ 0& 3 & 7 \end{vmatrix}\begin{matrix} -1 & 3\\ -3&2 \\ 0& 3 \end{matrix}=-14+0-9-0-3+63=37$

Zatem:

$\dpi{120} V_{cz}=\frac{1}{6}\cdot \left | 37 \right |=\frac{37}{6}$

2. Teraz liczymy wysokość tego czworościanu spuszczoną z wierzchołka $\dpi{120} D$ . W tym celu wykorzystamy szkolny wzór na objętość ostrosłupa (czworościan to ostrosłup o podstawie trójkąta):

$\dpi{120} V_{O}=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H$

W naszym przypadku przyjmie on postać:

$\dpi{120} V_{cz}=\frac{1}{3}\cdot P_{\bigtriangleup }\cdot H_{D}$

Objętość policzyliśmy w punkcie 1. Musimy jeszcze policzyć pole trójkąta z podstawy tego czworościanu. Robimy to analogicznie jak w zadaniu 8. wykorzystując iloczyn wektorowy.

Pole trójkąta liczymy ze wzoru:

$\dpi{120} P_{\bigtriangleup }=\frac{1}{2}\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \right |$

Stąd:

$\dpi{120} \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix} e_{1} &e_{2} & e_{3}\\ -1 &3 &1 \\ -3 & 2& -1 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ -1 &3 \\ -3& 2\end{matrix}=$

$\dpi{120} =-3e_{1}-3e_{2}-2e_{3}+9e_{3}-2e_{1}-e_{2}=$

$\dpi{120} =-5e_{1}-4e_{2}+7e_{3}=\left [ -5,-4,7 \right ]$

Wstawiając do pola trójkąta otrzymujemy:

$\dpi{120} P_{\bigtriangleup }=\frac{1}{2}\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \right |=\frac{1}{2}\left | \left [ -5,-4,7\right ] \right |=\frac{1}{2}\sqrt{\left ( -5 \right )^{2}+\left ( -4 \right )^{2}+7^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{90}=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{10}=\frac{3}{2}\sqrt{10}$

Możemy teraz wrócić do wzoru na objętość czworościanu:

$\dpi{120} V_{cz}=\frac{1}{3}\cdot P_{\bigtriangleup }\cdot H_{D}$

$\dpi{120} \frac{37}{6}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}\sqrt{10}\cdot H_{D}$

$\dpi{120} \frac{37}{6}=\frac{1}{2}\sqrt{10}\cdot H_{D}$

$\dpi{120} H_{D}=\frac{37}{3\sqrt{10}}$

Ostatecznie objętość wynosi $\dpi{120} \frac{37}{6}$ ,zaś wysokość $\dpi{120} \frac{37}{3\sqrt{10}}$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} A=\left ( 2,1,-1 \right ),B=\left (0,1,3\right ),C=\left (-2,3,1\right ),D=\left ( 0,3,2\right ).$

Rozwiązanie

Zbudujmy wektory $\dpi{120} \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ :

$\dpi{120} \overrightarrow{AB}=\left [ 0-2,1-1,3-\left ( -1 \right ) \right ]=\left [ -2,0,4 \right ]$

$\dpi{120} \overrightarrow{AC}=\left [-2-2,3-1,1-\left ( -1 \right ) \right ]=\left [ -4,2,2\right ]$

$\dpi{120} \overrightarrow{AD}=\left [0-2,3-1,2-\left ( -1 \right ) \right ]=\left [ -2,2,3\right ]$

Liczymy ich iloczyn mieszany:

$\dpi{120} \left ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ,\overrightarrow{AD}\right )=\begin{vmatrix} -2 & 0& 4\\ -4 &2 & 2\\ -2& 2 & 3 \end{vmatrix}\begin{matrix} -2 & 0\\ -4&2 \\ -2& 2 \end{matrix}=-12+0-32+16+8-0=-20$

Zatem:

$\dpi{120} V_{cz}=\frac{1}{6}\cdot \left | -20 \right |=\frac{10}{3}$

$\dpi{120} V_{O}=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H$

W naszym przypadku przyjmie on postać:

$\dpi{120} V_{cz}=\frac{1}{3}\cdot P_{\bigtriangleup }\cdot H_{D}$

Objętość policzyliśmy w punkcie 1. Musimy jeszcze policzyć pole trójkąta z podstawy tego czworościanu. Robimy to analogicznie jak w zadaniu 8. wykorzystując iloczyn wektorowy.

Pole trójkąta liczymy ze wzoru:

$\dpi{120} P_{\bigtriangleup }=\frac{1}{2}\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \right |$

Stąd:

$\dpi{120} \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix} e_{1} &e_{2} & e_{3}\\ -2 &0 &4 \\ -4 & 2& 2 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ -2 &0 \\ -4& 2\end{matrix}=$

$\dpi{120} =0e_{1}-16e_{2}-4e_{3}+0e_{3}-8e_{1}+4e_{2}=$

$\dpi{120} =-8e_{1}-12e_{2}-4e_{3}=\left [ -8,-12,-4 \right ]$

Wstawiając do pola trójkąta otrzymujemy:

$\dpi{120} P_{\bigtriangleup }=\frac{1}{2}\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \right |=\frac{1}{2}\left | \left [ -8,-12,-4\right ] \right |=\frac{1}{2}\sqrt{\left ( -8 \right )^{2}+\left ( -12 \right )^{2}+\left ( -4 \right )^{2}}=$