Równania w dziedzinie zespolonej – zadania

Data wpisu 18 października 2020 przez Joanna Piasecka

Przed przystąpieniem do zadań warto zapoznać się ze schematami rozwiązań przedstawionych w zakładce Wzory. tutaj Mamy pięć zadań. W pierwszym pojawiają się równania wykorzystujące wcześniejsze pojęcia z liczb zespolonych. W drugim rozwiązujemy równania kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych, w trzecim równania kwadratowe o współczynnikach zespolonych, zaś kolejne to równania wyższych stopni. Zadanie 1. Rozwiązać równania: 1) Read more about Równania w dziedzinie zespolonej – zadania[…]

Równania w dziedzinie zespolonej – wzory

Data wpisu 18 października 2020 przez Joanna Piasecka

Równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych Algorytm rozwiązania: 1. Liczymy Dostajemy liczbę rzeczywistą. Jeżeli: a) , rozwiązaniami są liczby rzeczywiste. Liczymy jak w szkole. Koniec zadania. b) , szukamy rozwiązań zespolonych. Przechodzimy do dalszych punktów. 2. Wyróżnik ma wówczas postać: Zapisujemy go jako 3. Obliczamy 4. Obliczamy pierwiastki ze wzorów: Do wzorów wstawiamy tylko dodatni pierwiastek Read more about Równania w dziedzinie zespolonej – wzory[…]

Równania w dziedzinie zespolonej – teoria

Data wpisu 3 października 2019 przez Joanna Piasecka

RÓWNANIA STOPNIA DRUGIEGO o współczynnikach zespolonych rozwiązujemy standardowo, tzn. obliczamy wyróżnik (deltę) i stosujemy znane ze szkoły wzory na pierwiastki równania kwadratowego W szkole uczono, że gdy to rozwiązań brak. Jest to prawda w liczbach rzeczywistych. My, już wiemy, że w liczbach zespolonych istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Zatem równanie kwadratowe ma zawsze dwa Read more about Równania w dziedzinie zespolonej – teoria[…]

Potęgowanie liczb zespolonych – teoria

Data wpisu 3 października 2019 przez Joanna Piasecka

Postać trygonometryczna liczb zespolonych jest szczególnie przydatna przy podnoszeniu liczby zespolonej do potęgi i obliczaniu pierwiastka tej liczby. Wróćmy do wzoru. Podstawmy , otrzymujemy: Uogólnijmy powyższy wzór (indukcja matematyczna) na dowolną liczbę czynników. Otrzymujemy wzór na n-tą (n – liczba naturalna) potęgę liczby zespolonej zwany wzorem de Moivre’a: Zapraszamy do zadań! tutaj

Potęgowanie liczb zespolonych – zadania

Data wpisu 20 września 2019 przez Joanna Piasecka

Polecamy zajrzeć do zakładki Wzory tutaj, gdzie znajdziemy wszystkie potrzebne wzory, jak również algorytm na potęgowanie liczb zespolonych. Zadanie 1. Korzystając ze wzoru de Moivre’a, obliczyć: Wykorzystujemy wzór: b) e) f) g) h) i)

Potęgowanie liczb zespolonych – wzory

Data wpisu 11 października 2020 przez Joanna Piasecka

Wzór de Moivre’a: Fakty potrzebne do potęgowania liczb zespolonych: 1) funkcje sinus oraz cosinus są okresowe o okresie 2) wzory redukcyjne (minimalny zestaw): 3) wszystkie wiadomości z zakładki Wzory – postać trygonometryczna liczby zespolonej Algorytm podnoszenia liczby zespolonej do potęgi Zapraszamy do zadań! tutaj

Pierwiastkowanie liczb zespolonych-zadania

Data wpisu 22 października 2020 przez Joanna Piasecka

Mamy 3 zadania. W zadaniu 1 liczymy pierwiastki ze wzoru na pierwiastki z liczby zespolonej. Dlatego ważną rzeczą jest, aby zapoznać się z zakładką Wzory tutaj, gdyż podane są tam wszystkie niezbędne wzory i wskazówki ułatwiające liczenie. Zadanie 1. Oblicz pierwiastki: W zadaniu wykorzystujemy wzór: c) W kolejnym zadaniu liczymy wyłącznie pierwiastki kwadratowe, które przydadzą Read more about Pierwiastkowanie liczb zespolonych-zadania[…]

Pierwiastkowanie liczb zespolonych-wzory

Data wpisu 3 października 2019 przez Joanna Piasecka

Niech . Pierwiastki -tego stopnia liczby zespolonej mają postać: gdzie: – moduł liczby zespolonej, – kąt, tzw. argument główny liczby zespolonej, obliczamy z zależności: Potrzebne wszystkie fakty z wcześniejszych zakładek Wzory tutaj z działu Liczby zespolone. Algorytm liczenia pierwiastka stopnia liczby zespolonej Zapraszamy do zadań! tutaj

Pierwiastkowanie liczb zespolonych-teoria

Data wpisu 3 października 2019 przez Joanna Piasecka

Niech . Pierwiastkiem stopnia -tego liczby zespolonej nazywamy każdą liczbę zespoloną o tej własności, że Na podstawie wzoru de Moivre’a mamy, że: Ostatnia równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy: oraz: Tak więc pierwiastki -tego stopnia liczby zespolonej mają postać: Pamiętajmy, zawsze istnieje dokładnie różnych pierwiastków stopnia z liczby zespolonej Nie zawsze daje się w sposób dokładny (bez przybliżeń) obliczyć pierwiastki z powyższego wzoru. Read more about Pierwiastkowanie liczb zespolonych-teoria[…]

Postać trygonometryczna liczb zespolonych-zadania

Data wpisu 11 października 2019 przez Joanna Piasecka

Zanim przejdziemy do zadań należy zapoznać się z zakładką Wzory do tego tematu. tutaj Znajdują się tam wszystkie potrzebne wzory, jak również tabele niezbędne do znajdowania postaci trygonometrycznej. Podany jest również algorytm sprowadzania liczby zespolonej do postaci trygonometrycznej. Zadanie 1. Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczby zespolone: W zadaniu korzystamy ze wzoru na postać trygonometryczną liczby Read more about Postać trygonometryczna liczb zespolonych-zadania[…]