Liczby zespolone, równania, zadania

Przed przystąpieniem do zadań warto zapoznać się ze schematami rozwiązań przedstawionych w zakładce Wzory. tutaj Mamy pięć zadań. W pierwszym pojawiają się równania wykorzystujące wcześniejsze pojęcia z liczb zespolonych. W drugim rozwiązujemy równania kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych, w trzecim równania kwadratowe o współczynnikach zespolonych, zaś kolejne to równania wyższych stopni.

Zadanie 1. Rozwiązać równania:

1) $\dpi{120} z\cdot \bar{z}+\left ( z-\bar{z} \right )=3+2i$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy postać algebraiczną liczby zespolonej $\dpi{120} z=a+bi$ , ponadto liczba sprzężona to $\dpi{120} \bar{z}=a-bi$ . Wstawiamy powyższe zależności do równania.

$\dpi{120} \left ( a+bi \right )\cdot \left ( a-bi \right )+\left [ a+bi-\left ( a-bi \right ) \right ]=3+2i$

$\dpi{120} a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}+\left ( a+bi-a+bi \right )=3+2i$

$\dpi{120} {\color{Red} a^{2}+b^{2}}+{\color{Blue} 2b}i={\color{Red} 3}+{\color{Blue} 2}i$

Porównujemy część rzeczywistą z lewej strony równania z częścią rzeczywistą prawej strony równania. To samo z częścią urojoną. Mamy:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=3\; \; \; \; \; \; \\ 2b=2\Rightarrow b=1\end{matrix}\right.$

$\dpi{120} a^{2}+1^{2}=3$

$\dpi{120} a^{2}=2$

$\dpi{120} a=-\sqrt{2},\; \; \; a=\sqrt{2}$

Stąd rozwiązaniami powyższego równania są $\dpi{120} z_{1}=-\sqrt{2}+i$ oraz $\dpi{120} z_{2}=\sqrt{2}+i$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} i\cdot \left ( z+\bar{z }\right )+i\cdot \left ( z-\bar{z }\right )=2i-3$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy postać algebraiczną liczby zespolonej $\dpi{120} z=a+bi$ , ponadto liczba sprzężona to $\dpi{120} \bar{z}=a-bi$ . Wstawiamy powyższe zależności do równania.

$\dpi{120} i\cdot \left ( a+bi+a-bi \right )+i\cdot \left [ a+bi-\left ( a-bi \right ) \right ]=2i-3$

$\dpi{120} i\cdot 2a+i\cdot 2bi=2i-3$

$\dpi{120} 2ai+2bi^{2}=2i-3$

$\dpi{120} {\color{Red} -2b}+{\color{Blue} 2a}i={\color{Red} -3}+{\color{Blue} 2}i$

Porównujemy część rzeczywistą z lewej strony równania z częścią rzeczywistą prawej strony równania. To samo z częścią urojoną. Mamy:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} -2b=-3\Rightarrow b=\frac{3}{2} \\ 2a=2\Rightarrow a=1\end{matrix}\right.$

Stąd rozwiązaniem powyższego równania jest $\dpi{120} z=1+\frac{3}{2}i$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} z^{2}=\bar{z}$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy postać algebraiczną liczby zespolonej $\dpi{120} z=a+bi$ , stąd liczba sprzężona to $\dpi{120} \bar{z}=a-bi$ . Wstawiamy powyższe zależności do równania.

$\dpi{120} \left ( a+bi \right )^{2}=a-bi$

$\dpi{120} a^{2}+2abi+b^{2}i^{2}=a-bi$

$\dpi{120} {\color{Red} a^{2}}+{\color{Blue} 2ab}i{\color{Red} -b^{2}}={\color{Red} a}{\color{Blue} -b}i$

Porównujemy część rzeczywistą z lewej strony równania z częścią rzeczywistą prawej strony równania. To samo z częścią urojoną. Mamy:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} a^{2}-b^{2}=a \\ 2ab=-b\; \; \; \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} a^{2}-b^{2}=a \\ 2ab+b=0 \end{matrix}\right.$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} a^{2}-b^{2}=a \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ b\left ( 2a+1 \right ) =0\Rightarrow b=0\: \vee \: a=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$

Dla $\dpi{120} b=0$ otrzymujemy:

$\dpi{120} a^{2}=a$

$\dpi{120} a^{2}-a=0$

$\dpi{120} a\left ( a-1 \right )=0\Rightarrow a=0\; \vee \; a=1$

Otrzymaliśmy w tym przypadku dwa rozwiązania $\dpi{120} z_{1}=0$ oraz $\dpi{120} z_{2}=1$ .

2. Dla $\dpi{120} a=-\frac{1}{2}$ mamy:

$\dpi{120} \left ( -\frac{1}{2} \right )^{2}-b^{2}=-\frac{1}{2}$

$\dpi{120} \frac{1}{4}-b^{2}=-\frac{1}{2}$

$\dpi{120} b^{2}-\frac{3}{4}=0\Rightarrow b=-\frac{\sqrt{3}}{2}\; \vee \; b=\frac{\sqrt{3}}{2}$

W tym przypadku mamy również dwa rozwiązania $\dpi{120} z_{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$ oraz $\dpi{120} z_{4}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ostatecznie, rozwiązaniami powyższego równania są $\dpi{120} z_{1}=0$ , $\dpi{120} z_{2}=1$ , $\dpi{120} z_{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\dpi{120} z_{4}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Rozwiązać w dziedzinie zespolonej równania kwadratowe (o współczynnikach rzeczywistych):

Pamiętajmy, że jako rozwiązanie musimy dostać liczby sprzężone.

1) $\dpi{120} z^{2}-2z+5=0,$

Rozwiązanie

1. Liczymy wyróżnik:

$\dpi{120} \Delta =b^{2}-4ac=\left ( -2 \right )^{2}-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16$

2. Zapisujemy wyróżnik jako:

$\dpi{120} \Delta =-16=16\cdot \left ( -1 \right )=16i^{2}$

3. Liczymy $\dpi{120} \sqrt{\Delta }:$

$\dpi{120} \sqrt{\Delta }=\sqrt{16i^{2}}=\pm 4i$

4. Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:

$\dpi{120} z_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{2-4i}{2}=\frac{2\left ( 1-2i \right )}{2}=1-2i,$

$\dpi{120} z_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{2+4i}{2}=\frac{2\left ( 1+2i \right )}{2}=1+2i$

Pierwiastki naszego równania są liczbami sprzężonymi.
Do wzorów wstawiamy tylko dodatni pierwiastek z $\dpi{120} \Delta$ . Wstawiając ujemny dostajemy te same rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} z^{2}+z+1=0,$

Rozwiązanie

1. Liczymy wyróżnik:

$\dpi{120} \Delta =b^{2}-4ac=1^{2}-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3$

2. Zapisujemy wyróżnik jako:

$\dpi{120} \Delta =-3=3\cdot \left ( -1 \right )=3i^{2}$

3. Liczymy $\sqrt{\Delta }$ :

$\dpi{120} \sqrt{\Delta }=\sqrt{3i^{2}}=\pm i\sqrt{3}$

4. Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:

$\dpi{120} z_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\dpi{120} z_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Pierwiastki naszego równania są liczbami sprzężonymi.
Do wzorów wstawiamy tylko dodatni pierwiastek z $\dpi{120} \Delta$ . Wstawiając ujemny dostajemy te same rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} z^{2}+3z+9=0$

Rozwiązanie

1. Liczymy wyróżnik:

$\dpi{120} \Delta =b^{2}-4ac=3^{2}-4\cdot 1\cdot 9=9-36=-27$

2. Zapisujemy wyróżnik jako:

$\dpi{120} \Delta =-27=27\cdot \left ( -1 \right )=27i^{2}$

3. Liczymy $\sqrt{\Delta }$ :

$\dpi{120} \sqrt{\Delta }=\sqrt{27i^{2}}=\pm 3\sqrt{3i}$

4. Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:

$\dpi{120} z_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-3-3i\sqrt{3}}{2}=-\frac{3}{2}-i\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$\dpi{120} z_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{2}=-\frac{3}{2}+i\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Pierwiastki naszego równania są liczbami sprzężonymi.
Do wzorów wstawiamy tylko dodatni pierwiastek z $\dpi{120} \Delta$ . Wstawiając ujemny dostajemy te same rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} 3z^{2}-3z+1=0$

Rozwiązanie

1. Liczymy wyróżnik:

$\dpi{120} \Delta =b^{2}-4ac=\left ( -3 \right )^{2}-4\cdot 3\cdot 1=9-12=-3$

2. Zapisujemy wyróżnik jako:

$\dpi{120} \Delta =-3=3\cdot \left ( -1 \right )=3i^{2}$

3. Liczymy $\sqrt{\Delta }$ :

$\dpi{120} \sqrt{\Delta }=\sqrt{3i^{2}}=\pm \sqrt{3i}$

4. Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:

$\dpi{120} z_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{3-i\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{6}$

$\dpi{120} z_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{3+i\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{6}$

Pierwiastki naszego równania są liczbami sprzężonymi.
Do wzorów wstawiamy tylko dodatni pierwiastek z $\dpi{120} \Delta$ . Wstawiając ujemny dostajemy te same rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

5) $\dpi{120} z^{2}-z+2=0$

Rozwiązanie

1. Liczymy wyróżnik:

$\dpi{120} \Delta =b^{2}-4ac=\left ( -1 \right )^{2}-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7$

2. Zapisujemy wyróżnik jako:

$\dpi{120} \Delta =-7=7\cdot \left ( -1 \right )=7i^{2}$

3. Liczymy $\sqrt{\Delta }$ :

$\dpi{120} \sqrt{\Delta }=\sqrt{7i^{2}}=\pm \sqrt{7i}$

4. Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:

$\dpi{120} z_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{1-i\sqrt{7}}{2}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{7}}{2}$

$\dpi{120} z_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{1+i\sqrt{7}}{2}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{7}}{2}$

Pierwiastki naszego równania są liczbami sprzężonymi.
Do wzorów wstawiamy tylko dodatni pierwiastek z $\dpi{120} \Delta$ . Wstawiając ujemny dostajemy te same rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

6) $\dpi{120} z^{2}+9=0$

Rozwiązanie

Równanie to możemy rozwiązywać analogicznie do poprzednich przykładów, ale jest również inny sposób. Uwaga na popełniany błąd! Często $\dpi{120} z^{2}+9=0$ jest błędnie rozpisywany jako $\dpi{120} \left ( z-3 \right )\cdot \left ( z+3 \right )=0$ , co jest nieprawdą.

Zapiszmy to równanie inaczej:

$\dpi{120} z^{2}-9i^{2}=0$ (pamiętajmy $i^{2}=-1$ )

Korzystamy ze wzoru $\dpi{120} \left ( x-y \right )\left ( x+y \right )=x^{2}-y^{2}$

$\dpi{120} \left ( z-3i \right )\left ( z+3i \right )=0$

$\dpi{120} z_{1}=-3i\; \vee \; z_{2}=3i$

Są to rozwiązania powyższego równania.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

7) $\dpi{120} z^{2}+7=0$

Rozwiązanie

Zapiszmy to równanie jako:

$\dpi{120} z^{2}-7i^{2}=0$ (pamiętajmy $i^{2}=-1$ )

Korzystamy ze wzoru $\dpi{120} \left ( x-y \right )\left ( x+y \right )=x^{2}-y^{2}$

$\dpi{120} \left ( z-\sqrt{7i} \right )\left ( z+\sqrt{7i} \right )=0$

$\dpi{120} z_{1}=-i\sqrt{7}\; \vee \; z_{2}=i\sqrt{7}$

Są to rozwiązania powyższego równania.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 3. Rozwiązać w dziedzinie zespolonej równania kwadratowe (o współczynnikach zespolonych).

Tutaj w rozwiązaniach nie zachodzą żadne zależności.

1) $\dpi{120} z^{2}-3\left ( 1+i \right ) z+5i=0$

Rozwiązanie

1. Liczymy wyróżnik:

$\dpi{120} \Delta =\left [ -3\left ( 1+i \right ) \right ]^{2}-4\cdot 1\cdot 5i=9\left ( 1+2i+i^{2} \right )-20i=18i-20i=-2i$

2. Liczymy $\sqrt{\Delta }=\sqrt{-2i}$ . Mamy $\left | z \right |=2$ , $\varphi =\frac{3}{2}\pi$ . Zatem

$\dpi{120} \sqrt{-2i}=\sqrt{2}\cdot \left ( \cos \frac{\frac{3}{2}\pi +2k\pi }{2}+i\sin \frac{\frac{3}{2}\pi +2k\pi }{2} \right ),\; \; k=0,1$

Czyli dla $k=0$ mamy:

$\dpi{120} \sqrt{-2i}=\sqrt{2}\left ( \cos \frac{3}{4}\pi +i \sin \frac{3}{4} \pi \right )=\sqrt{2}\left ( - \cos \frac{\pi }{4} +i \sin \frac{\pi }{4}\right )=$

$\dpi{120} =\sqrt{2}\left ( -\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \right )=-1+i$

lub

$\dpi{120} \sqrt{-2i}=1-i$ (pierwiastki kwadratowe zawsze różnią się tylko znakiem)

3. Liczymy pierwiastki równania

$\dpi{120} z_{1}=\frac{3\left ( 1+i \right )+1-i}{2}=\frac{3+3i+1-i}{2}=\frac{4+2i}{2}=2+i$

$\dpi{120} z_{2}=\frac{3\left ( 1+i \right )-1+i}{2}=1+2i$

Było to równanie o współczynnikach zespolonych i otrzymaliśmy pierwiastki, które nie są sprzężone.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} z^{2}+\left ( 1-2i \right ) z+1+5i=0$

Rozwiązanie

1. Liczymy wyróżnik:

$\dpi{120} \Delta =\left ( 1-2i \right )^{2}-4\cdot 1\cdot (1+5i)=1-4i+4i^{2}-4-20i=-7-24i$

2. Liczymy $\sqrt{\Delta }=\sqrt{-7-24i}$ .

$\dpi{120} \sqrt{-7-24i}=a+bi$

Aby pozbyć się pierwiastka, podniesiemy stronami równanie do kwadratu:

$\dpi{120} -7-24i=a^{2}+2abi+b^{2}\, i^{2}$

$\dpi{120} -7-24i=a^{2}-b^{2}+2abi$

Przypomnijmy, dwie liczby zespolone są równe, gdy odpowiednie ich części są równe:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} -7=a^{2}-b^{2}\\ -24=2ab\, \! \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

Rozwiązujemy powyższy układ równań. Z drugiego równania wyliczamy np.

$\dpi{120} b=\frac{-24}{2a}=-\frac{12}{a}$

i wstawiamy do pierwszego równania:

$\dpi{120} -7=a^{2}-\left (- \frac{12}{a} \right )^{2}$

$\dpi{120} -7=a^{2}-\frac{144}{a^{2}}$

Mnożąc stronami przez $\dpi{120} a^{2}$ otrzymujemy tzw. równanie dwukwadratowe:

$\dpi{120} a^{4}+7a^{2}-144=0$

wprowadźmy zmienną pomocniczą $\dpi{120} a^{2}=t,\; t\geqslant 0$ :

$\dpi{120} t^{2}+7t-144=0$

Rozwiązaniami powyższego równania są: $\dpi{120} \left ( \Delta =625\: , \sqrt{\Delta }=25 \right )$

$\dpi{120} t_{1}=-16\; \notin D\: \vee \; t_{2}=9\in D$

Wobec tego:

$\dpi{120} a^{2}=9\: \Rightarrow \left ( a_{1}=-3\: \vee \: a_{2}=3 \right )$

Zatem:

$\dpi{120} b_{1}=4\: \vee \: b_{2}=-4$

Podsumowując, szukanymi pierwiastkami są:

$\dpi{120} \sqrt{\Delta }=\pm \left ( 3-4i \right )$ (pierwiastki kwadratowe zawsze różnią się tylko znakiem)

3. Liczymy pierwiastki równania

$\dpi{120} z_{1}=\frac{-\left ( 1-2i \right )-\left ( 3-4i \right )}{2}=\frac{-1+2i-3+4i}{2}=\frac{-4+6i}{2}=-2+3i$

$\dpi{120} z_{2}=\frac{-\left ( 1-2i \right )+\left ( 3-4i \right )}{2}=\frac{-1+2i+3-4i}{2}=\frac{2-2i}{2}=1-i$

Było to równanie o współczynnikach zespolonych i otrzymaliśmy pierwiastki, które nie są sprzężone.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} z^{2}+\left ( -1+i \right ) z+2+i=0$

Rozwiązanie

1. Liczymy wyróżnik:

$\dpi{120} \Delta =\left ( -1+i \right )^{2}-4\cdot 1\cdot \left ( 2+i \right )=1-2i+i^{2}-8-4i=-8-6i$

2. Liczymy $\dpi{120} \sqrt{\Delta }=\sqrt{-8-6i}$

$\dpi{120} \sqrt{-8-6i}=a+bi\; /\left (\; \right )^{2}$

$\dpi{120} -8-6i=a^{2}+2abi+b^{2}i^{2}$

$\dpi{120} -8-6i=a^{2}-b^{2}+2abi$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} -8=a^{2}-b^{2}\\ -6=2ab\; \; \; \; \; \, \end{matrix}\right.$

Rozwiązujemy powyższy układ równań. Z drugiego równania wyliczamy np.

$\dpi{120} b=\frac{-6}{2a}=-\frac{3}{a}$

i wstawiamy do pierwszego równania:

$\dpi{120} -8=a^{2}-\left ( -\frac{3}{a} \right )^{2}$

$\dpi{120} -8=a^{2}-\frac{9}{a^{2}}\; /\cdot a^{2}$

$\dpi{120} a^{4}+8a^{2}-9=0$

Wprowadźmy zmienną pomocniczą $\dpi{120} a^{2}=t,\; t\geqslant 0$ :

$\dpi{120} t^{2}+8t-9=0$

Rozwiązaniami powyższego równania są: $\dpi{120} \left ( \Delta =100,\; \sqrt{\Delta}=10 \right )$

$\dpi{120} t_{1}=-9\; \notin D\; \vee \; t_{2}=1\in D$

Wobec tego:

$\dpi{120} a^{2}=1\: \Rightarrow \left ( a_{1} =-1\: \vee \: a_{2}=1\right )$

Zatem $\dpi{120} b_{1}=3\: \vee \: b_{2}=-3$

Podsumowując, szukanymi pierwiastkami są:

$\dpi{120} \sqrt{\Delta }=\pm \left ( 1-3i \right )$ (pierwiastki kwadratowe zawsze różnią się tylko znakiem)

3. Liczymy pierwiastki równania

$\dpi{120} z_{1}=\frac{-\left ( -1+i \right )-\left ( 1-3i \right )}{2}=\frac{1-i-1+3i}{2}=\frac{2i}{2}=i$

$\dpi{120} z_{2}=\frac{-\left ( -1+i \right )+\left ( 1-3i \right )}{2}=\frac{1-i+1-3i}{2}=\frac{2-4i}{2}=1-2i$ .

Było to równanie o współczynnikach zespolonych i otrzymaliśmy pierwiastki, które nie są sprzężone.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} z^{2}+\left ( 1+i \right ) z+i=0$

Rozwiązanie

1. Liczymy wyróżnik:

$\dpi{120} \Delta =\left ( 1+i \right )^{2}-4\cdot 1\cdot i=1+2i+i^{2}-4i=-2i$

2. Liczymy $\dpi{120} \sqrt{\Delta }=\sqrt{-2i}$ . Mamy: $\dpi{120} \left | z \right |=2$ , $\dpi{120} \varphi =\frac{3}{2}\pi$ . Zatem

$\dpi{120} \sqrt{-2i}=\sqrt{2}\cdot \left ( \cos \frac{\frac{3}{2}\pi +2k\pi }{2}+i \sin \frac{\frac{3}{2}\pi +2k\pi }{2} \right ),\; \; k=0,1$

Czyli dla $\dpi{120} k=0$ mamy:

$\dpi{120} \sqrt{-2i}=\sqrt{2}\left ( \cos \frac{3}{4}\pi +i \sin \frac{3}{4}\pi \right )=\sqrt{2}\left ( -\cos \frac{\pi }{4}+i \sin \frac{\pi }{4}\right )=$

$\dpi{120} =\sqrt{2}\left ( -\frac{\sqrt{2}}{2} +i\frac{\sqrt{2}}{2}\right )=-1+i$

lub

$\dpi{120} \sqrt{-2i}=1-i$ (pierwiastki kwadratowe zawsze różnią się tylko znakiem)

3. Liczymy pierwiastki równania

$\dpi{120} z_{1}=\frac{-\left ( 1+i \right )-\left ( 1-i \right )}{2}=\frac{-1-i-1+i}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

$\dpi{120} z_{2}=\frac{-\left ( 1+i \right )+\left ( 1-i \right )}{2}=\frac{-1-i+1-i}{2}=\frac{-2i}{2}=-i$

Było to równanie o współczynnikach zespolonych i otrzymaliśmy pierwiastki, które nie są sprzężone.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

5) $\dpi{120} \left ( z-2 \right )^{2}-2\cdot \left ( z-2 \right )+1+2i=0$

Rozwiązanie

Wykonajmy działania w powyższym równaniu. (Innym sposobem rozwiązania może być wprowadzenie nowej zmiennej $w=z-2$ i rozwiązanie równania $w^{2}-2w+1+2i=0$ )

$\dpi{120} z^{2}-4z+4-2z+4+1+2i=0$

$\dpi{120} z^{2}-6z+9+2i=0$

1. Liczymy wyróżnik

$\dpi{120} \Delta =\left ( -6 \right )^{2}-4\cdot 1\cdot \left ( 9+2i \right )=36-36-8i=-8i$

2. Wiemy z poprzednich zadań, że $\sqrt{-2i}=\pm \left ( 1-i \right )$ , więc

$\dpi{120} \sqrt{-8i}=\sqrt{4\cdot \left ( -2i \right )}=2\sqrt{-2i}$

Mamy zatem:

$\dpi{120} \sqrt{-8i}=\pm 2\left ( 1-i \right )$

3. Liczymy pierwiastki równania

$\dpi{120} z_{1}=\frac{6-2\left ( 1-i \right )}{2}=\frac{6-2+2i}{2}=\frac{4+2i}{2}=2+i$

$\dpi{120} z_{2}=\frac{6+2\left ( 1-i \right )}{2}=\frac{6+2-2i}{2}=\frac{8-2i}{2}=4-i$ .

Było to równanie o współczynnikach zespolonych i otrzymaliśmy pierwiastki, które nie są sprzężone.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

6) $\dpi{120} z^{2}-5z+4+10i=0$

Rozwiązanie

1. Liczymy wyróżnik

$\dpi{120} \Delta =\left ( -5 \right )^{2}-4\cdot 1\cdot \left ( 4+10i \right )=25-16-40i=9-40i$

2. Liczymy $\sqrt{\Delta }=\sqrt{9-40i}$

$\dpi{120} \sqrt{9-40i}=a+bi\; /\; \left ( \; \right )^{2}$

$\dpi{120} 9-40i=a^{2}+2abi+b^{2}i^{2}$

$\dpi{120} 9-40i=a^{2}-b^{2}+2abi$

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 9=a^{2}-b^{2}\\ -40=2ab\; \: \: \: \: \: \: \: \: \end{matrix}\right.$

Rozwiązujemy powyższy układ równań. Z drugiego równania wyliczamy np.

$\dpi{120} b=\frac{-40}{2a}$

i wstawiamy do pierwszego równania:

$\dpi{120} 9=a^{2}-\left ( -\frac{20}{a} \right )^{2}$

$\dpi{120} 9=a^{2}-\frac{400}{a^{2}}\; /\cdot a^{2}$

$\dpi{120} a^{4}-9a^{2}-400=0$

Wprowadźmy zmienną pomocniczą $\dpi{120} a^{2}=t\, ,\; \; t\geqslant 0$ :

$\dpi{120} t^{2}-9t-400=0$

Rozwiązaniami powyższego równania są: ( $\dpi{120} \Delta =1681\, ,\sqrt{\Delta }=41$ )

$\dpi{120} t_{1}=-16\: \notin D\: \vee \; t_{2}=25\in D$

Wobec tego:

$\dpi{120} a^{2}=25\Rightarrow \left ( a_{1} =-5\: \vee \; a_{2}=5\right )$

Zatem:

$\dpi{120} b_{1}=4\: \vee\; b_{2}=-4$

Podsumowując, szukanymi pierwiastkami są:

$\dpi{120} \sqrt{\Delta }=\pm \left ( 5-4i \right )$ (pierwiastki kwadratowe zawsze różnią się tylko znakiem)

3. Liczymy pierwiastki równania

$\dpi{120} z_{1}=\frac{5-\left ( 5-4i \right )}{2}=\frac{5-5+4i}{2}=\frac{4i}{2}=2i$

$\dpi{120} z_{2}=\frac{5+\left ( 5-4i \right )}{2}=\frac{5+5-4i}{2}=\frac{10-4i}{2}=5-2i$

Było to równanie o współczynnikach zespolonych i otrzymaliśmy pierwiastki, które nie są sprzężone.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

7) $\dpi{120} z^{2}-2z=2i-1$

Rozwiązanie

1. Liczymy wyróżnik

$\dpi{120} \Delta =\left ( -2 \right )^{2}-4\cdot 1\cdot \left ( -2i+1 \right )=4+8i-4=8i$

2. Liczymy $\sqrt{\Delta }=\sqrt{8i}$ . Mamy: $\left | z \right |=8$ , $\varphi =\frac{1}{2}\pi$ . Zatem

$\dpi{120} \sqrt{8i}=\sqrt{8}\cdot \left ( \cos \frac{\frac{1}{2}\pi +2k\pi }{2} +i\sin \frac{\frac{1}{2}\pi +2k\pi }{2}\right )\: ,\; \; k=0,1$

Czyli dla $k=0$ mamy:

$\dpi{120} \sqrt{8i}=\sqrt{8}\left ( \cos \frac{1}{4}\pi +i\sin \frac{1}{4}\pi \right )=2\sqrt{2}\left ( \frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \right )=$

$\dpi{120} =2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1+i \right )=2\left ( 1+i \right )$

lub

$\dpi{120} \sqrt{8i}=-2\left ( 1+i \right )$ (pierwiastki kwadratowe zawsze różnią się tylko znakiem)

3. Liczymy pierwiastki równania

$\dpi{120} z_{1}=\frac{2-2\left ( 1+i \right )}{2}=\frac{2-2-2i}{2}=\frac{-2i}{2}=-i$

$\dpi{120} z_{2}=\frac{2+2\left ( 1+i \right )}{2}=\frac{2+2+2i}{2}=\frac{4+2i}{2}=2+i$

Było to równanie o współczynnikach zespolonych i otrzymaliśmy pierwiastki, które nie są sprzężone.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

8) $\dpi{120} \left ( 4-3i \right )\cdot z^{2}-\left ( 2+11i \right )\cdot z-\left ( 5+i \right )=0$

Rozwiązanie

1. Liczymy wyróżnik

$\dpi{120} \Delta =\left [ -\left ( 2+11i \right ) \right ]^{2}+4\cdot \left ( 4-3i \right )\cdot \left ( 5+i \right )=4+44i+121i^{2}+4\left ( 20+4i-15i-3i^{2} \right )=$

$\dpi{120} =4+44i-121+4\left ( 23-11i \right )=-117+44i+92-44i=-25$

2. Zapisujemy wyróżnik jako:

$\dpi{120} \Delta =-25=25\cdot \left ( -1 \right )=25i^{2}$

Liczymy $\sqrt{\Delta }$ :

$\dpi{120} \sqrt{\Delta }=\sqrt{25i^{2}}=\pm 5i$

3. Liczymy pierwiastki równania

$\dpi{120} z_{1}=\frac{2+11i-5i}{2\left ( 4-3i \right )}=\frac{2+6i}{2\left ( 4-3i \right )}=\frac{1+3i}{4-3i}\cdot \frac{4+3i}{4+3i}=\frac{4+3i+12i+9i^{2}}{16-9i}=$

$\dpi{120} =\frac{-5+15i}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\, i$

$\dpi{120} z_{2}=\frac{2+11i+5i}{2\left ( 4-3i \right )}=\frac{2+16i}{2\left ( 4-3i \right )}=\frac{1+8i}{4-3i}\cdot \frac{4+3i}{4+3i}=\frac{4+3i+32i+24i^{2}}{16-9i^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{-20+35i}{25}=-\frac{4}{5}+\frac{7}{5}i$

Było to równanie o współczynnikach zespolonych i otrzymaliśmy pierwiastki, które nie są sprzężone.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 4. Rozwiązać w dziedzinie zespolonej równania wyższego stopnia:

1) $\dpi{120} z^{4}+3z^{2}-4=0$

Rozwiązanie

Wprowadzamy zmienną pomocniczą $z^{2}=w,\; w\in C$ :

Liczymy wyróżnik:

$\dpi{120} \Delta =b^{2}-4ac=3^{2}-4\cdot 1\cdot \left ( -4 \right )=9+16=25,\; \sqrt{\Delta }=5$

Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:

$\dpi{120} w_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-3-5}{2}=-4\: ,$

$\dpi{120} w_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-3+5}{2}=1$

Wracamy do podstawienia $\dpi{120} z^{2}=w\: ,\: w\in C$ .Zatem:

$\dpi{120} z^{2}=-4$ lub $\dpi{120} z^{2}=1$ .

Z równania $\dpi{120} z^{2}=-4$ mamy:

$\dpi{120} z^{2}=4i^{2}\: \Rightarrow \left ( z_{1} =-2i\: \vee z_{2}=2i\right )$ .

Z równania $\dpi{120} z^{2}=1$ mamy:

$\dpi{120} z^{2}=1\: \Rightarrow \left ( z_{3} =-1\: \vee z_{4}=1\right )$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} z^{4}+2z^{2}-3=0$

Rozwiązanie

Wprowadzamy zmienną pomocniczą $\dpi{120} z^{2}=w\, ,w\in C$ :

$\dpi{120} w^{2}+2w-3=0$

Liczymy wyróżnik:

$\dpi{120} \Delta= b^{2}-4ac=2^{2}-4\cdot 1\cdot \left ( -3 \right )=4+12=16\, ,\, \sqrt{\Delta }=4$

Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:

$\dpi{120} w_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2-4}{2}=-3$

$\dpi{120} w_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2+4}{2}=1$

Wracamy do podstawienia $\dpi{120} z^{2}=w,\, w\in C$ . Zatem:

$\dpi{120} z^{2}=-3$ lub $\dpi{120} z^{2}=1$

Z równania $\dpi{120} z^{2}=-3$ mamy:

$\dpi{120} z^{2}=3i^{2}\, \Rightarrow \left ( z_{1}=-i\sqrt{3}\, \vee z_{2}=i\sqrt{3} \right )$ .

Z równania $\dpi{120} z^{2}=1$ mamy:

$\dpi{120} z^{2}=1\, \Rightarrow \left ( z_{3}=-1\, \vee z_{4} =1\right )$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} z^{3}+2z+3=0$

Rozwiązanie

Zauważmy, że jednym z pierwiastków tego równania jest $\dpi{120} z_{0}=-1$ . Wykorzystujemy schemat Hornera i dzielimy $\dpi{120} \left ( z^{3}+2z+3 \right ):\left ( z+1 \right )$

$\dpi{120} {\color{Red} 1}$	$\dpi{120} {\color{Orange} 0}$	$\dpi{120} {\color{Cyan} 2}$	$\dpi{120} {\color{Magenta} 3}$
$\dpi{120} {\color{Red} 1}$	$\dpi{120} {\color{Blue} -1}$	$\dpi{120} {\color{Green} 3}$	$\dpi{120} 0$

$\dpi{120} {\color{Red} 1}\cdot z_{0}+{\color{Orange} 0}=1\cdot \left ( -1 \right )+0={\color{Blue} -1}$ ,

$\dpi{120} {\color{Blue} -1}\cdot z_{0}+{\color{Cyan} 2}=-1\cdot \left ( -1 \right )+2={\color{Green} 3}$ ,

$\dpi{120} {\color{Green} 3}\cdot z_{0}+{\color{Magenta} 3}=3\cdot (-1)+3=0$ ,

Otrzymaliśmy, że: $\dpi{120} \left ( z^{3}+2z+3 \right ):\left ( z+1 \right )={\color{Red} 1}\cdot z^{2}{\color{Blue} -1}\cdot z{\color{Green} +3}=z^{2}-z+3$ . Pozostaje nam zatem do rozwiązania równanie:

$\dpi{120} z^{2}-z+3=0$

Liczymy wyróżnik:

$\dpi{120} \Delta =1^{2}-4\cdot 1\cdot 3=1-12=-11=11i^{2}\, ,\sqrt{\Delta }=\pm i\sqrt{11}$

Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:

$\dpi{120} z_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{1-i\sqrt{11}}{2}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{11}}{2}$ ,

$\dpi{120} z_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{1+i\sqrt{11}}{2}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{11}}{2}$ ,

Otrzymaliśmy rozwiązania: $\dpi{120} z_{0}=-1\, ,\, z_{1}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{11}}{2}\, ,\, z_{2}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{11}}{2}$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} z^{3}+2z^{2}+3z+2=0$

Rozwiązanie

Zauważmy, że jednym z pierwiastków tego równania jest $\dpi{120} z_{0}=-1$ . Wykorzystujemy schemat Hornera i dzielimy $\dpi{120} \left ( z^{3}+2z^{2}+3z+2 \right ):\left ( z+1 \right )$

$\dpi{120} {\color{Red} 1}$	$\dpi{120} {\color{Orange} 2}$	$\dpi{120} {\color{Cyan} 3}$	$\dpi{120} {\color{Magenta} 2}$
$\dpi{120} {\color{Red} 1}$	$\dpi{120} {\color{Blue} 1}$	$\dpi{120} {\color{Green} 2}$	$\dpi{120} 0$

$\dpi{120} {\color{Red} 1}\cdot z_{0}+{\color{Orange} 2}=1\cdot \left ( -1 \right )+2={\color{Blue} 1}$

$\dpi{120} {\color{Blue} 1}\cdot z_{0}+{\color{Cyan} 3}=1\cdot \left ( -1 \right )+3={\color{Green} 2}$

$\dpi{120} {\color{Green} 2}\cdot z_{0}+{\color{Magenta} 2}=2\cdot \left ( -1 \right )+2=0$

Otrzymaliśmy, że $\dpi{120} \left ( z^{3} +2z^{2}+3z+2\right ):\left ( z+1 \right )={\color{Red} 1}\cdot z^{2}+{\color{Blue} 1}\cdot z+{\color{Green} 2}=z^{2}+z+2$ . Pozostaje nam zatem do rozwiązania równanie:

$\dpi{120} z^{2}+z+2=0$

Liczymy wyróżnik:

$\dpi{120} \Delta =1^{2}-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7=7i^{2}\, ,\, \sqrt{\Delta }=\pm i\sqrt{7}$

Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:

$\dpi{120} z_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-1-i\sqrt{7}}{2}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{7}}{2}$

$\dpi{120} z_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-1+i\sqrt{7}}{2}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{7}}{2}$

Otrzymaliśmy rozwiązania: $\dpi{120} z_{0}=-1\, ,\, z_{1}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{7}}{2}\, ,\, z_{2}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{7}}{2}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

5) $\dpi{120} 2z^{3}-z^{2}+2z-3=0$

Rozwiązanie

Zauważmy, że jednym z pierwiastków tego równania jest $\dpi{120} z_{0}=1$ . Wykorzystujemy schemat Hornera i dzielimy $\dpi{120} \left ( 2z^{3} -z^{2}+2z-3\right ):\left ( z-1 \right )$

$\dpi{120} {\color{Red} 2}$	$\dpi{120} {\color{Orchid} -1}$	$\dpi{120} {\color{Cyan} 2}$	$\dpi{120} {\color{Magenta} -3}$
$\dpi{120} {\color{Red} 2}$	$\dpi{120} {\color{Blue} 1}$	$\dpi{120} {\color{Green} 3}$	$\dpi{120} 0$

$\dpi{120} {\color{Red} 2}\cdot z_{0}{\color{Orchid} -1}=2\cdot 1-1={\color{Blue} 1}$ ,

$\dpi{120} {\color{Blue} 1}\cdot z_{0}+{\color{Cyan} 2}=1\cdot 1+2={\color{Green} 3}$

$\dpi{120} {\color{Green} 3}\cdot z_{0}{\color{Magenta} -3}=3\cdot 1-3=0$ .

Otrzymaliśmy, że $\dpi{120} \left ( 2z^{3} -z^{2}+2z-3\right ):\left ( z-1 \right )={\color{Red} 2}\cdot z^{2}+{\color{Blue} 1}\cdot z+{\color{Green} 3}=2z^{2}+z+3$ .

Pozostaje nam zatem do rozwiązania równanie:

$\dpi{120} 2z^{2}+z+3=0$

Liczymy wyróżnik:

$\dpi{120} \Delta =1^{2}-4\cdot 2\cdot 3=1-24=-23=23i^{2}\, ,\, \sqrt{\Delta }=\pm i\sqrt{23}$

Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:

$\dpi{120} z_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-1-i\sqrt{23}}{2\cdot 2}=-\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{23}}{4}$

$\dpi{120} z_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-1+i\sqrt{23}}{2\cdot 2}=-\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{23}}{4}$

Otrzymaliśmy rozwiązania: $\dpi{120} z_{0}=1\, ,\, z_{1}=-\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{23}}{4}\, ,\, z_{2}=-\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{23}}{4}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

6) $\dpi{120} z^{4}-z^{3}-5z^{2}+7z+10=0$

Rozwiązanie

Zauważmy, że jednym z pierwiastków tego równania jest $\dpi{120} z_{0}=-1$ . Wykorzystujemy schemat Hornera i dzielimy $\dpi{120} \left ( z^{4}-z^{3} -5z^{2}+7z+10\right ):\left ( z-1 \right )$

$\dpi{120} {\color{Red} 1}$	$\dpi{120} {\color{Orchid} -1}$	$\dpi{120} {\color{Cyan} -5}$	$\dpi{120} {\color{Orange} 7}$	$\dpi{120} {\color{DarkGreen} 10}$
$\dpi{120} {\color{Red} 1}$	$\dpi{120} {\color{Blue} -2}$	$\dpi{120} {\color{Green} -3}$	$\dpi{120} {\color{Magenta} 10}$	$\dpi{120} 0$

$\dpi{120} {\color{Red} 1}\cdot z_{0}{\color{Orchid} -1}=1\cdot \left ( -1 \right )-1={\color{Blue} -2}$ ,

$\dpi{120} {\color{Blue} -2}\cdot z_{0}{\color{Cyan} -5}=-2\cdot \left ( -1 \right )-5={\color{Green} -3}$ ,

$\dpi{120} {\color{Green} -3}\cdot z_{0}+{\color{Orange} 7}=-3\cdot \left ( -1 \right )+7={\color{Magenta} 10}$ ,

$\dpi{120} {\color{Magenta} 10}\cdot z_{0}+{\color{DarkGreen} 10}=10\cdot \left ( -1 \right )+10=0$ .

Otrzymaliśmy, że:

$\dpi{120} \left ( z^{4}-z^{3}-5z^{2} +7z+10\right ):\left ( z+1 \right )={\color{Red} 1}\cdot z^{3}{\color{Blue} -2}\cdot z^{2}{\color{Green} -3}\cdot z+{\color{Magenta} 10}=$

$\dpi{120} =z^{3}-2z^{2}-3z+10$

Pozostaje nam zatem do rozwiązania równanie:

$\dpi{120} z^{3}-2z^{2}-3z+10=0$

Analogicznie, zauważamy, że jednym z pierwiastków tego równania jest $\dpi{120} z_{1}=-2$ ( $\dpi{120} -2$ jest podzielnikiem wyrazu wolnego 10). Wykorzystujemy schemat Hornera i dzielimy $\dpi{120} \left ( z^{3}-2z^{2} -3z+10\right ):\left ( z+2 \right )$ .

$\dpi{120} {\color{Red} 1}$	$\dpi{120} {\color{Cyan} -2}$	$\dpi{120} {\color{Magenta} -3}$	$\dpi{120} {\color{Orchid} 10}$
$\dpi{120} {\color{Red} 1}$	$\dpi{120} {\color{Blue} -4}$	$\dpi{120} {\color{Green} 5}$	$\dpi{120} 0$

$\dpi{120} {\color{Red} 1}\cdot z_{1}{\color{Cyan} -2}=1\cdot \left ( -2 \right )-2={\color{Blue} -4}$ ,

$\dpi{120} {\color{Blue} -4}\cdot z_{1}{\color{Magenta} -3=}-4\cdot \left ( -2 \right )-3={\color{Green} 5}$ ,

$\dpi{120} {\color{Green} 5}\cdot z_{1}+{\color{Orchid} 10}=5\cdot \left ( -2 \right )+10=0$ .

Otrzymaliśmy, że: $\dpi{120} \left ( z^{3} -2z^{2}-3z+10\right ):\left ( z+2 \right )={\color{Red} 1}\cdot z^{2}{\color{Blue} -4}\cdot z+{\color{Green} 5}=z^{2}-4z+5$ . Pozostaje nam zatem do rozwiązania równanie:

$\dpi{120} z^{2}-4z+5=0$ .

Liczymy wyróżnik:

$\dpi{120} \Delta =\left ( -4\right )^{2}-4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4=4i^{2}\, ,\, \sqrt{\Delta }=\pm 2i$

Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:

$\dpi{120} z_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{4-2i}{2}=2-i$

$\dpi{120} z_{3}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{4+2i}{2}=2+i$

Podsumowując, rozwiązaniami są: $\dpi{120} z_{0}=-1\, ,\, z_{1}=-2\, ,\, z_{2}=2-i\, ,\, z_{3}=2+i$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

7) $\dpi{120} z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1=0$

Rozwiązanie

Zauważmy, że jednym z pierwiastków tego równania jest $\dpi{120} z_{0}=-1$ . Wykorzystujemy schemat Hornera i dzielimy $\dpi{120} \left ( z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2} +z+1\right ):\left ( z+1 \right )$

$\dpi{120} {\color{Red} 1}$	$\dpi{120} {\color{Cyan} 1}$	$\dpi{120} {\color{Orange} 1}$	$\dpi{120} {\color{Purple} 1}$	$\dpi{120} {\color{DarkGreen} 1}$	$\dpi{120} {\color{DarkRed} 1}$
$\dpi{120} {\color{Red} 1}$	$\dpi{120} {\color{Blue} 0}$	$\dpi{120} {\color{Green} 1}$	$\dpi{120} {\color{Magenta} 0}$	$\dpi{120} {\color{DarkOrange} 1}$	$\dpi{120} 0$

$\dpi{120} {\color{Red} 1}\cdot z_{0}+{\color{Cyan} 1}=1\cdot \left ( -1 \right )+1={\color{Blue} 0}$ ,

$\dpi{120} {\color{Blue} 0}\cdot z_{0}+{\color{Orange} 1}=0\cdot \left ( -1 \right )\cdot +1={\color{Green} 1}$ ,

$\dpi{120} {\color{Green} 1}\cdot z_{0}+{\color{Purple} 1}=1\cdot \left ( -1 \right )+1={\color{Magenta} 0}$ ,

$\dpi{120} {\color{Magenta} 0}\cdot z_{0}+{\color{DarkGreen} 1}=0\cdot \left ( -1 \right )+1={\color{DarkOrange} 1}$ ,

$\dpi{120} {\color{DarkOrange} 1}\cdot z_{0}+{\color{DarkRed} 1}=1\cdot \left ( -1 \right )+1=0$ .

Otrzymaliśmy, że:

$\dpi{120} \left ( z^{5} +z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\right ):\left ( z+1 \right )={\color{Red} 1}\cdot z^{4}+{\color{Blue} 0}\cdot z^{3}+{\color{Green} 1}\cdot z^{2}+{\color{Magenta} 0}\cdot z+{\color{DarkOrange} 1}=$

$\dpi{120} =z^{4}+z^{2}+1$

Pozostaje nam zatem do rozwiązania równanie:

$\dpi{120} z^{4}+z^{2}+1=0$

Wprowadzamy zmienną pomocniczą $\dpi{120} z^{2}=w\; ,\; w\in C$ .

$\dpi{120} w^{2}+w+1=0$

Liczymy wyróżnik:

$\dpi{120} \Delta =b^{2}-4ac=1^{2}-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3=3i^{2}\: ,\: \sqrt{\Delta }=\pm i\sqrt{3}$

Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:

$\dpi{120} w_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\dpi{120} w_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Wracamy do podstawienia $\dpi{120} z^{2}=w\: ,\: w\in C$ . Zatem:

$\dpi{120} z^{2}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$ lub $\dpi{120} z^{2}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Z równania $\dpi{120} z^{2}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$ mamy:

$\dpi{120} z=\sqrt{-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{-1-i\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ .

Liczymy $\dpi{120} \sqrt{-1-i\sqrt{3}}$ .

Sprowadzamy liczbę $\dpi{120} -1-i\sqrt{3}$ do postaci trygonometrycznej

$\dpi{120} \left | z \right |=2\:$ , $\dpi{120} \left ( \sin \varphi =\frac{-\sqrt{3}}{2} \: ,\: \cos \varphi =\frac{-1}{2}\right )\Rightarrow$ ( $\dpi{120} \varphi \in$ III ćw, $\dpi{120} \alpha =\frac{\pi }{3}$ ) $\dpi{120} \Rightarrow \varphi =\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{4}{3}\pi$ .

Czyli

$\dpi{120} -1-i\sqrt{3}=2\cdot \left ( \cos \frac{4}{3}\pi +i\sin \frac{4}{3}\pi \right )$ .

Wzór na pierwiastki 2 – ego stopnia

$\dpi{120} \sqrt{-1-i\sqrt{3}}=\sqrt{2}\cdot \left ( \cos \frac{\frac{4}{3}\pi +2k\pi }{2}+i\sin \frac{\frac{4}{3}\pi +2k\pi }{2} \right ),\: k=0,1$

Podstawiamy kolejno $\dpi{120} k=0,1$

1. Dla $\dpi{120} k=0$ mamy:

$\dpi{120} z_{0}=\sqrt{2}\left ( \cos \frac{\frac{4}{3}\pi }{2}+i\sin \frac{\frac{4}{3}\pi }{2} \right )=\sqrt{2}\left ( \cos \frac{4}{6}\pi +i\sin \frac{4}{6}\pi \right )=\sqrt{2}\left ( \cos \frac{2}{3}\pi +i\sin \frac{2}{3}\pi \right )=$

$\dpi{120} =\sqrt{2}\left ( \cos \left ( \pi -\frac{1}{3}\pi \right )+i\sin \left ( \pi -\frac{1}{3}\pi \right ) \right )=\sqrt{2}\left ( -\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3} \right )=$

$\dpi{120} =\sqrt{2}\left ( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right )$

2. Dla $\dpi{120} k=1$ otrzymujemy:

$\dpi{120} z_{1}=-\sqrt{2}\left ( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right )$ , gdyż musi to być liczba o przeciwnych znakach.

Stąd:

$\dpi{120} z=\frac{\sqrt{-1-i\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}\left ( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right )}{\sqrt{2}}=\pm \left ( -\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3}}{2}\right )$

Z równania $\dpi{120} z^{2}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{\sqrt{3}}}{2}$ mamy:

$\dpi{120} z=\sqrt{-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{-1+i\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}=\pm \left ( \frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3}}{2}\right )$

Można liczyć analogicznie do wcześniejszego pierwiastka, ale można również wykorzystać wiadomość, że jeżeli liczba zespolona $\dpi{120} z_{1}$ jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to liczba sprzężona $\dpi{120} \overline{z_{1}}$ jest również pierwiastkiem tego wielomianu.

Podsumowując dostaliśmy pierwiastki:

$\dpi{120} z_{0}=-1\: ,\: z_{1}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\: ,\: z_{2}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\: ,\: z_{3}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\: ,\: z_{4}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 4. Wiedząc, że $\large z_{1}=2+i$ jest pierwiastkiem równania $\large z^{4}-4z^{3}+6z^{2}-4z+5=0$ znaleźć pozostałe pierwiastki tego równania.

Rozwiązanie

Ponieważ jednym z pierwiastków jest $\dpi{120} z_{1}=2+i$ , więc pierwiastkiem jest również liczba sprzężona $\dpi{120} z_{2}=2-i$

Wykorzystujemy schemat Hornera. Dzielimy wielomian $\dpi{120} z^{4}-4z^{3}+6z^{2}-4z+5$ przez $\dpi{120} z-\left ( 2+i \right )$ .

$\dpi{120} 2+i$	$\dpi{120} 1$	$\dpi{120} -4$	$\dpi{120} 6$	$\dpi{120} -4$	$\dpi{120} 5$
	$\dpi{120} 1$	$\dpi{120} -2+i$	$\dpi{120} 4$	$\dpi{120} -2+i$	$\dpi{120} 0$

Zatem $\dpi{120} \left ( z^{4} -4z^{3}+6z^{2}-4z+5\right ):\left ( 2+i \right )=z^{3}+\left ( -2+i \right )\cdot z^{2}+z-2+i$ . Ponownie dzielimy wielomian $\dpi{120} z^{3}+\left ( -2+i \right )\cdot z^{2}+z-2+i$ przez $\dpi{120} z-\left ( 2-i \right )$ .

$\dpi{120} 2-i$	$\dpi{120} 1$	$\dpi{120} -2+i$	$\dpi{120} 1$	$\dpi{120} -2+i$
	$\dpi{120} 1$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} 1$	$\dpi{120} 0$

Dostaliśmy wielomian $\dpi{120} z^{2}+1$ , czyli pozostało do rozwiązania równanie $\dpi{120} z^{2}+1=0$ . Pierwiastkami tego równania są $\dpi{120} z_{2}=-i$ oraz $\dpi{120} z_{3}=i$ .

Ostatecznie: $\dpi{120} z_{1}=2+i\, ,\, z_{2}=2-i\, ,\, z_{3}=-i\, ,\, z_{4}=i$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń