Kategoria: Całki wielokrotne

Całki potrójne we współrzędnych sferycznych – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

W zadaniu 1 wprowadzamy współrzędne sferyczne do opisu różnych najpopularniejszych obszarów w . Koniecznie należy się z nimi zapoznać, ponieważ później korzysta się z nich w dalszych zadaniach. Zadanie 1. Figurę określoną we współrzędnych prostokątnych określić za pomocą współrzędnych sferycznych: Współrzędne sferyczne: 1) sfera 2) kula   3) półkula  dla   4) czasza  dla   5) różnica kul   Read more about Całki potrójne we współrzędnych sferycznych – zadania[…]

Całki potrójne we współrzędnych sferycznych – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Współrzędne sferyczne i współrzędne prostokątne są związane wzorami przejścia                                    ,                       ,                                     gdzie jest odległością punktu od początku układu współrzędnych, jest kątem, jaki tworzy wektor z dodatnią częścią osi Read more about Całki potrójne we współrzędnych sferycznych – teoria[…]

Całki potrójne bez współrzędnych sferycznych – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Całkę potrójną po prostopadłościanie oznaczamy symbolem: Funkcja ciągła na prostopadłościanie jest na nim całkowalna. Jeżeli funkcja jest całkowalna na prostopadłościanie , to Podobnie jak w całce podwójnej kolejność całkowania można dowolnie zmieniać, jeżeli są stałe granice całkowania. Jeżeli obszarem całkowania jest inny obszar tzw. obszar normalny np. względem : to całka potrójna w tym obszarze Read more about Całki potrójne bez współrzędnych sferycznych – teoria[…]

Współrzędne biegunowe – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 3 zadania. Zadanie 1 jest to typowe liczenie całek podwójnych z zastosowaniem współrzędnych biegunowych. Pojawiają się tutaj standardowe obszary całkowania odpowiednie dla tego typu całek. Zadanie 2 i 3 są zastosowaniem całek podwójnych do liczenia objętości figur. Zadanie 2 trochę łatwiejsze, gdyż z zapisu figury widać zarówno obszar całkowania jak i funkcję podcałkową, potrzebne Read more about Współrzędne biegunowe – zadania[…]

Współrzędne biegunowe – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

W przypadku, gdy obszar całkowania jest kołem, wycinkiem koła, pierścieniem lub wycinkiem pierścienia wygodnie jest nam wprowadzić tzw. współrzędne biegunowe. Można je używać również przy innych obszarach, ale te pojawiają się najczęściej na studiach. Wzory przejścia od współrzędnych do współrzędnych biegunowych : Całka podwójna we współrzędnych biegunowych wyraża się wzorem: gdzie jest zbiorem wartości przyporządkowanych Read more about Współrzędne biegunowe – teoria[…]

Całki podwójne bez współrzędnych biegunowych – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 4 zadania. Są one ułożone od łatwych do trudnych. Zadanie 1 ”przyzwyczaja” nas do dwóch zmiennych i do kolejności całkowania. Zadanie 2 to właściwie to samo co w zadaniu 1, ale inaczej sformułowane polecenie. Nie wymaga rysowania obszaru całkowania. W zadaniu 3 bardzo ważny jest poprawny wykres obszaru całkowania, z którego najczęściej możemy odczytać Read more about Całki podwójne bez współrzędnych biegunowych – zadania[…]

Całki podwójne bez współrzędnych biegunowych – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Całkę podwójną w prostokącie  z kolejnością całkowania najpierw względem , potem względem oznaczamy symbolem: lub częściej bez użycia nawiasów Możemy również liczyć całkę podwójną z przeciwną kolejnością całkowania: Całka podwójna w obszarze to: lub w obszarze  to: Zapraszamy do zadań! tutaj