Całki potrójne bez współrzędnych sferycznych – zadania

Zadanie 1. Obliczyć całki potrójne po prostopadłościanie:

1) \dpi{120} \underset{D\; \; \; \: }{\iiint_{\, }^{\, }}\left ( x+y+z \right )d\sigma ,\; \: D=\left \{ 0\leqslant x\leqslant 1,\: 0\leqslant y\leqslant 2,\: 0\leqslant z\leqslant 3 \right \}

2) \dpi{120} \underset{D\; \; \; \: }{\iiint_{\, }^{\, }}y \cos \left ( z+x \right ) d\sigma ,\; \: D=\left \{ 0\leqslant x\leqslant \frac{\pi }{4},\: 2\leqslant y\leqslant 4,\: 0\leqslant z\leqslant \frac{\pi }{2} \right \}

3) \dpi{120} \underset{D\; \; \; \: }{\iiint_{\, }^{\, }}2xe^{x^{2}+y+z}d\sigma ,\; \: D=\left \{ -1\leqslant x\leqslant 0,\: -1\leqslant y\leqslant 0,\: -1\leqslant z\leqslant 0 \right \}

Zadanie 2. Obliczyć całkę potrójną \dpi{120} \large \underset{D\; \; \; \: }{\iiint_{\, }^{\, }}z\, d\sigma w obszarze normalnym:

1) \dpi{120} D=\left \{ 0\leqslant x\leqslant 1,\, x\leqslant y\leqslant 1,\, x\leqslant z\leqslant y\right \}

2) \dpi{120} D=\left \{ z\leqslant x\leqslant y,\, 0\leqslant y\leqslant 1,\, 0\leqslant z\leqslant y\right \}

3) \dpi{120} D=\left \{ 0\leqslant x\leqslant z,\, z+x\leqslant y\leqslant z-x,\, 0\leqslant z\leqslant 1\right \}

Zadanie 3. Obliczyć całki potrójne:

1) \dpi{120} \underset{D\; \; \; \: }{\iiint_{\, }^{\, }}2z\, d\sigma,\; \; D=\left \{ \left ( x,y \right )\in G;\: \sqrt{2-x}\leqslant z\leqslant \sqrt{6+y} \right \},  a \dpi{120} \large G oznacza trójkąt o wierzchołkach \dpi{120} \left ( 0,0 \right ),\: \left ( 0,2 \right ),\: \left ( 2,0 \right )