Pola i objętości figur obrotowych – zadania

Mamy tu tylko 5 przykładów, ale są to przykłady dosyć długie. Właściwie nie ma w tym temacie zadań krótkich. Wykorzystuje się tutaj całą dotychczasową wiedzę na temat całek. Używamy w rozwiązaniach gotowych wzorów, aby rozwiązania nie były tak długie. Raczej nie na kolokwia i egzaminy. Ewentualnie może się trafić liczenie objętości brył, jako najkrótsze z Read more about Pola i objętości figur obrotowych – zadania[…]

Pola i objętości figur obrotowych – teoria

Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci , przy czym funkcja ma w przedziale pochodną ciągłą, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem:   Niech dany będzie łuk o równaniu , gdzie jest funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale . Wówczas objętość bryły obrotowej ograniczonej powierzchnią, która powstaje, gdy łuk obraca się dookoła osi Read more about Pola i objętości figur obrotowych – teoria[…]

Całki niewłaściwe – zadania

Mamy 2 zadania. Prosimy o wcześniejsze zapoznanie się z zakładką Teoria tutaj. W pierwszym zadaniu liczymy całki w granicach których występuje , zaś w zadaniu drugim niewłaściwość jest innego rodzaju. Jest ono bardzo podchwytliwe, gdyż całki w nim występujące wyglądają jak zwykłe całki oznaczone.   Zadanie 1. Obliczyć całki niewłaściwe I rodzaju: 7)   Zadanie Read more about Całki niewłaściwe – zadania[…]

Całki niewłaściwe – teoria

Całki niewłaściwe I rodzaju Są to całki na przedziale nieskończonym. Dlatego też rozróżniamy trzy typy takich całek. 1. Jeżeli funkcja  jest całkowalna na przedziale  dla każdego , to jej całkę niewłaściwą na przedziale  określamy następująco: 2. Jeżeli funkcja  jest całkowalna na przedziale dla każdego , to jej całkę niewłaściwą na przedziale określamy następująco: 3. Jeżeli funkcja  jest całkowalna na Read more about Całki niewłaściwe – teoria[…]

Całka oznaczona jako pole obszaru – zadania

Mamy 2 zadania. Zadanie 1 jest liczeniem całek oznaczonych. W rzeczywistości jest to powtórka z liczenia całek nieoznaczonych. Mając całkę nieoznaczoną, obliczenie całki oznaczonej jest bardzo proste i sprowadza się do wstawienia dwóch liczb: granicy dolnej i górnej całki. Zadanie 2 to podstawowe zastosowanie całki oznaczonej do liczenia pól obszarów ograniczonych pewnymi krzywymi. Patrz zakładka Read more about Całka oznaczona jako pole obszaru – zadania[…]

Całka oznaczona jako pole obszaru – teoria

Dana jest funkcja ciągła w przedziale . Całką oznaczoną funkcji w przedziale nazywamy różnicę wartości dowolnej funkcji pierwotnej na końcach przedziału całkowania, co zapisujemy następująco: Liczbę nazywamy dolną granicą całkowania, zaś – górną granicą całkowania. Jeżeli istnieje , to mówimy, że funkcja jest całkowalna w przedziale . Podstawowe własności całek oznaczonych: 1. 2. 3. 4. Read more about Całka oznaczona jako pole obszaru – teoria[…]