Kategoria: Pochodne funkcji wielu zmiennych

Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych – wzory

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mnożniki Lagrange’a – schemat Ekstremum warunkowe funkcji przy warunku 1. Tworzymy funkcję 2. Liczymy pochodne cząstkowe . 3. Rozwiązujemy układ równań (warunek konieczny): 4. Po rozwiązaniu otrzymujemy tzw. punkty stacjonarne . 5. Liczymy pochodne cząstkowe . 6. Liczymy wartości powyższych pochodnych w punktach stacjonarnych.  7. Badamy znak tzw. Hesjanu obrzeżonego w każdym punkcie stacjonarnym: 8. Jeżeli: Read more about Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych – wzory[…]

Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

W zadaniu 1 znajdujemy ekstrema warunkowe bez użycia mnożników Lagrange’a. Sprowadza się to do badania ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej. W zadaniu drugim wprowadzamy mnożniki Lagrange’a. Pojawia się tzw. Hesjan obrzeżony. Jest to inna metoda znajdowania ekstremów warunkowych. Schemat badania ekstremum warunkowego znajdziemy w zakładce Wzory tutaj. Warto również zajrzeć do zakładki Teoria tutaj. Zadania Read more about Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych – zadania[…]

Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Niech  oznacza niepusty i otwarty podzbiór przestrzeni , funkcje  i  zmiennych  i  będą określone i ciągłe na . DEFINICJA Mówimy, że funkcja osiąga w punkcie maksimum (minimum) warunkowe, przy warunku (*)                                                         jeżeli punkt spełnia równanie (*) oraz istnieje takie otoczenie punktu , że dla każdego punktu spełniającego warunek (*) zachodzi nierówność MNOŻNIKI LAGRANGE’A Wprowadźmy funkcję Read more about Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych – teoria[…]

Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Kolejność podpunktów  w zadaniu jest istotna. Pierwsze przykłady są bardzo łatwe tak , aby utrwalić schemat rozwiązania podany w zakładce Wzory tutaj. Kolejne są trudniejsze. Jest więcej niż jeden punkt stacjonarny i układ równań, który rozwiązujemy w punkcie 3. schematu jest również trudniejszy. Dlatego najpierw należy zaznajomić się ze schematem podanym w zakładce Wzory, a Read more about Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych – zadania[…]

Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych – wzory

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Schemat badania ekstremum lokalnego funkcji dwóch zmiennych: 1. Wyznaczamy dziedzinę funkcji. 2. Wyznaczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu , . 3. Rozwiązujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (warunek konieczny istnienia ekstremum): Rozwiązaniem układu są tzw. punkty stacjonarne . 4. Wyznaczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu . Powinniśmy otrzymać . 5. Sprawdzamy znak wyznacznika w punktach stacjonarnych: Read more about Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych – wzory[…]

Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Dana jest funkcja określona na zbiorze . Funkcja ma w punkcie maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy istnieje taki promień , że dla każdego wartości funkcji spełniają warunek: Twierdzenie 1. Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie i ma  w nim ekstremum lokalne, to Punkt , w którym spełniony jest warunek konieczny istnienia Read more about Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych – teoria[…]

Pochodne cząstkowe – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 2 zadania. W pierwszym liczymy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego.  Jak zwykle początkowe przykłady łatwe, później coraz trudniejsze. W drugim ćwiczymy liczenie pochodnych zarówno rzędu pierwszego jak i drugiego. Są one uwikłane w pewne równania. Inna treść zadania, ale w rzeczywistości sprawdza umiejętność liczenia pochodnych cząstkowych. Podpunkt 3) w zadaniu 2 wymaga biegłości w rachunkach. Read more about Pochodne cząstkowe – zadania[…]

Pochodne cząstkowe – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Dany jest zbiór , gdzie oraz zbiór liczbowy . Jeśli każdemu elementowi jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba , to mówimy, że została określona funkcja rzeczywista zmiennych, przekształcająca zbiór w zbiór . POCHODNE CZĄSTKOWE PIERWSZEGO RZĘDU Dla danej funkcji , pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji w punkcie względem zmiennej nazywamy granicę (jeśli istnieje) ilorazu różnicowego: Dla Read more about Pochodne cząstkowe – teoria[…]