W zadaniu 1 znajdujemy ekstrema warunkowe bez użycia mnożników Lagrange’a. Sprowadza się to do badania ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej. W zadaniu drugim wprowadzamy mnożniki Lagrange’a. Pojawia się tzw. Hesjan obrzeżony. Jest to inna metoda znajdowania ekstremów warunkowych. Schemat badania ekstremum warunkowego znajdziemy w zakładce Wzory tutaj. Warto również zajrzeć do zakładki Teoria tutaj. Zadania kolejne to zastosowanie ekstremów warunkowych w ekonomii i geometrii.
Zadanie 1. Znaleźć ekstrema funkcji przy warunku
. (bez mnożników Lagrange’a)
1) ,
2) ,
,
3) ,
Zadanie 2. Znaleźć ekstrema funkcji przy warunku
. (mnożniki Lagrange’a zob. tutaj )
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
dłuższy i trudniejszy
Zadanie 3. Rozważmy konsumenta, dla którego użyteczność z koszyka dwu towarów jest dana wzorem
. Wiemy, że jednostka towaru
kosztuje 4 zł, a jednostka towaru
kosztuje 1 zł. Załóżmy, że konsument ma do wydania na te towary 16 zł. Ile jednostek pierwszego, a ile drugiego towaru powinien kupić, by zmaksymalizować użyteczność koszyka tych dóbr?
Zadanie 4. Konsument może wydać 1280 zł na dwa dobra i
, kosztujące odpowiednio 12 zł i 16 zł za jednostkę. Jego funkcja użyteczności dana jest wzorem
.Wyznacz wartości
i
maksymalizujące użyteczność
przy ograniczeniu budżetowym
. (długie rachunki)
Zadanie 5. Wzgórze ma kształt stożka, który w układzie XYZ ma równanie . Turysta porusza się po zboczu wzgórza w ten sposób, że rzut jego trasy na płaszczyznę XY jest prostą o równaniu
. Wyznacz współrzędne najwyżej położonego punktu trasy turysty.