Grupy – zadania
Zadanie 1. Zbadać, czy zbiór z działaniem jest grupą. Czy jest to grupa abelowa? 1) 2)
Całki potrójne we współrzędnych sferycznych – zadania
W zadaniu 1 wprowadzamy współrzędne sferyczne do opisu różnych najpopularniejszych obszarów w . Koniecznie należy się z nimi zapoznać, ponieważ później korzysta się z nich w dalszych zadaniach. Zadanie 1. Figurę określoną we współrzędnych prostokątnych określić za pomocą współrzędnych sferycznych: Współrzędne sferyczne: 1) sfera 2) kula 3) półkula dla 4) czasza dla 5) różnica kul Read more about Całki potrójne we współrzędnych sferycznych – zadania[…]
Całki potrójne we współrzędnych sferycznych – teoria
Współrzędne sferyczne i współrzędne prostokątne są związane wzorami przejścia , , gdzie jest odległością punktu od początku układu współrzędnych, jest kątem, jaki tworzy wektor z dodatnią częścią osi Read more about Całki potrójne we współrzędnych sferycznych – teoria[…]
Równanie Riccatiego – teoria
Równanie Riccatiego to równanie różniczkowe postaci: gdzie funkcje są ciągłe w pewnym przedziale. Gdy: – , to otrzymujemy równanie liniowe, – , to otrzymujemy równanie Bernoulliego. Jeśli znamy rozwiązanie szczególne tego równania, to poprzez podstawienie sprowadzimy je do równania liniowego. Zróżniczkujmy powyższe podstawienie: Wstawiamy do równania: Wyrazy zaznaczone na czerwono skracają się , gdyż jest Read more about Równanie Riccatiego – teoria[…]
Równanie Bernoulliego – zadania
W równaniach Bernoulliego będziemy wykorzystywać wcześniejszą wiedzę z równań różniczkowych i liczenia całek. Każde równanie Bernoulliego sprowadza się do równania liniowego tutaj, dlatego należy znać metody ich rozwiązywania. Ponadto wykorzystujemy różne metody liczenia całek: całkowanie przez części tutaj, całki wymierne tutaj i inne. Zadanie 1. Rozwiązać równanie Bernoulliego: 1) 2) 3) 4) 5) Zadanie 2. Rozwiązać równanie Read more about Równanie Bernoulliego – zadania[…]
Równanie Bernoulliego – teoria
Równanie Bernoulliego jest to równanie różniczkowe postaci gdzie funkcje i są ciągłe w pewnym przedziale , . Dla jest to równanie liniowe, zaś dla otrzymujemy równanie o rozdzielonych zmiennych. Rozwiązujemy je, dzieląc go przez i wprowadzając funkcję . Mamy wówczas: Wykonujemy podstawienie: Wstawiamy do równania i otrzymujemy: Jest to równanie liniowe, które omawialiśmy wcześniej tutaj. Read more about Równanie Bernoulliego – teoria[…]
Równania różniczkowe jednorodne – zadania
Przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań warto zajrzeć do zakładki Teoria tutaj. Zadanie 1. Rozwiąż równania jednorodne: 1) 2) 3) Zadanie 2. Rozwiąż równania jednorodne z warunkami początkowymi: 1) 2) 3) Zadanie 3. Znaleźć krzywe, dla których długość rzutu odcinka stycznej do punktu przecięcia z osią odciętych na oś odciętych jest równa sumie rzędnej i odciętej Read more about Równania różniczkowe jednorodne – zadania[…]
Równania różniczkowe jednorodne – teoria
Funkcja nazywa się funkcją jednorodną stopnia zerowego, jeżeli przy pomnożeniu argumentów i przez dowolny (ten sam dla obu argumentów) parametr wartość funkcji nie ulega zmianie. Funkcję taką można zapisać w postaci: Równanie nazywamy równaniem jednorodnym względem i , jeżeli funkcja jest funkcją jednorodną stopnia zerowego. Równanie jednorodne można więc zapisać w postaci: Rozwiązujemy je wykonując Read more about Równania różniczkowe jednorodne – teoria[…]
Iloczyn kartezjański – zadania
Przed rozpoczęciem zadań warto zajrzeć do zakładki Teoria tutaj, gdzie podajemy definicję iloczynu kartezjańskiego. Zadanie 1. Znaleźć iloczyn kartezjański i zbiorów: 1) 2) 3) 4) Zadanie 2. Sprawdzić, czy prawdziwe są równości: 1) 2) 3)
Iloczyn kartezjański – teoria
Iloczynem kartezjańskim zbiorów i nazywamy zbiór par uporządkowanych , w których pierwszy wyraz , zaś drugi wyraz . Oznaczamy go . Zatem: Dla dowolnych zbiorów prawdziwe są równości: 1) 2) Iloczyn kartezjański nie jest przemienny. Zapraszamy do zadań! tutaj